2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時規(guī)范練13 函數(shù)模型及其應(yīng)用 理 北師大版1.如圖,下面的四個容器高度都相同,將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中,注滿為止.用下面對應(yīng)的圖像表示該容器中水面的高度h和時間t之間的關(guān)系,其中不正確的有()A.1個B.2個C.3個D.4個2.在某個物理實驗中,測得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù),如下表:x0.500.992.013.98y-0.990.010.982.00則對x,y最適合的擬合函數(shù)是()A.y=2xB.y=x2-1C.y=2x-2D.y=log2x3.某產(chǎn)品的總成本y(單位:萬元)與產(chǎn)量x(單位:臺)之間的函數(shù)關(guān)系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,xN+),若每臺產(chǎn)品的售價為25萬元,則生產(chǎn)者不虧本時(銷售收入不小于總成本)的最低產(chǎn)量是()A.100臺B.120臺C.150臺D.180臺4.一個人以6米/秒的速度去追趕停在交通燈前的汽車,當他離汽車25米時交通燈由紅變綠,汽車開始變速直線行駛(汽車與人前進方向相同),汽車在t秒的路程為s=t2米,那么,此人()A.可在7秒內(nèi)追上汽車B.可在9秒內(nèi)追上汽車C.不能追上汽車,但期間最近距離為14米D.不能追上汽車,但期間最近距離為7米5.企業(yè)投入100萬元購入一套設(shè)備,該設(shè)備每年的運轉(zhuǎn)費用是0.5萬元,此外每年都要花費一定的維護費,第一年的維護費為2萬元,由于設(shè)備老化,以后每年的維護費都比上一年增加2萬元.為使該設(shè)備年平均費用最低,該企業(yè)年后需要更新設(shè)備. 6.如圖,動物園要建造一面靠墻的兩間相同的矩形熊貓居室,如果可供建造圍墻的材料總長是30 m.(1)用寬x(單位:m)表示所建造的兩間熊貓居室的面積y(單位:m2);(2)怎么設(shè)計才能使所建造的熊貓居室面積最大?并求出每間熊貓居室的最大面積?7.某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥,如果成年人按規(guī)定的劑量服用,據(jù)監(jiān)測:服藥后每毫升血液中的含藥量y(單位:g)與時間t(單位:h)之間的關(guān)系近似滿足如圖所示的曲線.(1)寫出第一次服藥后y與t之間的函數(shù)解析式y(tǒng)=f(t);(2)據(jù)進一步測定:當每毫升血液中含藥量不少于0.25 g時,治療有效.求服藥一次后治療有效的時間.綜合提升組8.某房地產(chǎn)公司計劃出租70套相同的公寓房.當每套房月租金定為3 000元時,這70套公寓能全租出去;當月租金每增加50元時(設(shè)月租金均為50元的整數(shù)倍),就會多一套房子租不出去.設(shè)租出的每套房子每月需要公司花費100元的日常維修等費用(設(shè)租不出去的房子不需要花這些費用).要使公司獲得最大利潤,每套公寓月租金應(yīng)定為()A.3 000元B.3 300元C.3 500元D.4 000元9.已知甲、乙兩種商品在過去一段時間內(nèi)的價格走勢如圖所示.假設(shè)某商人持有資金120萬元,他可以在t1至t4的任意時刻買賣這兩種商品,且買賣能夠立即成交(其他費用忽略不計).如果他在t4時刻賣出所有商品,那么他將獲得的最大利潤是()A.40萬元B.60萬元C.120萬元D.140萬元10.某商人購貨,進價已按原價a扣去25%.他希望對貨物訂一新價,以便按新價讓利20%銷售后仍可獲得售價25%的利潤,則此商人經(jīng)營這種貨物的件數(shù)x與按新價讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系式為. 11.某企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測,A產(chǎn)品的利潤與投資成正比,其關(guān)系如圖;B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖(注:利潤和投資單位:萬元).圖圖(1)分別將A,B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式;(2)已知該企業(yè)已籌集到18萬元資金,并將全部資金投入到A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)中.若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品,可獲得多少利潤?如果你是廠長,怎樣分配這18萬元投資,才能使該企業(yè)獲得最大利潤?其最大利潤為多少萬元?創(chuàng)新應(yīng)用組12.(2018江蘇蘇北四市模擬,17)某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品,該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成,圓錐的側(cè)面用于藝術(shù)裝飾,如圖1.為了便于設(shè)計,可將該禮品看成是由圓O及其內(nèi)接等腰三角形ABC繞底邊BC上的高所在直線AO旋轉(zhuǎn)180°而成,如圖2.已知圓O的半徑為10 cm,設(shè)BAO=,0<<,圓錐的側(cè)面積為S cm2.(1)求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;(2)為了達到最佳觀賞效果,要求圓錐的側(cè)面積S最大.求S取得最大值時腰AB的長度.參考答案課時規(guī)范練13函數(shù)模型及其應(yīng)用1.A水面的高度h和時間t之間的關(guān)系可以從高度隨時間的變化率上反映出來,圖應(yīng)該是勻速的,故下面的圖像不正確,中的變化率是越來越慢的,正確;中的變化規(guī)律是逐漸變慢再變快,正確;中的變化規(guī)律是逐漸變快再變慢,也正確,故只有是錯誤的.故選A.2.D根據(jù)x=0.50,y=-0.99,代入計算,可以排除A;根據(jù)x=2.01,y=0.98,代入計算,可以排除B、C;將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y=log2x,可知滿足題意.故選D.3.C設(shè)利潤為f(x)萬元,則f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000(0<x<240,xN+).令f(x)0,得x150,生產(chǎn)者不虧本時的最低產(chǎn)量是150臺.4.D已知s=t2,車與人的間距d=(s+25)-6t=t2-6t+25= (t-6)2+7.當t=6時,d取得最小值7.5.10由題意可知x年的維護費用為2+4+2x=x(x+1),所以x年的平均費用y=x+1.5,由基本不等式得y=x+1.52+1.5=21.5,當且僅當x=,即x=10時取等號,所以該企業(yè)10年后需要更新設(shè)備.6.解 (1)設(shè)熊貓居室的寬為x(單位:m),由于可供建造圍墻的材料總長是30 m,兩間熊貓居室的長為30-3x(單位:m),所以兩間熊貓居室的面積y=x(30-3x),又得0<x<10,于是y=-3x2+30x(0<x<10)為所求.(2)由(1)知,y=-3x2+30x=-3(x-5)2+75,二次函數(shù)圖像開口向下,對稱軸x=5,且x(0,10),當x=5時,所建造的熊貓居室面積最大,其中每間熊貓居室的最大面積為 m2.7.解 (1)根據(jù)所給的曲線,可設(shè)y=當t=1時,由y=4,得k=4,由=4,得a=3.則y=(2)由y0.25,得或解得t5.因此服藥一次后治療有效的時間為5-=(h).8.B由題意,設(shè)利潤為y元,租金定為(3 000+50x)元(0x70,xN),則y=(3 000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2 900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)50=204 800,當且僅當58+x=70-x,即x=6時,等號成立,故每月租金定為3 000+300=3 300(元)時,公司獲得最大利潤,故選B.9.C甲6元時該商人全部買入甲商品,可以買120÷6=20(萬份),在t2時刻全部賣出,此時獲利20×2=40(萬元),乙4元時該商人買入乙商品,可以買(120+40)÷4=40(萬份),在t4時刻全部賣出,此時獲利40×2=80(萬元),共獲利40+80=120(萬元),故選C.10.y=x(xN+)設(shè)新價為b,依題意,有b(1-20%)-a(1-25%)=b(1-20%)·25%,化簡得b=a.y=b·20%·x=a·20%·x,即y=x(xN+).11.解 (1)設(shè)A,B兩種產(chǎn)品都投資x萬元(x0),所獲利潤分別為f(x)萬元、g(x)萬元,由題意可設(shè)f(x)=k1x,g(x)=k2,根據(jù)題圖可得f(x)=0.25x(x0),g(x)=2(x0).(2)由(1)得f(9)=2.25,g(9)=2=6,故總利潤y=8.25(萬元).設(shè)B產(chǎn)品投入x萬元,A產(chǎn)品投入(18-x)萬元,該企業(yè)可獲總利潤為y萬元,則y=(18-x)+2,0x18.令=t,t0,3 ,則y=(-t2+8t+18)=-(t-4)2+.故當t=4時,ymax=8.5,此時x=16,18-x=2.所以當A,B兩種產(chǎn)品分別投入2萬元、16萬元時,可使該企業(yè)獲得最大利潤8.5萬元.12.解 (1)設(shè)AO交BC于點D,過O作OEAB,垂足為E,如下圖.在AOE中,AE=10cos ,AB=2AE=20cos ,在ABD中,BD=AB·sin =20cos ·sin ,所以S=·20sin cos ·20cos =400sin cos2,0<<.(2)要使側(cè)面積最大,由(1)得,S=400sin cos2=400(sin -sin3),設(shè)f(x)=x-x3(0<x<1),則f'(x)=1-3x2,由f'(x)=1-3x2=0,得x=,當x時,f'(x)>0,當x時,f'(x)<0,所以f(x)在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減,所以f(x)在x=時取得極大值,也是最大值,所以當sin =時,側(cè)面積S取得最大值,此時等腰三角形的腰長AB=20cos =20=20=.即側(cè)面積S取得最大值時,等腰三角形的腰AB的長度為 cm.