2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量、數(shù)系的擴充與復(fù)述的引入 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積課時作業(yè)1已知|a|6，|b|3，向量a在b方向上的投影是4，則a·b為()A12B8C8 D2解析：|a|cosa，b4，|b|3，a·b|a|b|·cosa，b3×412.答案：A2已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，則m()A8 B6C6 D8解析：由向量的坐標運算得ab(4，m2)，由(ab)b，(ab)·b122(m2)0，解得m8，故選D.答案：D3(2018·云南五市聯(lián)考)在如圖所示的矩形ABCD中，AB4，AD2，E為線段BC上的點，則·的最小值為()A12 B15C17 D16解析：以B為坐標原點，BC所在直線為x軸，BA所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(0,4)，D(2,4)，設(shè)E(x,0)(0x2)，所以·(x，4)·(x2，4)x22x16(x1)215，于是當(dāng)x1，即E為BC的中點時，·取得最小值15，故選B.答案：B4(2018·昆明市檢測)已知a，b為單位向量，設(shè)a與b的夾角為，則a與ab的夾角為()A. BC. D解析：由題意，得a·b1×1×cos，所以|ab|2a22a·bb212×11，所以cosa，ab1，所以a，ab，故選B.答案：B5在ABC中，BC5，G，O分別為ABC的重心和外心，且·5，則ABC的形狀是()A銳角三角形B鈍角三角形C直角三角形D上述三種情況都有可能解析：設(shè)M為BC的中點，G在BC上的射影為H，A在BC上的射影為N，由·5，又BC5，知在上的投影為1，即MH1，HC1.5，又，A在BC上的射影在MC的延長線上，ABC為鈍角三角形，故選B.答案：B6已知平面向量a(2,4)，b(1，2)，若ca(a·b)·b，則|c|_.解析：由題意可得a·b2×14×(2)6，ca(a·b)·ba6b(2,4)6(1，2)(8，8)，|c|8.答案：87已知兩個單位向量a，b的夾角為60°，ct a(1t)b.若b·c0，則t_.解析：由題意，將b·ct a(1t)b·b整理得ta·b(1t)0，又a·b，所以t2.答案：28(2018·九江市模擬)若向量a(1,1)與b(，2)的夾角為鈍角，則的取值范圍是_解析：根據(jù)題意，若向量a(1,1)與b(，2)的夾角為鈍角，則a·b0，且a與b不共線，即有a·b1×1×(2)20，且1×1×(2)，解可得：2，且2，即的取值范圍是(，2)(2,2)答案：(，2)(2,2)9在平面直角坐標系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m與n的夾角為，求x的值解析：(1)若mn，則m·n0.由向量數(shù)量積的坐標公式得sin x·cos x0，tan x1.(2)m與n的夾角為，m·n|m|n|cos1×1×，即sin xcos x，sin.又x，x，x，即x.10已知在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，m·nsin 2C.(1)求角C的大?。?2)若sin A，sin C，sin B成等差數(shù)列，且·()18，求邊c的長解析：(1)m·nsin A·cos Bsin B·cos Asin(AB)，對于ABC，ABC,0<C<，sin(AB)sin C，m·nsin C，又m·nsin 2C，sin 2Csin C，cos C，C.(2)由sin A，sin C，sin B成等差數(shù)列，可得2sin Csin Asin B，由正弦定理得2cab.·()18，·18，即abcos C18，ab36.由余弦定理得c2a2b22abcos C(ab)23ab，c24c23×36，c236，c6.B組能力提升練1已知非零向量m，n滿足4|m|3|n|，cosm，n.若n(tmn)，則實數(shù)t的值為()A4 B4C. D解析：由n(tmn)可得n·(tmn)0，即tm·nn20，所以t3×3×4.故選B.答案：B2(2018·合肥市質(zhì)檢)已知向量a，b滿足|a|2，|b|1，則下列關(guān)系可能成立的是()A(ab)a B(ab)(ab)C(ab)b D(ab)a解析：|a|2，|b|1，設(shè)向量a，b的夾角為，若(ab)a，則(ab)·aa2a·b42cos 0，解得cos 2，顯然不存在，故A不成立；若(ab)(ab)，則(ab)·(ab)a2b24130，故B不成立；若(ab)b，則(ab)·bb2a·b12cos 0，解得cos ，即，故C成立；若(ab)a，則(ab)·aa2a·b42cos 0，解得cos 2，顯然不存在，故D不成立故選C.答案：C3設(shè)向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，定義一種向量運算ab(a1b1，a2b2)，已知向量m，n，點P(x，y)在ysin x的圖象上運動，點Q(x，y)是函數(shù)yf(x)圖象上的動點，且滿足mn(其中O為坐標原點)，則函數(shù)yf(x)的值域是()A. BC1,1 D(1,1)解析：由mn得(x，y)(2x，sin x)，ysin()，故選A.答案：A4已知ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE2EF，則·的值為()A BC. D解析：如圖所示，.又D，E分別為AB，BC的中點，且DE2EF，所以，所以.又，則··()·22·22·.又|1，BAC60°，故·×1×1×.故選B.答案：B5已知平面向量a、b滿足|a|b|1，a·b，若向量c滿足|abc|1，則|c|的最大值為_解析：由平面向量a、b滿足|a|b|1，a·b，可得|a|·|b|·cosa，b1·1·cosa，b，由0a，b，可得a，b，設(shè)a(1,0)，b(，)，c(x，y)，則|abc|1，即有|(x，y)|1，即為(x)2(y)21，故|abc| 1的幾何意義是在以(，)為圓心，半徑等于1的圓上和圓內(nèi)部分，|c|的幾何意義是表示向量c的終點與原點的距離，而原點在圓上，則最大值為圓的直徑，即為2.答案：26(2018·武漢市模擬)如圖，在等腰三角形ABC中，已知|AB|AC|1，A120°，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點，且，其中，(0,1)，且41.若線段EF，BC的中點分別為M，N，則|的最小值為_解析：連接AM，AN，由·|·|cos，()()，()，(1)(1)，|2(1)2(1)(1)(1)2(1)2(1)(1)(1)2，由4114，可得|22，(0,1)，當(dāng)時，|2取最小值，|的最小值為，|的最小值為.答案：7(2017·高考江蘇卷)已知向量a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，(1)若ab，求x的值；(2)記f(x)a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值解析：(1)因為a(cos x，sin x)，b(3，)，ab，所以cos x3sin x.若cos x0，則sin x0，與sin2xcos2x1矛盾，故cos x0.于是tan x.又x0，所以x.(2)f(x)a·b(cos x，sin x)·(3，)3cos xsin x2cos.因為x0，所以x，從而1cos.于是，當(dāng)x，即x0時，f(x)取到最大值3；當(dāng)x，即x時，f(x)取到最小值2.8ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.向量m(a，b)與n(cos A，sin B)平行(1)求A；(2)若a，b2，求ABC的面積解析：(1)因為mn，所以asin Bbcos A0，由正弦定理，得sin Asin Bsin Bcos A0，又sin B0，從而tan A，由于0<A<，所以A.(2)由余弦定理a2b2c22bccos A，及a，b2，A，得74c22c，即c22c30，因為c>0，所以c3.故ABC的面積為bcsin A.