《2022年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-1創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案：第一講 知識(shí)歸納與達(dá)標(biāo)驗(yàn)收 Word版含答案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-1創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案：第一講 知識(shí)歸納與達(dá)標(biāo)驗(yàn)收 Word版含答案（13頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2022年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-1創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案：第一講 知識(shí)歸納與達(dá)標(biāo)驗(yàn)收 Word版含答案 近兩年高考中，由于各地的要求不同，所以試題的呈現(xiàn)形式也不同．但都主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，射影定理，平行線分線段成比例定理；一般試題難度不大，解題中要注意觀察圖形特點(diǎn)，巧添輔助線對(duì)解題可起到事半功倍的效果．在使用平行線分線段成比例定理及其推論時(shí)，一定要搞清有關(guān)線段或邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系，切忌搞錯(cuò)比例關(guān)系． 1.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F(xiàn)分別為AD，BC上的點(diǎn)，且EF＝3，EF∥AB，則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為________． 解

2、析：由CD＝2，AB＝4，EF＝3， 得EF＝(CD＋AB)， ∴EF是梯形ABCD的中位線， 則梯形ABFE與梯形EFCD有相同的高，設(shè)為h， 于是兩梯形的面積比為 (3＋4)h∶(2＋3)h＝7∶5. 答案：7∶5 2.如圖，圓O上一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D，點(diǎn)D在半徑OC上的射影為E.若AB＝3AD，則的值為________． 解析：連接AC，BC，則∠ACB＝90°. 設(shè)AD＝2，則AB＝6， 于是BD＝4，OD＝1. 如圖，由射影定理得CD2＝AD·BD＝8，則CD＝2. 在Rt△OCD中，DE＝＝＝. 則CE＝＝ ＝， EO＝OC－CE＝3－＝

3、. 因此＝＝8. 答案：8 [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P16] 平行線分線段相關(guān)定理 平行線等分線段定理、平行線分線段成比例定理，其實(shí)質(zhì)是揭示一組平行線在與其相交的直線上截得的線段所呈現(xiàn)的規(guī)律，主要用來證明比例式成立、證明直線平行、計(jì)算線段的長(zhǎng)度，也可以作為計(jì)算某些圖形的周長(zhǎng)或面積的重要方法，其中，平行線等分線段定理是線段的比為1的特例． [例1]　如圖，在△ABC中，DE∥BC，DH∥GC. 求證：EG∥BH. [證明]　∵DE∥BC， ∴＝. ∵DH∥GC，∴＝. ∴AE·AB＝AC·AD＝AH·AG. ∴＝.∴EG∥BH. [例2]　如圖，直線l分別交△ABC的邊B

4、C，CA，AB于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且AF＝AB，BD＝BC，試求. [解]　作CN∥AB交DF于點(diǎn)N，并作EG∥AB交BC于點(diǎn)G，由平行截割定理，知＝，＝， 兩式相乘，得·＝·， 即＝·. 又由AF＝AB，得＝2， 由BD＝BC，得＝， 所以＝2×＝. 相似三角形的判定與性質(zhì) 相似三角形的判定與性質(zhì)揭示了形狀相同，大小不一定相等的兩個(gè)三角形之間的邊、角關(guān)系．其應(yīng)用非常廣泛，涉及到多種題型，可用來計(jì)算線段、角的大小，也可用來證明線段、角之間的關(guān)系，還可以證明直線之間的位置關(guān)系．其中，三角形全等是三角形相似的特殊情況． [例3]　如圖所示，AD、CF是△ABC的兩條高線，在A

5、B上取一點(diǎn)P，使AP＝AD，再?gòu)腜點(diǎn)引BC的平行線與AC交于點(diǎn)Q. 求證：PQ＝CF. [證明]　∵AD、CF是△ABC的兩條高線， ∴∠ADB＝∠BFC＝90°. 又∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBF. ∴＝. 又∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC. ∴＝.∴＝.∴＝. 又∵AP＝AD，∴CF＝PQ. [例4]　四邊形ABCD中，AB∥CD，CE平分∠B CD，CE⊥AD于點(diǎn)E，DE＝2AE，若△CED的面積為1，求四邊形ABCE的面積． [解]　如圖，延長(zhǎng)CB、DA交于點(diǎn)F， 又CE平分∠BCD，CE⊥AD. ∴△FCD為等腰三角形，E為FD的中點(diǎn)． ∴S△FC

6、D＝FD·CE ＝×2ED·CE ＝2S△CED＝2， EF＝ED＝2AE. ∴FA＝AE＝FD. 又∵AB∥CD， ∴△FBA∽△FCD. ∴＝()2＝()2＝. ∴S△FBA＝×S△FCD＝. ∴S四邊形ABCE＝S△FCD－S△CED－S△FBA ＝2－1－＝. 射影定理 射影定理揭示了直角三角形中兩直角邊在斜邊上的射影，斜邊及兩直角邊之間的比例關(guān)系，此定理常作為計(jì)算與證明的依據(jù)，在運(yùn)用射影定理時(shí)，要特別注意弄清射影與直角邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系，分清比例中項(xiàng)，否則在做題中極易出錯(cuò)． [例5]　如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，EF⊥

7、AB于F. 求證：CE2＝BD·DF. [證明]　∵∠ACB＝90°，DE⊥AC， ∴DE∥BC.∴＝. 同理：CD∥EF，∴＝. ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴AC2＝AD·AB. ∴＝. ∴＝. ∴CE2＝BD·DF. [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P41] (時(shí)間：90分鐘，滿分：120分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．如圖，已知AA′∥BB′∥CC′，AB∶BC＝1∶3，那么下列等式成立的是(　　) A．AB＝2A′B′　　　　　　 B．3A′B′＝B′C′ C．BC＝B′C

8、′ D．AB＝A′B′ 解析：∵AA′∥BB′∥CC′，∴＝＝. ∴3A′B′＝B′C′. 答案：B 2.如圖，∠ACB＝90°.CD⊥AB于D，AD＝3、CD＝2，則AC∶BC的值是(　　) A．3∶2 B．9∶4 C.∶ D.∶ 解析：Rt△ACD∽R(shí)t△CBD，∴＝＝. 答案：A 3．在Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的高，若BD＝3 cm，AC＝2 cm，則CD和BC的長(zhǎng)分別為(　　) A. cm和3 cm B．1 cm和 cm C．1 cm和3 cm D. cm和2 cm 解析：設(shè)AD＝x， 則由射影定理得x(x＋3)＝4， 即x＝1(負(fù)值

9、舍去)， 則CD＝＝(cm)， BC＝＝＝2(cm)． 答案：D 4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高，DE是△ACD的高，且AC＝5，CD＝2，則DE的值為(　　) A. B. C. D. 解析：AC2＝CD·BC， 即52＝2×BC， ∴BC＝. ∴AB＝＝ ＝. ∵＝，∴DE＝. 答案：A 5．如圖所示，給出下列條件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝AD·AB.其中單獨(dú)能夠判定△ABC∽△ACD的個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：①由∠B＝∠ACD，再加上公共角∠A＝

10、∠A，可得兩個(gè)三角形相似；②由∠ADC＝∠ACB，再加上公共角∠A＝∠A，可得兩個(gè)三角形相似；③＝，而夾角不一定相等，所以兩個(gè)三角形不一定相似；④AC2＝AD·AB可得＝，再加上公共角∠A＝∠A，可得兩個(gè)三角形相似． 答案：C 6.如圖，DE∥BC，S△ADE∶S四邊形DBCE＝1∶8，則AD∶DB的值為(　　) A．1∶4 B．1∶3 C．1∶2 D．1∶5 解析：由S△ADE∶S四邊形DBCE＝1∶8 得S△ADE∶S△ABC＝1∶9. ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC. ∴()2＝＝. ∴＝，＝. 答案：C 7．△ABC和△DEF滿足下列條件，其中不一

11、定使△ABC與△DEF相似的是(　　) A．∠A＝∠D＝45°38′，∠C＝26°22′，∠E＝108° B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，DE＝12，EF＝8，DF＝16 C．BC＝a，AC＝b，AB＝c，DE＝，EF＝，DF＝ D．AB＝AC，DE＝DF，∠A＝∠D＝40° 解析：A中∠A＝∠D，∠B＝∠E＝108°， ∴△ABC∽△DEF； B中AB∶AC∶BC＝EF∶DE∶DF＝2∶3∶4； ∴△ABC∽△EFD； D中＝，∠A＝∠D， ∴△ABC∽△DEF； 而C中不能保證三邊對(duì)應(yīng)成比例． 答案：C 8．在Rt△ACB中，∠C＝90°.CD⊥AB于D.若

12、BD∶AD＝1∶4，則tan∠BCD的值是(　　) A. B. C. D．2 解析：由射影定理得 CD2＝AD·BD，又BD∶AD＝1∶4. 令BD＝x，則AD＝4x(x>0)， ∴CD2＝4x2， ∴CD＝2x，tan∠BCD＝＝＝. 答案：C 9.在?ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，DE∶CE＝2∶3，連接AE、BE、BD且AE、BD交于點(diǎn)F，則S△DEF∶S△EBF∶S△ABF＝(　　) A．4∶10∶25 B．4∶9∶25 C．2∶3∶5 D．2∶5∶25 解析：∵AB∥CD， ∴△ABF∽△EDF. ∴＝＝. ∴＝()2＝. 又△DEF和△

13、BEF等高． ∴＝＝＝. 答案：A 10．如圖，已知a∥b，＝，＝3.則AE∶EC＝(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：∵a∥b，∴＝，＝. ∵＝3，∴BC＝3CD，∴BD＝4CD. 又＝， ∴＝＝.∴＝.∴＝. ∴＝＝. 答案：A 二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，滿分20分．把答案填寫在題中的橫線上) 11．如圖，D，E分別是△ABC邊AB，AC上的點(diǎn)，且DE∥BC，BD＝2AD，那么△ADE的周長(zhǎng)∶△ABC的周長(zhǎng)等于________． 解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC. ∵BD＝2AD，∴AB＝3AD.∴＝. ∴

14、＝＝. 答案： 12．如圖，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE∶AC＝3∶5，DE＝6，則BF＝________. 解析：∵DE∥BC， ∴＝，∴BC＝DE·＝6×＝10， 又DF∥AC，∴DE＝FC＝6. ∴BF＝BC－FC＝4. 答案：4 13．如圖，在△ABC中，DE∥BC，BE與CD相交于點(diǎn)O，直線AO與DE、BC分別交于N、M，若DN∶MC＝1∶4，則NE∶BM＝________，AE∶EC＝________. 解析：＝＝， ∴＝＝. ∴＝＝. 又＝＝， ∴＝＝. ∴AE∶EC＝1∶3. 答案：1∶4　1∶3 14．陽(yáng)光通過窗口照到室內(nèi)，在

15、地面上留下2.7 m寬的亮區(qū)(如圖所示)，已知亮區(qū)一邊到窗下的墻角距離CE＝8.7 m，窗口高AB＝1.8 m，那么窗口底邊離地面的高BC等于________m. 解析：∵BD∥AE，∴＝. ∴BC＝. ∵AB＝1.8 m，DE＝2.7 m，CE＝8.7 m， ∴CD＝CE－DE＝8.7－2.7＝6(m)． ∴BC＝＝4(m)． 答案：4 三、解答題(本大題共4個(gè)小題，滿分50分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 15．(本小題滿分12分)如圖，△ABC中，BC的中點(diǎn)為D，∠ADB和∠ADC的平分線分別交AB、AC于點(diǎn)M、N. 求證：MN∥BC. 證明：∵

16、MD平分∠ADB， ∴＝. ∵ND平分∠ADC，∴＝. ∵BD＝DC， ∴＝＝＝. ∴MN∥BC. 16．(本小題滿分12分)如圖，已知：△ABC中，AB＝AC，AD是中線，P是AD上一點(diǎn)，過C作CF∥AB，延長(zhǎng)BP交AC于E，交CF于F，求證：BP2＝PE·PF. 證明：連接PC， ∵AB＝AC，AD是中線， ∴AD是△ABC的對(duì)稱軸， 故PC＝PB， ∠PCE＝∠ABP. ∵CF∥AB， ∴∠PFC＝∠ABP， 故∠PCE＝∠PFC， ∵∠CPE＝∠FPC， ∴△EPC∽△CPF， 故＝， 即PC2＝PE·PF， ∴BP2＝PE·PF. 17．(本小

17、題滿分12分)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，P是BD上任意一點(diǎn)，過P點(diǎn)的直線分別交AB、DC于E、F，交DA、BC的延長(zhǎng)線于G、H. (1)求證：PE·PG＝PF·PH； (2)當(dāng)過P點(diǎn)的直線繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到F、H、C重合時(shí)，請(qǐng)判斷PE、PC、PG的關(guān)系，并給出證明． 解：(1)證明：∵AB∥CD，∴＝. ∵AD∥BC，∴＝， ∴＝.∴PE·PG＝PH·PF. (2)關(guān)系式為PC2＝PE·PG. 證明：由題意可得到右圖， ∵AB∥CD， ∴＝. ∵AD∥BC，∴＝. ∴＝，即PC2＝PE·PG. 18．(本小題滿分14分)某生活小區(qū)的居民籌集資金1 600元，計(jì)劃在一塊

18、上、下兩底分別為10 m、20 m的梯形空地上種植花木(如圖)． (1)他們?cè)凇鰽MD和△BMC地帶上種植太陽(yáng)花，單位為8元/m2，當(dāng)△AMD地帶種滿花后(圖中陰影部分)共花了160元，請(qǐng)計(jì)算種滿△BMC地帶所需的費(fèi)用； (2)若其余地帶要種的有玫瑰和茉莉花兩種花木可供選擇，單價(jià)分別為12元/m2和10元/m2，應(yīng)選擇種哪種花木，剛好用完所籌集的資金？ 解：(1)∵四邊形ABCD為梯形，∴AD∥BC. ∴△AMD∽△CMB，∴＝()2＝. ∵種植△AMD地帶花費(fèi)160元， ∴S△AMD＝＝20(m2)． ∴S△CMB＝80(m2)． ∴△CMB地帶的花費(fèi)為80×8＝640元． (2)＝＝＝2， ∴S△ABM＝2S△AMD＝40(m2)． 同理：S△DMC＝40(m2)． 所剩資金為：1600－160－640＝800元， 而800÷(S△ABM＋S△DMC)＝10(元/m2)． 故種植茉莉花剛好用完所籌集的資金．