2022年高中數(shù)學(xué)必修四 第二章 平面向量 《平面向量的實(shí)際背景及基本概念》學(xué)習(xí)過(guò)程
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2022年高中數(shù)學(xué)必修四 第二章 平面向量 《平面向量的實(shí)際背景及基本概念》學(xué)習(xí)過(guò)程
2022年高中數(shù)學(xué)必修四 第二章 平面向量 平面向量的實(shí)際背景及基本概念學(xué)習(xí)過(guò)程學(xué)習(xí)過(guò)程知識(shí)點(diǎn)一:向量的概念既有大小又有方向的量叫向量。注意數(shù)量與向量的區(qū)別:數(shù)量只有大小,是一個(gè)代數(shù)量,可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大?。幌蛄坑蟹较?,大小,雙重性,不能比較大小. 知識(shí)點(diǎn)二:向量的表示法用有向線段表示;用字母、(黑體,印刷用)等表示;用有向線段表示;用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母:;向量的大小長(zhǎng)度稱(chēng)為向量的模,記作|. 知識(shí)點(diǎn)三:有向線段(1)有向線段:具有方向的線段就叫做有向線段,三個(gè)要素:起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.(2)向量與有向線段的區(qū)別:向量只有大小和方向兩個(gè)要素,與起點(diǎn)無(wú)關(guān),只要大小和方向相同,則這兩個(gè)向量就是相同的向量;有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素,起點(diǎn)不同,盡管大小和方向相同,也是不同的有向線段.知識(shí)點(diǎn)四:兩個(gè)特殊的向量(1)零向量:長(zhǎng)度為0的向量叫零向量,記作. 的方向是任意的.注意與0的含義與書(shū)寫(xiě)區(qū)別.(2)單位向量:長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量,叫單位向量.說(shuō)明:零向量、單位向量的定義都只是限制了大小。知識(shí)點(diǎn)五:平行向量、共線向量(1) 定義:方向相同或相反的非零向量叫平行向量。(2) 規(guī)定:規(guī)定與任一向量平行.(3)共線向量與平行向量關(guān)系:平行向量就是共線向量,這是因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上(與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)).說(shuō)明:綜合(1)、(2)才是平行向量的完整定義;向量平行,記作 平行向量可以在同一直線上,要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系;共線向量可以相互平行,要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)六:相等向量(1) 定義長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量.(2)向量與相等,記作;(3)零向量與零向量相等;(4)任意兩個(gè)相等的非零向量,都可用同一條有向線段來(lái)表示,并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān).學(xué)習(xí)結(jié)論(1) 兩個(gè)非零向量方向相同或相反,則它們共線,但要注意與任一向量平行。(2) 非零向量與相等,則必有,且與的方向相同,反之也成立。典型例題例1.下列命題正確的是( )A.與共線,與共線,則與c也共線B.任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四頂點(diǎn)C.向量與不共線,則與都是非零向量D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行答案:C解析:由于零向量與任一向量都共線,所以A不正確;由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量,所以?xún)蓚€(gè)相等的非零向量可以在同一直線上,而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形,根本不可能是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn),所以B不正確;向量的平行只要方向相同或相反即可,與起點(diǎn)是否相同無(wú)關(guān),所以不正確;對(duì)于C,其條件以否定形式給出,所以可從其逆否命題來(lái)入手考慮,假若與不都是非零向量,即與至少有一個(gè)是零向量,而由零向量與任一向量都共線,可有與共線,不符合已知條件,所以有與都是非零向量,所以應(yīng)選C.例2. 判斷:(1)平行向量是否一定方向相同?(不一定)(2)不相等的向量是否一定不平行?(不一定)(3)與零向量相等的向量必定是什么向量?(零向量)(4)與任意向量都平行的向量是什么向量?(零向量)(5)若兩個(gè)向量在同一直線上,則這兩個(gè)向量一定是什么向量?(平行向量)(6)兩個(gè)非零向量相等的當(dāng)且僅當(dāng)什么?(長(zhǎng)度相等且方向相同)(7)共線向量一定在同一直線上嗎?(不一定)例3.設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心,分別寫(xiě)出與相等的向量。解析: