《（江蘇專用）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.4 拋物線 2.4.1 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案 蘇教版選修1-1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.4 拋物線 2.4.1 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案 蘇教版選修1-1（7頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2.4.1　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(重點(diǎn))　2.掌握求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法． [自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知] 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 標(biāo)準(zhǔn)方程 y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py 圖形 焦點(diǎn)坐標(biāo) 準(zhǔn)線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 開口方向 向右 向左 向上 向下 [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．判斷正誤： (1)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)中p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．(　　) (2)拋物線的焦點(diǎn)位置由一次項(xiàng)及一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定．(　　) (3)x2＝－2y

2、表示的拋物線開口向左．(　　) 【解析】　(1)√.拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為x＝－，故焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是p. (2)√.一次項(xiàng)決定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定焦點(diǎn)是在正半軸或負(fù)半軸上，故該說法正確． (3)×.x2＝－2y表示的拋物線開口向下． 【答案】　(1)√　(2)√　(3)× 2．焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． 【解析】　由題意知p＝2×2＝4，焦點(diǎn)在y軸正半軸上， ∴方程為x2＝2×4y，即x2＝8y. 【答案】　x2＝8y [合 作 探 究·攻 重 難] 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 　分別求滿足下列條件的拋

3、物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)準(zhǔn)線方程為2y＋4＝0； (2)過點(diǎn)(3，－4)； (3)焦點(diǎn)在直線x＋3y＋15＝0上. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902128】 [思路探究]　→→→ 【自主解答】　(1)準(zhǔn)線方程為2y＋4＝0，即y＝－2，故拋物線焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，設(shè)其方程為x2＝2py(p>0)．又－＝－2，所以2p＝8，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝8y. (2)∵點(diǎn)(3，－4)在第四象限， ∴設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0)．把點(diǎn)(3，－4)的坐標(biāo)分別代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即2p＝

4、，2p1＝. ∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝x或x2＝－y. (3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴拋物線的焦點(diǎn)為(0，－5)或(－15,0)． ∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－20y或y2＝－60x. [規(guī)律方法]　求拋物線方程的主要方法是待定系數(shù)法 (1)若已知拋物線的焦點(diǎn)位置，則可設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出p值即可； (2)若拋物線的焦點(diǎn)位置不確定，則要分情況討論. 注意：焦點(diǎn)在x軸上的拋物線方程可統(tǒng)一設(shè)成y2＝ax(a≠0)，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線方程可統(tǒng)一設(shè)成x2＝ay(a≠0). [跟蹤訓(xùn)練] 1．(1)焦點(diǎn)在x軸上，且焦點(diǎn)在雙曲線－＝1上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)

5、方程為________． (2)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸重合于橢圓9x2＋16y2＝144的短軸所在的直線，拋物線焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________． 【解析】　(1)由題意可設(shè)拋物線方程為y2＝2mx(m≠0)，則焦點(diǎn)為. ∵焦點(diǎn)在雙曲線－＝1上，∴＝1，求得m＝±4，∴所求拋物線方程為y2＝8x或y2＝－8x. (2)橢圓的方程可化為＋＝1，其短軸在y軸上， ∴拋物線的對(duì)稱軸為y軸，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2＝2py或x2＝－2py(p＞0)，由拋物線焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3得＝3，∴p＝6，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝12y或x2＝－12y. 【答案

6、】　(1)y2＝8x或y2＝－8x　x2＝12y或x2＝－12y 由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程 　求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程： (1)y＝x2；(2)x＝y(tǒng)2(a≠0). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902129】 [思路探究]　→→ 【自主解答】　(1)拋物線y＝x2的標(biāo)準(zhǔn)形式為x2＝4y，所以p＝2，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,1)，準(zhǔn)線方程是y＝－1. (2)拋物線x＝y(tǒng)2的標(biāo)準(zhǔn)形式為y2＝ax，所以p＝，故焦點(diǎn)在x軸上，坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x＝－. [規(guī)律方法]　求拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程的步驟： [跟蹤訓(xùn)練] 2．求拋物線ay2＝x(a≠0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線

7、方程． 【解析】　把拋物線ay2＝x(a≠0)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為y2＝x，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x＝－. 拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用 [探究問題] 1．拋物線定義是什么？能否用數(shù)學(xué)式表示拋物線的定義？ 【提示】　平面內(nèi)到一定點(diǎn)F和一條定直線l(F不在l上)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)P，點(diǎn)P到直線l的距離為PD，則拋物線的定義可表示為PF＝PD. 2．拋物線y2＝2px(p＞0)上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x0，那么點(diǎn)P到其焦點(diǎn)F的距離是什么？ 【提示】　拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線方程為x＝－，根據(jù)拋物線的定義可知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于

8、其到準(zhǔn)線的距離，所以點(diǎn)P到其焦點(diǎn)F的距離為PF＝x0－＝x0＋. 3．探究2中得到的用點(diǎn)P的橫坐標(biāo)表示其到焦點(diǎn)的距離的公式稱為拋物線的焦半徑公式，對(duì)于其它三種形式的方程的焦半徑公式是什么？ 【提示】　設(shè)拋物線上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x0，對(duì)于拋物線y2＝－2px(p＞0)，PF＝－x0； 設(shè)拋物線上一點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y0，對(duì)于拋物線x2＝2py(p＞0)，PF＝y(tǒng)0－＝y(tǒng)0＋； 設(shè)拋物線上一點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y0，對(duì)于拋物線x2＝－2py(p＞0)，PF＝－y0. 4．通過以上探究，你得到了什么啟示？ 【提示】　當(dāng)題目中涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離較為簡(jiǎn)單

9、，這樣就將兩點(diǎn)間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，將二次問題轉(zhuǎn)化為一次問題． 　已知拋物線的方程為y2＝2x，F(xiàn)是其焦點(diǎn)，點(diǎn)A(4,2)，在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使MA＋MF取得最小值？若存在，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． [思路探究]　→→ 【自主解答】　如圖，由于點(diǎn)M在拋物線上，所以MF等于點(diǎn)M到其準(zhǔn)線l的距離MN，于是MA＋MF＝MA＋MN，所以當(dāng)A，M，N三點(diǎn)共線時(shí)，MA＋MN取最小值，亦即MA＋MF取最小值，這時(shí)M的縱坐標(biāo)為2，可設(shè)M(x0,2)代入拋物線方程得x0＝2， 即M(2,2)． [規(guī)律方法]　 1．此類題目的實(shí)質(zhì)是拋物線定義的應(yīng)用，將拋物線上的點(diǎn)到焦

10、點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化成到準(zhǔn)線的距離，從而化曲為直，利用點(diǎn)到直線的距離求最小值． 2．涉及拋物線上任意一點(diǎn)P與平面上的定點(diǎn)A以及拋物線焦點(diǎn)F的距離和PA＋PF的最小值問題，有以下處理思路： (1)若點(diǎn)A在拋物線外部，則直線FA與拋物線的交點(diǎn)P使得PA＋PF最小，其最小值為AF； (2)若點(diǎn)A在拋物線內(nèi)部，則過A點(diǎn)作與準(zhǔn)線l垂直的直線，它與拋物線的交點(diǎn)為P，則PA＋PF最小，其最小值為點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離． [跟蹤訓(xùn)練] 3．已知點(diǎn)P是拋物線y2＝2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(0，2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902130】 【解析】　如

11、圖，由拋物線定義知PA＋PQ＝PA＋PF，則所求距離之和的最小值轉(zhuǎn)化為求PA＋PF的最小值，則當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，PA＋PF取得最小值．又A(0,2)，F(xiàn)， ∴(PA＋PF)min＝AF＝＝. 【答案】　 [構(gòu)建·體系] [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基] 1．拋物線x2＝－16y的焦點(diǎn)坐標(biāo)是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902131】 【解析】　＝4，焦點(diǎn)在y軸上，開口向下，焦點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)為，即(0，－4)． 【答案】　(0，－4) 2．拋物線y＝x2的準(zhǔn)線方程是________． 【解析】　由y＝x2得x2＝4y，所以拋物線的準(zhǔn)線方程是y＝－1. 【答案】

12、　y＝－1 3.拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)到雙曲線－＝1漸近線的距離為__________． 【解析】　拋物線焦點(diǎn)F(1,0)，雙曲線漸近線為3x±4y＝0，點(diǎn)F到直線3x±4y＝0的距離為d＝＝. 【答案】　 4．頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，過點(diǎn)(－2,3)的拋物線方程是________． 【解析】　∵點(diǎn)(－2,3)在第二象限，∴設(shè)拋物線方程為y2＝－2px(p>0)或x2＝2p′y(p′>0)， 又點(diǎn)(－2,3)在拋物線上，∴p＝，p′＝，∴拋物線方程為y2＝－x或x2＝y(tǒng). 【答案】　y2＝－x或x2＝y(tǒng) 5．拋物線y2＝－2px(p>0)上有一點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為－9，它到焦點(diǎn)的距離為10，求此拋物線方程和M點(diǎn)的坐標(biāo). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902132】 【解】　設(shè)焦點(diǎn)為F，M點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為d，則d＝|MF|＝10， 即9＋＝10，∴p＝2，∴拋物線方程為y2＝－4x.將M(－9，y)代入拋物線的方程， 得y＝±6.∴M點(diǎn)坐標(biāo)為(－9,6)或(－9，－6)． 7