2022年高中數(shù)學(xué)必修四 1.2 《任意角的三角函數(shù)》教案2
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2022年高中數(shù)學(xué)必修四 1.2 《任意角的三角函數(shù)》教案2
2022年高中數(shù)學(xué)必修四 1.2 任意角的三角函數(shù)教案2教學(xué)目標:理解并掌握有向線段的概念;正確利用與單位圓有關(guān)的有向線段,將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值表示出來,即用正弦線、余弦線、正切線表示出來.教學(xué)重點:正弦、余弦、正切函數(shù)值的幾何表示.教學(xué)難點:正弦、余弦、正切函數(shù)值的幾何表示.教學(xué)過程:一、問題情境1情境引入:我們已學(xué)過任意角三角函數(shù),給出了任意角的正弦、余弦、正切的定義.2提出問題:能不能用幾何元素表示三角函數(shù)值?例如,能不能用線段表示三角函數(shù)值?二、學(xué)生活動學(xué)生思考,討論,回答.討論可能沿著下面的方向進行:1.通過聯(lián)想,可以提出問題1:在初中,我們知道銳角三角函數(shù)可以看成線段的比,那么,任意角的三角函數(shù)是否可以也看成是線段的比呢?2.明確問題,可以提出問題2:問題1的實際意義是什么?什么叫做三角函數(shù)?任意角的三角函數(shù)是怎樣定義的?由此可以進一步明確問題1的意義.具體地,以正弦函數(shù)為例,當前的問題就是怎樣用幾何元素表示.(這里的是角終邊上任一點的坐標)2.簡化問題,可以提出問題3:能進一步簡化問題嗎?是否可以在角的終邊上取一個特殊點,使得三角函數(shù)值的表達式更為簡單?結(jié)論是,當點在以原點為圓心,半徑為1的圓(單位圓)上時,而的函數(shù)值分別為點的縱坐標和橫坐標.三、建構(gòu)數(shù)學(xué)1.有向線段(1)提出解決問題1的關(guān)鍵就這樣解決問題4:怎樣表示點的縱,橫坐標?能不能用線段表示坐標?圍繞著如下問題進行討論:問題5:坐標是什么?問題6:能不能用線段表示坐標?能不能用線段表示數(shù)?怎樣才能做到這點?問題7:和初中的銳角三角函數(shù)相比,我們現(xiàn)在面臨的情況有什么不同?通過討論,得到以下共識:為了用線段表示數(shù),我們需要規(guī)定線段的方向.(2)給出有向線段、有向線段的數(shù)量、有向線段的長度的概念.下圖軸上,的數(shù)量分別是多少?。ACB有向線段的數(shù)量:.1OxyMP角的終邊2.正弦線和余弦線(1)問題8:怎樣用有向線段表示正弦函數(shù)值?圍繞著問題8,作出表示正弦值的有向線段,得到正弦線的概念.(2)由學(xué)生仿照正弦線,得到余弦線.有向線段分別叫做角的正弦線、余弦線.小結(jié):我們已經(jīng)得到角的正弦線、余弦線、正切線,它們都是與單位圓的弦有關(guān)的線段.3.正切線(1)探索討論問題9:能不能用有向線段表示角的正切呢?問題10:正切函數(shù)值是怎樣定義的?怎樣才能簡化定義中的表達式?這個表達式和正弦函數(shù)值的表達式有什么不同?怎樣才能使表達式的分母為1?(2)先解決問題的一部分當角的終邊上存在橫坐標為1的點時(這時角的終邊在軸的右側(cè)),怎樣用有向線段表示正切函數(shù)值?(3)再解決剩余的問題.當角的終邊上不存在橫坐標為1的點時(這時角的終邊在軸的左側(cè)),怎樣用有向線段表示正切函數(shù)值?通過討論,得到下面的結(jié)論.(4)正切線1OxyAT角的終邊1Oxy角的終邊AT正切線一般可按如下方法作出:如下圖所示,過點作單位圓的切線(軸的垂線),它與角終邊所在直線交于點,則有向線段即為角的正切線.角的終邊OxyA角的終邊POxyAPMMT,因此,我們把有向線段叫做角的正切線.3.三角函數(shù)線:OxyA角的終邊Oxy角的終邊ATPMMPT四、數(shù)學(xué)運用練習(xí):可以討論課本P16練習(xí)第7題.例1比較下列各組數(shù)的大?。海?)和 (2)和(3)和 (4)和分析:三角函數(shù)線是一個角的三角函數(shù)值的體現(xiàn),從三角函數(shù)線的方向看出三角函數(shù)值的正負,其長度是三角函數(shù)值的的絕對值.比較兩個三角函數(shù)值的大小可以借助三角函數(shù)線思考:根據(jù)單位圓中三角函數(shù)線,探究:(1)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的值域;(2)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性;(3)正切函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.五、總結(jié)反思單位圓和三角函數(shù)線是研究三角函數(shù)的幾何工具,它是數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的體現(xiàn),我們應(yīng)掌握三角函數(shù)線的作法,并能運用它們解決一些有關(guān)三角函數(shù)的問題,注意在用字母表示有向線段時,要分清起點和終點,書寫順序要正確.六、作業(yè)布置課本P23習(xí)題1.2第2題.