2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過(guò)關(guān) 第二章 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)學(xué)案 本節(jié)是函數(shù)部分的起始部分，以考查函數(shù)概念、三要素及表示法為主，同時(shí)考查學(xué)生在實(shí)際問(wèn)題中的建模能力. 本節(jié)內(nèi)容曾以多種題型出現(xiàn)在高考試題中，要求相對(duì)較低，但很重要，特別是函數(shù)的解析式仍會(huì)是2019年高考的重要題型 理解函數(shù)的概念，了解構(gòu)成函數(shù)的要素. 在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù). 了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用1. (必修1P26練習(xí)3改編)下列對(duì)應(yīng)關(guān)系中_是函數(shù)(填序號(hào)) AR，BR，對(duì)于任意的xA，xx的算術(shù)平方根； A1，2，3，4，5，B0，2，4，6，8，對(duì)于任意的xA，x2x； xx，xR； xy，其中y|x|，xR，yR； xy，其中y為不大于x的最大整數(shù)，xR，yZ.答案：解析：均符合函數(shù)的定義，對(duì)于集合A中的元素5，在集合B中找不到元素與之對(duì)應(yīng)2. (必修1P26練習(xí)4改編)下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是_(填序號(hào)) yx1和y； yx0和y1； f(x)x2和g(x)(x1)2； f(x)和g(x).答案： 解析：只有表示同一函數(shù)，與中定義域不同，是對(duì)應(yīng)法則不同3. (必修1P31習(xí)題1改編)設(shè)函數(shù)f(x).若f(a)2，則實(shí)數(shù)a_答案：1解析：由題意可知，f(a)2，解得a1.4. (必修1P31習(xí)題8改編)已知函數(shù)f(x)由下表給出，則f(3)_x1234f(x)3241答案：4解析：由表中函數(shù)值得f(3)4.5. (必修1P36習(xí)題3改編)已知函數(shù)f(x)在1，2上的圖象如圖所示，則f(x)的解析式為_(kāi)答案：f(x)解析：觀察圖象，知此函數(shù)是分段函數(shù)，并且在每段上均是一次函數(shù)，利用待定系數(shù)法求出解析式當(dāng)1x0時(shí)，f(x)x1；當(dāng)0<x2時(shí)，f(x). f(x)1. 函數(shù)的概念(1) 函數(shù)的定義一般地，設(shè)A，B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一的一個(gè)元素y和它對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)叫做從A到B 的一個(gè)函數(shù)，通常記為yf(x)，xA(2) 函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)yf(x)，xA中，所有的輸入值x組成的集合A叫做函數(shù)yf(x)的定義域；若A是函數(shù)yf(x)的定義域，則對(duì)于A中的每一個(gè)x，都有一個(gè)輸出值y與之對(duì)應(yīng)我們將所有輸出值y組成的集合稱(chēng)為函數(shù)的值域(3) 函數(shù)的要素函數(shù)的構(gòu)成要素：定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)法則決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則完全一致，我們就稱(chēng)這兩個(gè)函數(shù)為相同的函數(shù)或同一函數(shù)這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)2. 函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的常用方法有列表法、解析法(解析式法)、圖象法3. 分段函數(shù)在定義域內(nèi)不同部分上，有不同的解析式，像這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)分段函數(shù)的定義域是各段自變量取值集合的并集，值域是各段上函數(shù)值集合的并集4. 映射的概念一般地，設(shè)A，B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)對(duì)應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射函數(shù)是映射，但映射不一定是函數(shù)備課札記,1函數(shù)的概念),1)下列集合A到集合B的對(duì)應(yīng)關(guān)系中，是從集合A到集合B的映射的有_(填序號(hào)) AR，By|y>0，f：xy|x|； Ax|x2，xN*，By|y0，yN，f：xyx22x2； Ax|x>0，By|yR，f：xy±； A|是三角形的內(nèi)角，By|yR，對(duì)應(yīng)法則：ytan ； Am|mZ，By|y0或y1，對(duì)應(yīng)法則：y答案：解析： 集合A中的零元素，在集合B中沒(méi)有相應(yīng)的對(duì)應(yīng)元素 按照對(duì)應(yīng)法則，滿(mǎn)足題設(shè)條件 一對(duì)多，不滿(mǎn)足映射的概念 A，但的正切值不存在， 此對(duì)應(yīng)不是從集合A到集合B的映射 集合A中的每一個(gè)元素在集合B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)， 此對(duì)應(yīng)是從集合A到集合B的映射點(diǎn)評(píng)：判斷對(duì)應(yīng)是否為映射，即看A中元素是否滿(mǎn)足“每元有象”和“且象唯一”；但要注意： A中不同元素可有相同的象，即允許多對(duì)一，但不允許一對(duì)多； B中元素可無(wú)原象，即B中元素可以有剩余已知映射f：AB，其中ABR，對(duì)應(yīng)法則f：xyx22x，對(duì)于實(shí)數(shù)kB，在集合A中不存在元素與之對(duì)應(yīng)，則k的取值范圍是_答案：(1，)解析：由題意知，方程x22xk無(wú)實(shí)數(shù)根，即x22xk0無(wú)實(shí)數(shù)根 4(1k)<0， k>1時(shí)滿(mǎn)足題意,2函數(shù)的解析式),2)求下列各題中的函數(shù)f(x)的解析式(1) 已知f(2)x4，求f(x)；(2) 已知flg x，求f(x)；(3) 已知f(x)是二次函數(shù)，且滿(mǎn)足f(0)1，f(x1)f(x)2x，求f(x)解：(1) (解法1)設(shè)t2(t2)，則t2，即x(t2)2， f(t)(t2)24(t2)t24， f(x)x24(x2)(解法2) f(2)(2)24， f(x)x24(x2)(2) 設(shè)t1，則x， f(t)lg ，即f(x)lg (x>1)(3) f(x)是二次函數(shù)， 設(shè)f(x)ax2bxc(a0)由f(0)1，得c1.由f(x1)f(x)2x，得a(x1)2b(x1)1ax2bx12x，整理，得(2a2)xab0，由恒等式原理，知 f(x)x2x1.變式訓(xùn)練根據(jù)下列條件分別求出f(x)的解析式(1) f(1)x2；(2) 二次函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(0)3，f(x2)f(x)4x2.解：(1) 令t1， t1，x(t1)2.則f(t)(t1)22(t1)t21，即f(x)x21，x1，)(2) 設(shè)f(x)ax2bxc(a0)， f(x2)a(x2)2b(x2)c，則f(x2)f(x)4ax4a2b4x2. 又f(0)3， c3， f(x)x2x3.,3分段函數(shù)),3)如圖所示，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD上有一點(diǎn)P，沿著折線(xiàn)BCDA由B點(diǎn)(起點(diǎn))向A點(diǎn)(終點(diǎn))移動(dòng)設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的路程為x，ABP的面積為yf(x)(1) 求ABP的面積與P移動(dòng)的路程間的函數(shù)解析式；(2) 作出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象求y的最大值解：(1) 這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)?0，12)，當(dāng)0x4時(shí)，Sf(x)·4·x2x；當(dāng)4x8時(shí)，Sf(x)8；當(dāng)8x12時(shí)，Sf(x)·4·(12x)242x. 函數(shù)解析式為f(x)(2) 其圖象如圖所示，由圖知fmax(x)8.變式訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)則滿(mǎn)足不等式f(1x2)>f(2x)的x的取值范圍是_答案：(1，1)解析：函數(shù)f(x)的圖象如圖所示：f(1x2)>f(2x)解得1<x<1.對(duì)于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“*”：a*b設(shè)函數(shù)f(x)(x2)*(3x)，xR.若方程f(x)c恰有兩個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是_答案：(，2)解析：令x2(3x)1，求得x1，則f(x)(x2)*(3x)畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，方程f(x)c恰有兩個(gè)不同的解，即是函數(shù)f(x)的圖象與直線(xiàn)yc有2個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得c<2.特別提醒：本題主要考查分段函數(shù)的解析式、函數(shù)的零點(diǎn)以及新定義問(wèn)題，屬于難題已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(方程根的個(gè)數(shù))求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：(1) 直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2) 分離參數(shù)法：將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；(3) 數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解一是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)yg(x)，yh(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，二是轉(zhuǎn)化為ya，yg(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題1. (2018·溧陽(yáng)中學(xué)周練)若xR，則f(x)與g(x)表示同一函數(shù)的是_(填序號(hào)) f(x)x，g(x)； f(x)1，g(x)(x1)0； f(x)，g(x)； f(x)，g(x)x3.答案：解析：中，g(x) |x|x；中，g(x)(x1)01(x1)；中，f(x) 1(x>0)，g(x)1(x>0)；中，f(x)x3(x3)因此填.2. 二次函數(shù)yf(x)ax2bxc(xR)的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x43210123y60466406則關(guān)于x的不等式f(x)0的解集為_(kāi)答案：3，2解析：由表格數(shù)據(jù)作出二次函數(shù)的草圖，結(jié)合數(shù)據(jù)與圖象即可發(fā)現(xiàn)不等式f(x)0的解集為3，23. 為了保證信息安全傳輸必須使用加密方式，有一種方式其加密、解密原理如下：明文密文密文明文已知加密為yax2(x為明文、y為密文)，如果明文“3”通過(guò)加密后得到密文為“6”，再發(fā)送，接受方通過(guò)解密得到明文“3”，若接受方接到密文為“14”，則原發(fā)的明文是_答案：44. 有一個(gè)有進(jìn)水管和出水管的容器，每單位時(shí)間進(jìn)水量是一定的，設(shè)從某時(shí)刻開(kāi)始，5分鐘內(nèi)只進(jìn)水，不出水，在隨后的15分鐘內(nèi)既進(jìn)水，又出水，得到時(shí)間x與容器中的水量y之間的關(guān)系如圖所示再隨后，只放水不進(jìn)水，水放完為止，則這段時(shí)間內(nèi)(即x20)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系是_答案：y3x95解析：設(shè)進(jìn)水速度為a1 L/min，出水速度為a2 L/min，則由題意得解得則y353(x20)，得y3x95.當(dāng)水放完，時(shí)間為x min，又知x20，故解析式為y3x95.5. 設(shè)函數(shù)f(x)若f(a)f(1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案：(，1)(1，)解析：由f(1)2，則f(a)2.當(dāng)a>0時(shí)，有2a4>2，則a>1；當(dāng)a0時(shí)，a32，則a1.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，1)(1，)6. 函數(shù)f(x)若關(guān)于x的方程f(x)kxk至少有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_答案：(1，)解析：如圖，作出函數(shù)圖象，y2kxk過(guò)定點(diǎn)(1，0)，臨界點(diǎn)和(1，0)連線(xiàn)的斜率為，又f(1)1，由圖象知實(shí)數(shù)k的取值范圍是(1，),3. 分段函數(shù)意義理解不清致誤)典例已知實(shí)數(shù)a0，函數(shù)f(x)若f(1a)f(1a)，則a的值為_(kāi)易錯(cuò)分析：(1) 誤以為1a<1，1a>1，沒(méi)有對(duì)a進(jìn)行討論直接代入求解；(2) 求解過(guò)程中忘記檢驗(yàn)所求結(jié)果是否符合要求致誤解析：當(dāng)a>0時(shí)，1a<1，1a>1，由f(1a)f(1a)可得22aa1a2a，解得a，不合題意；當(dāng)a<0時(shí)，1a>1，1a<1，由f(1a)f(1a)可得1a2a22aa，解得a.答案：特別提醒：(1) 注意分類(lèi)討論思想在求函數(shù)值中的應(yīng)用，對(duì)于分段函數(shù)的求值問(wèn)題，若自變量的取值范圍不確定，應(yīng)分情況求解；(2) 檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合題意，求解過(guò)程中，求出的參數(shù)的值或范圍并不一定符合題意，因此要檢驗(yàn)結(jié)果是否符合要求1. 已知集合Aa，b，c，B1，2，那么可建立從A到B的映射個(gè)數(shù)是_，從B到A的映射個(gè)數(shù)是_答案：89解析：依題意，建立從A到B的映射，即集合A中的每一個(gè)元素在集合B中找到對(duì)應(yīng)元素，從而從A到B的映射個(gè)數(shù)為238，從B到A的映射個(gè)數(shù)是329.所以填寫(xiě)答案依次為：8；9.2. 已知一個(gè)函數(shù)的解析式為yx2，它的值域?yàn)?，4，這樣的函數(shù)有_個(gè)答案：9解析：列舉法：定義域可能是1，2、1，2、1，2、1，2、1，2，2、1，2，2、1，1，2、1，1，2、1，1，2，23. 若函數(shù)f(x)，f(2)1，又方程f(x)x有唯一解，則f(x)_答案：解析：由f(2)1得1，即2ab2；由f(x)x得x，變形得x0，解此方程得x0或x， 方程有唯一解， 0，解得b1，代入2ab2得a， f(x).4. 如圖，動(dòng)點(diǎn)P從單位正方形ABCD頂點(diǎn)A開(kāi)始，順次經(jīng)B，C，D繞邊界一周，當(dāng)x表示點(diǎn)P的行程，y表示PA之長(zhǎng)時(shí)，求y關(guān)于x的解析式，并求f的值解：當(dāng)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，yx(0x1)；當(dāng)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y(1<x2)；當(dāng)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y(2<x3)；當(dāng)P在DA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y4x(3<x4). y f.5. 已知函數(shù)f(x)則不等式f(x)1的解集是_答案：4，2解析：f(x)1，等價(jià)于或解之得4x0或0<x2，即原不等式的解集是4，26. (2018·溧陽(yáng)中學(xué)周測(cè))設(shè)函數(shù)f(x)定義如下表，數(shù)列xn(nN*)滿(mǎn)足x11，且對(duì)于任意的正整數(shù)n，均有xn1f(xn)，求x2 018的值x1234f(x)2341分析：本題中函數(shù)是用列表法給出的，先觀察數(shù)列的前幾項(xiàng)，看看有沒(méi)有規(guī)律可循解：因?yàn)閤11，所以x2f(x1)f(1)2，x3f(x2)f(2)3，x4f(x3)f(3)4，x5f(x4)f(4)1，x6f(x5)f(1)2，不難看出數(shù)列xn是以4為周期的周期數(shù)列，所以x2 018x4×5042x22.點(diǎn)評(píng)：通過(guò)觀察一些特殊的情形，來(lái)獲得深刻的認(rèn)識(shí)，是探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要方法，應(yīng)注意學(xué)習(xí)，同時(shí)函數(shù)的表示也可以利用列表法來(lái)給出1. 函數(shù)是特殊的映射，其特殊性在于集合A與B只能是非空數(shù)集，即函數(shù)是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射；而映射不一定是函數(shù)從A到B的一個(gè)映射，A，B若不是數(shù)集，則這個(gè)映射不是函數(shù)2. 函數(shù)是一種特殊的對(duì)應(yīng)，要檢驗(yàn)給定的兩個(gè)變量是否具有函數(shù)關(guān)系，只需要檢驗(yàn)： 定義域和對(duì)應(yīng)法則是否給出； 根據(jù)給出的對(duì)應(yīng)法則，自變量在定義域中的每一個(gè)值，是否都有唯一確定的函數(shù)值3. 函數(shù)解析式的求解方法通常有：配湊法、換元法、待定系數(shù)法及消去法用換元法求解時(shí)要特別注意新元的范圍，即所求函數(shù)的定義域；而消去法體現(xiàn)的方程思想，即根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過(guò)解方程組求出f(x)第2課時(shí)函數(shù)的定義域和值域(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)(文)、(理)1214頁(yè)) 函數(shù)的定義域是研究一切函數(shù)的源頭，求各種類(lèi)型函數(shù)的定義域是高考中每年必考的試題. 函數(shù)的值域和最值問(wèn)題也是高考的必考內(nèi)容，一般不會(huì)對(duì)值域和最值問(wèn)題單獨(dú)命題，主要是結(jié)合其他知識(shí)綜合考查，特別是應(yīng)用題；再就是求變量的取值范圍，主要是考查求值域和最值的基本方法 會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域. 掌握求函數(shù)值域與最值的常用方法. 能運(yùn)用求值域與最值的常用方法解決實(shí)際問(wèn)題1. (必修1P25例2改編)函數(shù)f(x)的定義域是_答案：2，3)(3，)解析：要使函數(shù)有意義，x需滿(mǎn)足解得x2且x3.2. (必修1P26練習(xí)6(2)(4)改編)函數(shù)y的定義域?yàn)開(kāi)答案：(1，1)(1，)解析：依題意得 x>1且x1，故函數(shù)的定義域?yàn)?1，1)(1，)3. 函數(shù)y的值域?yàn)開(kāi)答案：解析： x222， 0<. 0<y.4. 若有意義，則函數(shù)yx23x5的值域是_答案：5，)解析： 有意義， x0.又yx23x55，函數(shù)yx23x5在0，)上單調(diào)遞增， 當(dāng)x0時(shí)，ymin5. 函數(shù)yx23x5的值域是5，)5. 函數(shù)y的定義域是(，1)2，5)，則其值域是_答案：(，0)解析： x(，1)2，5)， x1(，0)1，4)當(dāng)x1(，0)時(shí)，(，0)；當(dāng)x11，4)時(shí)，.1. 函數(shù)的定義域(1) 函數(shù)的定義域就是使函數(shù)表達(dá)式有意義的所有的輸入值x組成的集合在解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)，必須樹(shù)立起“定義域優(yōu)先”的觀念(2) 求定義域的步驟 寫(xiě)出使函數(shù)有意義的不等式(組) 解不等式(組) 寫(xiě)出函數(shù)定義域(注意用區(qū)間或集合的形式寫(xiě)出)(3) 常見(jiàn)基本初等函數(shù)的定義域 分式函數(shù)中分母不等于零 偶次根式函數(shù)中被開(kāi)方式大于或等于0. 一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域?yàn)镽 yax，ysin x，ycos x的定義域均為R ytan x的定義域?yàn)閤|xk，kZ 函數(shù)f(x)x0的定義域?yàn)閤|x02. 函數(shù)的值域(1) 在函數(shù)yf(x)中，與定義域中輸入值x對(duì)應(yīng)的y的值叫做輸出值，所有輸出值y組成的集合叫做函數(shù)的值域(2) 基本初等函數(shù)的值域 ykxb(k0)的值域是R yax2bxc(a0)的值域：當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)椋?；當(dāng)a<0時(shí)，值域?yàn)?， y(k0)的值域?yàn)閥|y0 yax(a>0且a1)的值域是(0，) ylogax(a>0且a1)的值域是R ysin x，ycos x的值域是1，1 ytan x的值域是R3. 函數(shù)的最值一般地，設(shè)yf(x)的定義域?yàn)锳.(1) 如果存在x0A，使得對(duì)于任意的xA，都有f(x)f(x0)，那么稱(chēng)f(x0)為yf(x)的最大值，記為ymaxf(x0)(2) 如果存在x0A，使得對(duì)于任意的xA，都有f(x)f(x0)，那么稱(chēng)f(x0)為yf(x)的最小值，記為yminf(x0)4. 值域與最值的關(guān)系若函數(shù)yf(x)的最大值為b，最小值為a，那么yf(x)的值域必定是數(shù)集a，b的子集，若f(x)可以取到a，b中的一切值，那么其值域就是a，b5. 復(fù)合函數(shù)如果函數(shù)yf(u)(uA)，ug(x)(xB，uA)，則yf(g(x)叫做由函數(shù)yf(u)(uA)，ug(x)(xB，uA)合成的復(fù)合函數(shù)，u叫做中間變量yf(u)(uA)，叫做該復(fù)合函數(shù)的外層函數(shù)，而ug(x)(xB)叫做該復(fù)合函數(shù)的內(nèi)層函數(shù)注意：由ug(x)(xB)求出的值域一定是A.即內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域6. 函數(shù)解析式的表示離不開(kāi)函數(shù)的定義域備課札記,1求函數(shù)的定義域),1)(1) 已知函數(shù)f(x)的定義域是0，2，則函數(shù)g(x)ff的定義域是_(2) 函數(shù)y的定義域?yàn)開(kāi)答案：(1) (2) (1，1)解析：(1) 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域是0，2，所以函數(shù)g(x)ff中的自變量x需要滿(mǎn)足：解得所以x，所以函數(shù)g(x)的定義域是.(2) 由得1<x<1.變式訓(xùn)練(1) 求函數(shù)y的定義域；(2) 函數(shù)f(x)的定義域是1，1，求f(log2x)的定義域解：(1) 由得 函數(shù)定義域是(，1)(1，0)(2) 函數(shù)f(x)的定義域是1，1， 1log2x1， x2.故f(log2x)的定義域?yàn)?求下列函數(shù)的定義域：(1) y(x1)0；(2) ylg sin x.解：(1) 由題意得，解得， 3<x<2且x1， 所求函數(shù)的定義域?yàn)閤|3<x<2且x1(2) 由題意得解得 2<x<或0<x<或2<x8. 所求函數(shù)的定義域?yàn)?2，)(0，)(2，8,2求函數(shù)的值域),2)求下列函數(shù)的值域：(1) f(x)x；(2) y；(3) y，x3，5；(4) y(x>1)解：(1) (解法1：換元法)令t，則t0且x，于是f(t)t(t1)21.由于t0，所以f(t)，故函數(shù)的值域是.(解法2：?jiǎn)握{(diào)性法)容易判斷f(x)為增函數(shù)，而其定義域應(yīng)滿(mǎn)足12x0，即x，所以f(x)f，即函數(shù)的值域是.(2) y1.因?yàn)?x21，所以0<2.所以1<11，即y(1，1所以函數(shù)的值域?yàn)?1，1(3) (解法1)由y2，結(jié)合圖象知，函數(shù)在3，5上是增函數(shù)，所以ymax，ymin，故所求函數(shù)的值域是.(解法2)由y，得x.因?yàn)閤3，5，所以35，解得y，即所求函數(shù)的值域是.(4) (基本不等式法)令tx1，則xt1(t>0)，所以yt2(t>0)因?yàn)閠22，當(dāng)且僅當(dāng)t，即x1時(shí)，等號(hào)成立，故所求函數(shù)的值域?yàn)?2，)求下列函數(shù)的值域：(1) f(x)；(2) g(x)；(3) ylog3xlogx31.解：(1) 由解得3x1. f(x)的定義域是3，1令yf(x)，則y0， y242，即y242(3x1)令t(x)(x1)24(3x1) x3，1，由t(3)0，t(1)4，t(1)0，知0t(x)4，從而y24，8，即y2，2， 函數(shù)f(x)的值域是2，2(2) g(x)1(x3且x4) x3且x4， g(x)1且g(x)6. 函數(shù)g(x)的值域是(，6)(6，1)(1，)(3) 函數(shù)的定義域?yàn)閤|x>0且x1當(dāng)x>1時(shí)，log3x>0，logx3>0，ylog3xlogx31211；當(dāng)0<x<1時(shí)，log3x<0，logx3<0，ylog3xlogx31(log3x)(logx3)1213. 函數(shù)的值域是(，31，).,3函數(shù)值和最值的應(yīng)用)典型示例,3)已知函數(shù)f(x)，x1，)(1) 當(dāng)a時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；(2) 若對(duì)任意x1，)，f(x)>0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍【思維導(dǎo)圖】 函數(shù)恒成立不等式恒成立分類(lèi)討論新函數(shù)的最值a的取值范圍【規(guī)范解答】 解：(1) 當(dāng)a時(shí)，f(x)x2. f(x)在區(qū)間1，)上為增函數(shù)， f(x)在區(qū)間1，)上的最小值為f(1).(2) (解法1)在區(qū)間1，)上，f(x) >0恒成立， x22xa>0恒成立設(shè)yx22xa，x1，) yx22xa(x1)2a1在1，)上單調(diào)遞增， 當(dāng)x1時(shí)，ymin3a，當(dāng)且僅當(dāng)ymin3a>0時(shí)，函數(shù)f(x)>0恒成立，故a>3.(解法2)f(x)x2，x1，)當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)的值恒為正；當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在1，)上單調(diào)遞增，故當(dāng)x1時(shí)，f(x)min3a，當(dāng)且僅當(dāng)f(x)min3a>0時(shí)，函數(shù)f(x)>0恒成立，故a>3.【精要點(diǎn)評(píng)】 解法1運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把f(x)>0轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次不等式；解法2運(yùn)用了分類(lèi)討論思想總結(jié)歸納(1) 求函數(shù)的值域此類(lèi)問(wèn)題主要利用求函數(shù)值域的常用方法：配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖象法、換元法、不等式法等無(wú)論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域(2) 函數(shù)的綜合性題目此類(lèi)問(wèn)題主要考查函數(shù)值域、單調(diào)性、奇偶性等一些基本知識(shí)相結(jié)合的題目此類(lèi)問(wèn)題要求具備較高的數(shù)學(xué)思維能力、綜合分析能力以及較強(qiáng)的運(yùn)算能力(3) 運(yùn)用函數(shù)的值域解決實(shí)際問(wèn)題此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，從而利用所學(xué)知識(shí)去解決此類(lèi)題目要求具有較強(qiáng)的分析能力和數(shù)學(xué)建模能力題組練透1. 函數(shù)y的值域是_答案：解析： x2x12， y， 值域?yàn)?2. 函數(shù)yx的值域是_答案：(，1解析：令t(t0)，則x. yt (t1)211， 值域?yàn)?，13. 已知函數(shù)f(x)x24ax2a6.(1) 若f(x)的值域是0，)，求a的值；(2) 若函數(shù)f(x)0恒成立，求g(a)2a|a1|的值域解：(1) f(x)的值域是0，)，即f(x)min0， 0， a1或.(2) 若函數(shù)f(x)0恒成立，則(4a)24(2a6)0，即2a2a30， 1a， g(a)2a|a1|當(dāng)1a1時(shí)，g(a)a2a2， g(a)；當(dāng)1<a時(shí)，g(a)a2a2(a)2， g(a). 函數(shù)g(a)2a|a1|的值域是.4. 已知函數(shù)y的定義域?yàn)镽.(1) 求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2) 當(dāng)m變化時(shí)，若y的最小值為f(m)，求函數(shù)f(m)的值域解：(1) 當(dāng)m0時(shí)，xR；當(dāng)m0時(shí)，m0且0，解得0m1.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是0m1.(2) 當(dāng)m0時(shí)，f(0)2；當(dāng)0m1時(shí)，因?yàn)閥，故f(m)(0m1)所以f(m)(0m1)，其值域?yàn)?，21. 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開(kāi)答案：(0，1)(1，2)解析：由得0x2且x1.2. 已知函數(shù)y的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?，)，則實(shí)數(shù)a的取值集合為_(kāi)答案：1解析： x22xa0恒成立，且最小值為0，則滿(mǎn)足0，即44a0，則a1.3. 函數(shù)f(x)的值域?yàn)開(kāi)答案：(，1解析：可由函數(shù)的圖象得到函數(shù)f(x)的值域?yàn)?，1. 4. 若函數(shù)f(x)(a>0且a1)的值域是4，)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案：(1，2解析：當(dāng)x2時(shí)，x64，要使得函數(shù)f(x)的值域?yàn)?，)，只需當(dāng)x2時(shí)，f(x)3logax的值域在區(qū)間4，)內(nèi)即可，故a1，所以3loga24，解得1a2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，25. 已知函數(shù)f(x)axb(a>0且a1)的定義域和值域都是1，0，則ab_答案：解析：當(dāng)a>1時(shí)，該方程組無(wú)解；當(dāng)0<a<1時(shí)，解得則ab2.6. (2018·南陽(yáng)一中二模)設(shè)g(x).(1) 若g(x)的定義域?yàn)镽，求m的取值范圍；(2) 若g(x)的值域?yàn)?，)，求m的取值范圍解：令f(x)mx2x1.(1) 由題意知f(x)0在R上恒成立 當(dāng)m0時(shí)， f(x)x10在R上不恒成立； 當(dāng)m0時(shí)，要滿(mǎn)足題意必有 m.綜上所述，m的取值范圍是.(2) 由題意知，f(x)mx2x1能取到一切大于或等于0的實(shí)數(shù) 當(dāng)m0時(shí)，f(x)x1可以取到一切大于或等于0的實(shí)數(shù)； 當(dāng)m0時(shí)，要滿(mǎn)足題意必有 0<m.綜上所述，m的取值范圍是.點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的定義域與值域、分類(lèi)討論思想，屬于中檔題分類(lèi)討論思想是解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決含參數(shù)的問(wèn)題時(shí)發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點(diǎn). 充分利用分類(lèi)討論思想方法能夠使問(wèn)題條理清晰，進(jìn)而順利解答，希望同學(xué)們能夠熟練掌握并能應(yīng)用于解題當(dāng)中1. 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開(kāi)答案：3，)解析：由題意知解得x3.2. (2018·溧陽(yáng)中學(xué)周練)函數(shù)f(x)ln()的定義域?yàn)開(kāi)答案：4，0)(0，1)解析：函數(shù)的定義域必須滿(mǎn)足條件：解得x4，0)(0，1)3. 當(dāng)x_時(shí)，函數(shù)f(x)(xa1)2(xa2)2(xan)2取得最小值答案：解析：f(x)nx22(a1a2an)x(aaa)，當(dāng)x時(shí)，f(x)取得最小值4. 設(shè)函數(shù)f(x)若f(x)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案：(，12，)解析：f(x)的值域?yàn)镽，則22a2a2，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，12，). 5. 已知函數(shù)f(x)1的定義域是a，b(a，bZ)，值域是0，1，則滿(mǎn)足條件的整數(shù)數(shù)對(duì)(a，b)共有_個(gè)答案：5解析：由011，即12，解得0|x|2，滿(mǎn)足條件的整數(shù)數(shù)對(duì)有(2，0)，(2，1)，(2，2)，(0，2)，(1，2)共5個(gè)6. 求函數(shù)y的值域解：函數(shù)yf(x)的幾何意義：平面內(nèi)一點(diǎn)P(x，0)到兩點(diǎn)A(3，4)和B(5，2)的距離之和就是y的值由平面幾何知識(shí)，找出點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B(5，2)連結(jié)AB，交x軸于一點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求的最小值點(diǎn)，yminAB10.所以函數(shù)的值域?yàn)?0，)1. 函數(shù)的定義域是函數(shù)的靈魂，它決定了函數(shù)的值域，并且它是研究函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)，因此，我們一定要樹(shù)立函數(shù)定義域優(yōu)先的意識(shí)2. 函數(shù)的值域常?；瘹w為求函數(shù)的最值問(wèn)題，要重視函數(shù)單調(diào)性在確定函數(shù)最值過(guò)程中的作用3. 求函數(shù)值域的常用方法：圖象法、配方法、換元法、基本不等式法、單調(diào)性法、分離常數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法等理論上一切函數(shù)求值域或最值均可考慮“導(dǎo)數(shù)法”，但在具體的解題中要與初等方法密切配合備課札記第1課時(shí) 函數(shù)的單調(diào)性(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)(文)、(理)1517頁(yè)) 函數(shù)單調(diào)性的概念是函數(shù)性質(zhì)中最重要的概念，仍將會(huì)是2019年高考的重點(diǎn)，特別要注意函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用. 常見(jiàn)題型：a.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；b.用定義判斷函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性；c.強(qiáng)化應(yīng)用單調(diào)性解題的意識(shí)，如比較式子的大小，求函數(shù)最值，已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍等 理解函數(shù)單調(diào)性的定義，并利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷或證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性. 理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值的幾何意義，會(huì)用單調(diào)性方法求函數(shù)的最大(小)值. 能利用函數(shù)的單調(diào)性解決其他一些綜合性問(wèn)題1. 下列函數(shù)中，在(，0)上為減函數(shù)的是_(填序號(hào)) y； yx3； yx0 ； yx2.答案：解析： 函數(shù)yx2的圖象是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸為y軸， 函數(shù)yx2在(，0)上為減函數(shù)2. (必修1P44習(xí)題2改編)(1) 函數(shù)f(x)2x1的單調(diào)增區(qū)間是_；函數(shù)g(x)3x2在區(qū)間(，)上為_(kāi)函數(shù)(2) 函數(shù)f(x)x22x1的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)，單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)(3) 函數(shù)f(x)1在區(qū)間(，0)上是單調(diào)_函數(shù)(4) 函數(shù)y在區(qū)間1，3上是單調(diào)_函數(shù)答案：(1) (，)單調(diào)減(2) 1，)(，1(3) 增(4) 減3. (必修1P54本章測(cè)試6改編)若函數(shù)y5x2mx4在區(qū)間(，1上是減函數(shù)，在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，則m_答案：10解析：函數(shù)y5x2mx4的圖象為開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸是x的拋物線(xiàn)，要使函數(shù)y5x2mx4在區(qū)間(，1上是減函數(shù)，在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，則1， m10.4. 已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案：解析：f(x)a，由復(fù)合函數(shù)的增減性可知，g(x)在(2，)上為增函數(shù)， 12a<0， a>.5. 設(shè)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足：對(duì)任意的x1，x2R都有(x1x2)·f(x1)f(x2)>0，則f(3)與f()的大小關(guān)系是_答案：f(3)>f()解析：由(x1x2)f(x1)f(x2)>0，可知函數(shù)f(x)為增函數(shù)，又3>， f(3)>f()1. 增函數(shù)和減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮：如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)值x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說(shuō)yf(x)在區(qū)間D上是單調(diào)增函數(shù)(如圖所示)如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)值x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說(shuō)yf(x)在區(qū)間D上是單調(diào)減函數(shù)(如圖所示) 2. 單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間D上是單調(diào)增函數(shù)或是單調(diào)減函數(shù)，那么就說(shuō)這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間D上具有單調(diào)性(區(qū)間D稱(chēng)為單調(diào)區(qū)間)3. 判斷函數(shù)單調(diào)性的方法(1) 定義法利用定義嚴(yán)格判斷(2) 利用函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果f(x)，g(x)為增函數(shù)，則 f(x)g(x)為增函數(shù)； 為減函數(shù)(f(x)>0)； 為增函數(shù)(f(x)0)； f(x)·g(x)為增函數(shù)(f(x)>0，g(x)>0)； f(x)為減函數(shù)(3) 利用復(fù)合函數(shù)關(guān)系判斷單調(diào)性法則是“同增異減”，即兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相同，則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相反，則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)(4) 圖象法奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上具有相反的單調(diào)性4. 函數(shù)的單調(diào)性的證明方法已知函數(shù)解析式，證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性一般只能?chē)?yán)格用定義(或?qū)?shù))來(lái)證明主要步驟：(1) 設(shè)元；(2) 作差(商)；(3) 變形(變形要徹底，一般通過(guò)因式分解、配方等方法，直到符號(hào)的判定非常明顯)；(4) 判斷符號(hào)；(5) 結(jié)論備課札記,1函數(shù)單調(diào)性的判斷),1)判斷函數(shù)f(x)(a0)在區(qū)間(1，1)上的單調(diào)性分析：此函數(shù)既不是常見(jiàn)函數(shù)，也不是由常見(jiàn)函數(shù)經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的復(fù)合而成，因此要判斷其在區(qū)間(1，1)上的單調(diào)性，只能用函數(shù)單調(diào)性的定義解：任取x1，x2(1，1)，且x1<x2，則f(x1)f(x2).由1<x1<x2<1得>0， 當(dāng)a>0時(shí)，f(x1)f(x2)>0，f(x1)>f(x2)， f(x)在(1，1)上單調(diào)遞減；同理，當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在(1，1)上單調(diào)遞增證明函數(shù)f(x)在區(qū)間1，)上是減函數(shù)證明：設(shè)任取x1，x21，)，且x1<x2.f(x1)f(x2). x1，x21，)，且x1<x2， x1x2<0，1x1x2<0.又(1x)(1x)>0， f(x1)f(x2)>0，即f(x1)>f(x2) f(x)在1，)上為減函數(shù)點(diǎn)評(píng)：亦可證明函數(shù)f(x)在區(qū)間1，1上是增函數(shù)由于函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，故利用單調(diào)性與奇偶性可作出函數(shù)f(x)的圖象同時(shí)也可得到函數(shù)f(x)在1，1上的值域?yàn)?,2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間),2)求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1) yx23|x|；(2) y；(3) ylog2(6x2x2)解：(1) yx23|x| 由圖象可知，y在，上為減函數(shù)，在，上為增函數(shù)(2) 易得定義域?yàn)镽，令ux22x(x1)21，則u在(，1上為減函數(shù)，在1，)上為增函數(shù)又y在(，)上為減函數(shù)， y的單調(diào)增區(qū)間為(，1，單調(diào)減區(qū)間為1，)(3) 由題意得6x2x2>0，化簡(jiǎn)得2x2x6<0，即(2x3)(x2)<0，解得<x<2，即定義域?yàn)?設(shè)u6x2x22，易知其在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，又ylog2u在定義域上為增函數(shù)， ylog2(6x2x2)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.點(diǎn)評(píng)：已知函數(shù)的解析式，討論或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)首先確定函數(shù)的定義域，然后再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷規(guī)則在函數(shù)的定義域內(nèi)求內(nèi)層函數(shù)相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間變式訓(xùn)練函數(shù)y(x3)|x|的單調(diào)遞增區(qū)間是_答案：解析：y畫(huà)圖象如圖所示，可知單調(diào)遞增區(qū)間為.作出函數(shù)f(x)|x21|x的圖象，并根據(jù)函數(shù)圖象寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解：當(dāng)x1或x1時(shí)， yx2x12；當(dāng)1<x<1時(shí)， yx2x12.函數(shù)圖象如圖，由函數(shù)圖象可知函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為(，1，；單調(diào)增區(qū)間為，1，),3函數(shù)的單調(diào)性與最值)典型示例,3)求f(x)x22ax1在區(qū)間0，2上的最大值和最小值【思維導(dǎo)圖】 判斷對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的不同位置關(guān)系分別畫(huà)出圖象判斷f(x)在區(qū)間的單調(diào)性求出最值【規(guī)范解答】 解：f(x)(xa)21a2，對(duì)稱(chēng)軸為xa.(1) 當(dāng)a<0時(shí)，由圖可知，f(x)minf(0)1，f(x)maxf(2)34a.(2) 當(dāng)0a<1時(shí)，由圖可知，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(2)34a.(3) 當(dāng)1<a2時(shí)，由圖可知，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(0)1.(4) 當(dāng)a>2時(shí)，由圖可知，f(x)minf(2)34a，f(x)maxf(0)1.綜上，當(dāng)a<0時(shí)，f(x)min1，f(x)max34a；當(dāng)0a<1時(shí)，f(x)min1a2，f(x)max34a；當(dāng)1<a2時(shí)，f(x)min1a2，f(x)max1；當(dāng)a>2時(shí)，f(x)min34a，f(x)max1.【精要點(diǎn)評(píng)】 (1) 二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是由圖象的對(duì)稱(chēng)軸確定的故需要確定對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的關(guān)系由于對(duì)稱(chēng)軸是xa，而a的取值不定，從而導(dǎo)致了分類(lèi)討論(2) 不是應(yīng)該分a<0，0a2，a>2三種情況討論嗎？為什么成了四種情況？這是由于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間0，2所對(duì)應(yīng)的區(qū)域時(shí)，最小值是在頂點(diǎn)處取得，但最大值卻有可能是f(0)，也有可能是f(2)總結(jié)歸納(1) 要注意函數(shù)思想在求函數(shù)值域中的運(yùn)用，求函數(shù)最值常借助函數(shù)單調(diào)性含有參數(shù)的最值問(wèn)題，需要分類(lèi)討論參數(shù)在不同范圍內(nèi)時(shí)函數(shù)單調(diào)性的變化，進(jìn)而判斷最值的位置(2) 不等式恒成立問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題題組練透1. 函數(shù)y2x的值域是_答案：2，)解析：x1，y是x的增函數(shù)，當(dāng)x1時(shí)，ymin2， 函數(shù)的值域?yàn)?，)2. 已知x0，1，則函數(shù)y的值域是_答案：1，解析：該函數(shù)為增函數(shù)，自變量最小時(shí)，函數(shù)值最小；自變量最大時(shí)，函數(shù)值最大3. 函數(shù)f(x)(x3，6)的值域?yàn)開(kāi)答案：1，4解析：區(qū)間3，6是函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間，把x3，x6分別代入f(x)中可得最大值、最小值4. 已知aR且a1，求函數(shù)f(x)在1，4上的最值解：由f(x)a.當(dāng)1a>0，即a<1時(shí)，f(x)在1，4上為減函數(shù)， fmax(x)f(1)，fmin(x)f(4)；當(dāng)1a<0，即a>1時(shí)，f(x)在1，4上為增函數(shù)， fmax(x)f(4)，fmin(x)f(1).5. 已知二次函數(shù)f(x)ax2bx1，若f(1)0，且函數(shù)f(x)的值域?yàn)?，)(1) 求a，b的值；(2) 若h(x)2f(x1)x|xm|2m，求h(x)的最小值解：(1) 顯然a0， f(1)0， ab10.又f(x)的值域?yàn)?，)， b24a0.由解得(2) 由(1)知f(x)x22x1，h(x)2x2x|xm|2m，即h(x) 若m0，則hmin(x)min，即hmin(x)min.又2m22m0， 當(dāng)m0時(shí)，hmin(x)2m； 若m0，則hmin(x)h2m.綜上所述，hmin(x),4函數(shù)的單調(diào)性的綜合應(yīng)用),4)已知函數(shù)f(x)2x，x(0，1(1) 當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)yf(x)的值域；(2) 若函數(shù)yf(x)在(0，1上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1) 當(dāng)a1時(shí)，f(x)2x，因?yàn)?<x1，所以f(x)2x22，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)，等號(hào)成立，所以函數(shù)yf(x)的值域是2，)(2) (解法1)設(shè)0<x1<x21，由f(x1)f(x2)2(x1x2)，因?yàn)楹瘮?shù)yf(x)在(0，1上是減函數(shù)，所以f(x1)f(x2)>0恒成立，所以2x1x2a<0，即a<2x1x2在(0，1上恒成立，所以a<2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，2)(解法2)由f(x)2x，知f(x)2，因?yàn)楹瘮?shù)yf(x)在(0，1上是減函數(shù)，所以f(x)2<0在(0，1上恒成立，即a<2x2在(0，1上恒成立，所以a<2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，2)變式訓(xùn)練若函數(shù)f(x)是(，)上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案：2，0)解析：由x1時(shí)，f(x)x22ax2a是減函數(shù)，得a1.由x1時(shí)，函數(shù)f(x)ax1是減函數(shù)，得a0，分界點(diǎn)處的值應(yīng)滿(mǎn)足122a×12a1×a1，解得a2，所以2a0.點(diǎn)睛：本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，解決本題的關(guān)鍵是熟悉二次函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性，除了確定兩段函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)以外，還需考慮分界點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性，需要列出分界點(diǎn)處的不等關(guān)系已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，其在定義域上為增函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y(0，)都滿(mǎn)足f(xy)f(x)f(y)，f(2)1，試解不等式f(x)f(x2)<3.分析：此題的關(guān)鍵是將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值的大小關(guān)系，然后借助于函數(shù)的單調(diào)性再將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量取值的大小關(guān)系解：由題意得3111f(2)f(2)f(2)f(4)f(2)f(8)，即f(8)3， f(x)f(x2)<3f(x)f(x2)<f(8)而f(x)f(x2)f(x22x)，且f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)， f(x)f(x2)<f(8)解得2<x<4， 所求不等式的解集為x|2<x<4點(diǎn)評(píng)：(1) 解含有抽象符號(hào)“f”的不等式時(shí)，關(guān)鍵是符號(hào)“f”的“穿”與“脫”在這里，首先要穿上符號(hào)“f”，然后再利用函數(shù)的單調(diào)性脫去“f”，使之成為能夠求解的普通不等式(2) 單調(diào)性的定義實(shí)質(zhì)上給出了自變量與函數(shù)值大小關(guān)系的轉(zhuǎn)化如果f(x)在D上為增函數(shù)，則x1，x2D，x1<x2f(x1