第1課時橢圓的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.依據(jù)橢圓的方程研究橢圓的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形.2.依據(jù)幾何條件求出橢圓方程，并利用橢圓方程研究它的性質(zhì)、圖形知識點一橢圓的范圍、對稱性和頂點思考在畫橢圓圖形時，怎樣才能畫的更準(zhǔn)確些？答案在畫橢圓時，可先畫一個矩形，矩形的頂點為(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)梳理橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點在x軸上焦點在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>b>0)1(a>b>0)圖形焦點坐標(biāo)(±c,0)(0，±c)對稱性關(guān)于x軸、y軸軸對稱，關(guān)于坐標(biāo)原點中心對稱頂點坐標(biāo)A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)范圍|x|a，|y|b|x|b，|y|a長軸、短軸長軸A1A2長為2a，短軸B1B2長為2b知識點二橢圓的離心率橢圓的焦距與長軸長的比稱為橢圓的離心率，記為e，因為ac，故橢圓離心率e的取值范圍為(0,1)，當(dāng)e越近于1時，橢圓越扁，當(dāng)e越近于0時，橢圓越圓(1)橢圓1(ab0)的長軸長是a.(×)(2)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓(×)(3)若橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，長軸長與短軸長分別為10,8，則橢圓的方程為1.(×)(4)設(shè)F為橢圓1(ab0)的一個焦點，M為其上任一點，則|MF|的最大值為ac(c為橢圓的半焦距)()類型一橢圓的簡單幾何性質(zhì)例1求橢圓m2x24m2y21(m0)的長軸長、短軸長、焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)和離心率考點橢圓的簡單幾何性質(zhì)題點橢圓的頂點、焦點、長短軸、對稱性解由已知得1(m0)，因為0m24m2，所以，所以橢圓的焦點在x軸上，并且長半軸長a，短半軸長b，半焦距c，所以橢圓的長軸長2a，短軸長2b，焦點坐標(biāo)為，頂點坐標(biāo)為，離心率e.反思與感悟從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，分清其焦點位置，然后再寫出相應(yīng)的性質(zhì)跟蹤訓(xùn)練1已知橢圓C1：1，設(shè)橢圓C2與橢圓C1的長軸長、短軸長分別相等，且橢圓C2的焦點在y軸上(1)求橢圓C1的長半軸長、短半軸長、焦點坐標(biāo)及離心率；(2)寫出橢圓C2的方程，并研究其性質(zhì)考點橢圓的簡單幾何性質(zhì)題點橢圓的頂點、焦點、長短軸、對稱性解(1)由橢圓C1：1，可得其長半軸長為10，短半軸長為8，焦點坐標(biāo)為(6,0)，(6,0)，離心率e.(2)橢圓C2：1.性質(zhì)如下：范圍：8x8，10y10；對稱性：關(guān)于x軸、y軸、原點對稱；頂點：長軸端點(0,10)，(0，10)，短軸端點(8,0)，(8,0)；焦點：(0,6)，(0，6)；離心率：e.類型二由幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2(1)橢圓以兩坐標(biāo)軸為對稱軸，并且過點(0,13)，(10，0)，則焦點坐標(biāo)為()A(±13,0) B(0，±10)C(0，±13) D(0，±)考點橢圓的簡單幾何性質(zhì)題點橢圓的頂點、焦點、長短軸、對稱性答案D解析由題意知，橢圓的焦點在y軸上，且a13，b10，則c，故選D.(2)已知橢圓中心在原點，一個焦點為F(2，0)，且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_考點橢圓的簡單幾何性質(zhì)題點橢圓的頂點、焦點、長短軸、對稱性答案1解析由已知，得焦點在x軸上，且所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.反思與感悟此類問題應(yīng)由所給的幾何性質(zhì)充分找出a，b，c所應(yīng)滿足的關(guān)系式，進而求出a，b，在求解時，需注意橢圓的焦點位置跟蹤訓(xùn)練2根據(jù)下列條件，求中心在原點，對稱軸在坐標(biāo)軸上的橢圓方程：(1)長軸長是短軸長的2倍，且過點(2，6)；(2)焦點在x軸上，一個焦點與短軸的兩端點連線互相垂直，且半焦距為6.考點由橢圓的簡單幾何性質(zhì)求方程題點由橢圓的幾何特征求方程解(1)當(dāng)焦點在x軸上時，設(shè)橢圓方程為1(a>b>0)依題意，有解得橢圓方程為1.同樣地可求出當(dāng)焦點在y軸上時，橢圓方程為1.故所求的橢圓方程為1或1.(2)依題意，有bc6，a2b2c272，所求的橢圓方程為1.類型三求橢圓的離心率例3如圖，設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若F1PF2為等腰直角三角形，求橢圓的離心率考點橢圓的離心率問題題點求a，b，c的齊次關(guān)系式得離心率解設(shè)橢圓方程為1(ab0)F1(c,0)，P(c，yp)，代入橢圓方程得1，y，|PF1|F1F2|，即2c，c22aca20，又b2a2c2，2c，c22aca20，e22e10，又0e1，e1.反思與感悟求解橢圓的離心率，其實質(zhì)就是構(gòu)建a，b，c之間的關(guān)系式，再結(jié)合b2a2c2，從而得到a，c之間的關(guān)系式，進而確定其離心率跟蹤訓(xùn)練3設(shè)橢圓C：1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點，PF2F1F2，PF1F230°，則C的離心率為()A.B.C.D.考點橢圓的離心率問題題點求a，b，c得離心率答案D解析由題意可設(shè)|PF2|m(m0)，結(jié)合條件可知|PF1|2m，|F1F2|m，故離心率e.1橢圓9x2y236的短軸長為()A2B4C6D12考點橢圓的簡單幾何性質(zhì)題點橢圓的頂點、焦點、長短軸、對稱性答案B解析原方程可化為1，所以b24，b2，從而短軸長為2b4.2若橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點構(gòu)成一個正三角形，則該橢圓的離心率為()A.B.C.D.考點橢圓的離心率問題題點求a，b，c得離心率答案A解析不妨設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，B為橢圓的上頂點依題意可知，BF1F2是正三角形在RtOBF2中，|OF2|c，|BF2|a，OF2B60°，cos 60°，即橢圓的離心率e，故選A.3(2017·嘉興一中期末)中心在坐標(biāo)原點的橢圓，焦點在x軸上，焦距為4，離心率為，則該橢圓的方程為()A.1B.1C.1D.1答案D4已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，兩頂點分別是(4,0)，(0,2)，則此橢圓的方程是_考點由橢圓的簡單幾何性質(zhì)求方程題點由橢圓的幾何性質(zhì)求方程答案1解析由已知，得a4，b2，且橢圓的焦點在x軸上，所以橢圓的方程是1.5求橢圓25x216y2400的長軸長、短軸長、離心率、焦點坐標(biāo)和頂點坐標(biāo)考點由橢圓方程研究簡單幾何性質(zhì)題點由橢圓的方程求頂點、焦點、長短軸、離心率解將橢圓方程變形為1，得a5，b4，所以c3，故橢圓的長軸長和短軸長分別為2a10,2b8，離心率e，焦點坐標(biāo)為(0，3)，(0,3)，頂點坐標(biāo)為(0，5)，(0,5)，(4,0)，(4,0)求橢圓離心率及范圍的兩種方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解若已知a，b或b，c可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式e求解(2)方程法：若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關(guān)系式，借助于a2b2c2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或范圍一、選擇題1已知橢圓的方程為2x23y2m(m>0)，則此橢圓的離心率為()A.B.C.D.考點由橢圓方程研究簡單幾何性質(zhì)題點由橢圓的方程求頂點、焦點、長短軸、離心率答案B解析由2x23y2m(m>0)，得1，c2，e2，e.2與橢圓9x24y236有相同焦點，且短軸長為2的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.1B.x21C.y21D.1考點由橢圓的簡單幾何性質(zhì)求方程題點由橢圓的幾何性質(zhì)求方程答案B解析由已知c，b1，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.3橢圓4x249y2196的長軸長、短軸長、離心率依次是()A7,2，B14,4，C7,2，D14,4，考點由橢圓方程研究簡單幾何性質(zhì)題點由橢圓的方程求頂點、焦點、長短軸、離心率答案B解析先將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為1，其中b2，a7，c3.4焦點在x軸上，長、短半軸長之和為10，焦距為4，則橢圓的方程為()A.1B.1C.1D.1考點由橢圓的簡單幾何性質(zhì)求方程題點由橢圓的幾何特征求方程答案A解析依題意得c2，ab10，又a2b2c2，所以解得a6，b4.5若焦點在x軸上的橢圓1的離心率為，則m等于()A.B.C.D.考點由橢圓方程研究簡單幾何性質(zhì)題點由橢圓的幾何特征求方程答案B解析a22，b2m，e，m.6橢圓(m1)x2my21的長軸長是()A.B.C.D考點由橢圓方程研究簡單幾何性質(zhì)題點由橢圓的方程求頂點、焦點、長短軸、離心率答案C解析橢圓方程可化簡為1，由題意，知m>0，<，a，橢圓的長軸長2a.7設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：1(a>b>0)的左、右焦點，P為直線x上一點，F(xiàn)2PF1是底角為30°的等腰三角形，則橢圓E的離心率為()A.B.C.D.考點橢圓的離心率問題題點求a，b，c得離心率答案C解析設(shè)直線x與x軸交于點M，則PF2M60°，在RtPF2M中，|PF2|F1F2|2c，|F2M|c，故cos60°，解得，故離心率e.二、填空題8A為y軸上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，AF1F2為正三角形，且AF1的中點B恰好在橢圓上，則此橢圓的離心率為_考點橢圓的離心率問題題點求a，b，c得離心率答案1解析如圖，連接BF2.因為AF1F2為正三角形，且B為線段AF1的中點，所以F2BBF1.又因為BF2F130°，|F1F2|2c，所以|BF1|c，|BF2|c，由橢圓定義得|BF1|BF2|2a，即cc2a，所以1，所以橢圓的離心率e1.9若橢圓1的焦點在x軸上，過點作圓x2y21的切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓的方程是_考點由橢圓的簡單幾何性質(zhì)求方程題點由橢圓的幾何特征求方程答案1解析x1是圓x2y21的一條切線，橢圓的右焦點為(1,0)，即c1.設(shè)P，則kOP，OPAB，kAB2，則直線AB的方程為y2(x1)，它與y軸的交點為(0,2)b2，a2b2c25，故橢圓的方程為1.10設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是_考點橢圓的離心率問題題點求a，b，c得離心率答案1解析因為F1PF2為等腰直角三角形，所以|PF2|F1F2|2c，|PF1|2c，又由橢圓定義知|PF1|PF2|2a，所以2c2c2a，即(1)ca，于是e1.11在ABC中，tanA，B.若橢圓E以AB為長軸，且過點C，則橢圓E的離心率是_考點橢圓的離心率問題題點求a，b，c得離心率答案解析由tan A，得sin A，cosA.又B，sin B，cosB，則sin Csin(AB)sin AcosBcosAsinB××.由正弦定理，得|BC|CA|AB|sin AsinBsinC12.不妨取|BC|1，|CA|，|AB|2.以AB所在直線為x軸，AB中點O為原點建立直角坐標(biāo)系(C在x軸上方)，D是C在AB上的射影易求得|AD|，|OD|，|CD|，點C.設(shè)橢圓E的方程為1(ab0)，則a22，且1，解得b2，c2a2b22，e2，e.三、解答題12已知橢圓x2(m3)y2m(m0)，其焦距與長軸長的比值是，求m的值及橢圓的長軸長、短軸長及頂點坐標(biāo)考點由橢圓方程研究簡單幾何性質(zhì)題點由橢圓方程求頂點、焦點、長短軸、離心率解橢圓方程可化為1.因為m0，所以m0，所以m，所以a2m，b2，所以c.由，得，解得m1，所以a1，b，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21，所以橢圓的長軸長為2，短軸長為1，四個頂點的坐標(biāo)分別為(1,0)，(1,0)，.13已知橢圓1(a>b>0)的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，斜率為k的直線l過左焦點F1且與橢圓的交點為A，B，與y軸的交點為C，且B為線段CF1的中點，若|k|，求橢圓離心率e的取值范圍考點由橢圓方程研究簡單幾何性質(zhì)題點由橢圓的幾何特征求參數(shù)解依題意得F1(c,0)，直線l：yk(xc)，則C(0，kc)因為點B為線段CF1的中點，所以B.因為點B在橢圓上，所以1，即1.所以1，所以k2.由|k|，得k2，即，所以2e417e280.解得e28.因為0<e<1，所以e2<1，即e<1，即e的取值范圍是.四、探究與拓展14已知c是橢圓1(ab0)的半焦距，則的取值范圍是()A(1) B(，)C(1，) D(1，考點由橢圓方程研究簡單幾何性質(zhì)題點由橢圓的幾何特征求參數(shù)答案D解析橢圓的中心、一個短軸的頂點、一個焦點構(gòu)成一個直角三角形，兩直角邊長分別為b，c，斜邊為a，由直角三角形的兩直角邊之和大于斜邊得bca，1，又22(當(dāng)且僅當(dāng)bc時，取等號)，1，故選D.15設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：1(ab0)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點，|AF1|3|F1B|.(1)若|AB|4，ABF2的周長為16，求|AF2|；(2)若cosAF2B，求橢圓E的離心率考點橢圓離心率問題題點求a，b，c得離心率解(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1.因為ABF2的周長為16，所以由橢圓定義可得4a16，|AF1|AF2|2a8，故|AF2|835.(2)設(shè)|F1B|k，則k0且|AF1|3k，|AB|4k.由橢圓定義，得|AF2|2a3k，|BF2|2ak.在ABF2中，由余弦定理，得|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|·|BF2|·cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)·(2ak)，化簡可得(ak)(a3k)0，而ak0，故a3k.于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k.因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得F1AF2A，故AF1F2為等腰直角三角形從而ca，所以橢圓E的離心率e.14