2022年高中數(shù)學(xué)必修四 1.2 任意角的三角函數(shù)教案2教學(xué)目標：理解并掌握有向線段的概念；正確利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值表示出來，即用正弦線、余弦線、正切線表示出來.教學(xué)重點：正弦、余弦、正切函數(shù)值的幾何表示.教學(xué)難點：正弦、余弦、正切函數(shù)值的幾何表示.教學(xué)過程：一、問題情境1情境引入：我們已學(xué)過任意角三角函數(shù)，給出了任意角的正弦、余弦、正切的定義.2提出問題：能不能用幾何元素表示三角函數(shù)值？例如，能不能用線段表示三角函數(shù)值？二、學(xué)生活動學(xué)生思考，討論，回答.討論可能沿著下面的方向進行：1.通過聯(lián)想，可以提出問題1：在初中，我們知道銳角三角函數(shù)可以看成線段的比，那么，任意角的三角函數(shù)是否可以也看成是線段的比呢？2.明確問題，可以提出問題2：問題1的實際意義是什么？什么叫做三角函數(shù)？任意角的三角函數(shù)是怎樣定義的？由此可以進一步明確問題1的意義.具體地，以正弦函數(shù)為例，當前的問題就是怎樣用幾何元素表示.（這里的是角終邊上任一點的坐標）2.簡化問題，可以提出問題3：能進一步簡化問題嗎？是否可以在角的終邊上取一個特殊點，使得三角函數(shù)值的表達式更為簡單？結(jié)論是，當點在以原點為圓心，半徑為1的圓（單位圓）上時，而的函數(shù)值分別為點的縱坐標和橫坐標.三、建構(gòu)數(shù)學(xué)1.有向線段（1）提出解決問題1的關(guān)鍵就這樣解決問題4：怎樣表示點的縱，橫坐標？能不能用線段表示坐標？圍繞著如下問題進行討論：問題5：坐標是什么？問題6：能不能用線段表示坐標？能不能用線段表示數(shù)？怎樣才能做到這點？問題7：和初中的銳角三角函數(shù)相比，我們現(xiàn)在面臨的情況有什么不同？通過討論，得到以下共識：為了用線段表示數(shù)，我們需要規(guī)定線段的方向.（2）給出有向線段、有向線段的數(shù)量、有向線段的長度的概念.下圖軸上，的數(shù)量分別是多少？。ACB有向線段的數(shù)量：.1OxyMP角的終邊2.正弦線和余弦線（1）問題8：怎樣用有向線段表示正弦函數(shù)值？圍繞著問題8，作出表示正弦值的有向線段，得到正弦線的概念.（2）由學(xué)生仿照正弦線，得到余弦線.有向線段分別叫做角的正弦線、余弦線.小結(jié)：我們已經(jīng)得到角的正弦線、余弦線、正切線，它們都是與單位圓的弦有關(guān)的線段.3.正切線（1）探索討論問題9：能不能用有向線段表示角的正切呢？問題10：正切函數(shù)值是怎樣定義的？怎樣才能簡化定義中的表達式？這個表達式和正弦函數(shù)值的表達式有什么不同？怎樣才能使表達式的分母為1？（2）先解決問題的一部分當角的終邊上存在橫坐標為1的點時（這時角的終邊在軸的右側(cè)），怎樣用有向線段表示正切函數(shù)值？（3）再解決剩余的問題.當角的終邊上不存在橫坐標為1的點時（這時角的終邊在軸的左側(cè)），怎樣用有向線段表示正切函數(shù)值？通過討論，得到下面的結(jié)論.（4）正切線1OxyAT角的終邊1Oxy角的終邊AT正切線一般可按如下方法作出：如下圖所示，過點作單位圓的切線（軸的垂線），它與角終邊所在直線交于點，則有向線段即為角的正切線.角的終邊OxyA角的終邊POxyAPMMT，因此，我們把有向線段叫做角的正切線.3.三角函數(shù)線：OxyA角的終邊Oxy角的終邊ATPMMPT四、數(shù)學(xué)運用練習(xí)：可以討論課本P16練習(xí)第7題.例1比較下列各組數(shù)的大?。海?）和 （2）和（3）和 （4）和分析：三角函數(shù)線是一個角的三角函數(shù)值的體現(xiàn)，從三角函數(shù)線的方向看出三角函數(shù)值的正負，其長度是三角函數(shù)值的的絕對值.比較兩個三角函數(shù)值的大小可以借助三角函數(shù)線思考：根據(jù)單位圓中三角函數(shù)線，探究：（1）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的值域；（2）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（3）正切函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.五、總結(jié)反思單位圓和三角函數(shù)線是研究三角函數(shù)的幾何工具，它是數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的體現(xiàn)，我們應(yīng)掌握三角函數(shù)線的作法，并能運用它們解決一些有關(guān)三角函數(shù)的問題，注意在用字母表示有向線段時，要分清起點和終點，書寫順序要正確.六、作業(yè)布置課本P23習(xí)題1.2第2題.