2022年高中數(shù)學(xué)必修四 第二章 平面向量 平面向量的數(shù)量積學(xué)習(xí)過(guò)程學(xué)習(xí)過(guò)程知識(shí)點(diǎn)一：平面向量的數(shù)量積（1） 定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量|cosq叫與的數(shù)量積，記作×，即有× = |cosq，（）（2） .并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0.（3） 投影：“投影”的概念：作圖 定義：|cosq叫做向量在方向上的投影.投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)q為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時(shí)投影為0；當(dāng)q = 0°時(shí)投影為 |；當(dāng)q = 180°時(shí)投影為 -|.（4） 兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積的區(qū)別兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由cosq的符號(hào)所決定.當(dāng)0°90°時(shí)，×0；當(dāng)=90°時(shí)，×=0；當(dāng)90°180°時(shí)，×0.兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成×；.符號(hào)“· ”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“×”代替. 在實(shí)數(shù)中，若a¹0，且a×b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若，且×=0，不能推出.因?yàn)槠渲衏osq有可能為0.（5）平面向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積×等于的長(zhǎng)度與在方向上投影|cosq的乘積.注意：在方向上投影可以寫成（6）平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)、為兩個(gè)非零向量， Û × = 0 當(dāng)與同向時(shí)，× = |；當(dāng)與反向時(shí)，×= -|. 特別的× = |2或 cosq =，利用這一關(guān)系，可求兩個(gè)向量的夾角。（7）平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律：數(shù)乘結(jié)合律：()×=(×) = ×()分配律：(+)×= ×+ × 說(shuō)明：一般地，(·)··（·）··，0有如下常用性質(zhì)：（）（）····知識(shí)點(diǎn)二：平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示（1） 已知兩個(gè)非零向量，則·，即兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。（2） 向量模的坐標(biāo)表示設(shè)，則.如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么 （3） 注意：若A、B，則,所以的實(shí)質(zhì)是A,B的兩點(diǎn)的距離或是線段的長(zhǎng)度，這也是模的幾何意義。（4） 兩個(gè)向量垂直的條件設(shè)，則 Û （5） 兩向量夾角的余弦公式（6） 設(shè)兩個(gè)非零向量，是與的夾角，則有cos=學(xué)習(xí)結(jié)論（1） 兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由cosq的符號(hào)所決定.（2） 數(shù)學(xué)中涉及向量中點(diǎn)、夾角、距離、平行與垂直問(wèn)題，均可轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題。（3） 兩向量垂直的充要條件有時(shí)與向量共線條件結(jié)合在一起，要注意兩者的聯(lián)系。典型例題例1 已知與都是非零向量，且+ 3與7 - 5垂直， - 4與7- 2垂直，求與的夾角.解：由( + 3)·(7 - 5) = 0 Þ =0 ( - 4)·(7 - 2) = 0 Þ 兩式相減：代入或得：設(shè)、的夾角為q，則cosq =，又因?yàn)?q = 60°例2 求證：平行四邊形兩條對(duì)角線平方和等于四條邊的平方和.解析：如圖：平行四邊形ABCD中，=|2=而= ，|= 2= 例3. 如圖，以原點(diǎn)和A(5， 2)為頂點(diǎn)作等腰直角OAB，使ÐB = 90°，求點(diǎn)B和向量的坐標(biāo).答案:B點(diǎn)坐標(biāo)或；=或解析：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)(x， y)，則= (x， y)，= (x-5， y-2) x(x-5) + y(y-2) = 0即：x2 + y2 -5x - 2y = 0又| = | x2 + y2 = (x-5)2 + (y-2)2即：10x + 4y = 29由B點(diǎn)坐標(biāo)或；=或 例4. 在ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角，求k值.答案：k =或k = 或k =解析：當(dāng)A = 90°時(shí)，×= 0，2×1 +3×k = 0 k = 當(dāng)B = 90°時(shí)，×= 0，=-= (1-2， k-3) = (-1， k-3)2×(-1) +3×(k-3) = 0 k = 當(dāng)C = 90°時(shí)，×= 0，-1 + k(k-3) = 0 k =