2022年高中數(shù)學(xué)必修四 3.1.2 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式示范教案教學(xué)分析1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式是在研究了兩角差的余弦公式的基礎(chǔ)上，進一步研究具有“兩角和差”關(guān)系的正弦、余弦、正切公式的.在這些公式的推導(dǎo)中，教科書都把對照、比較有關(guān)的三角函數(shù)式，認(rèn)清其區(qū)別，尋找其聯(lián)系和聯(lián)系的途徑作為思維的起點，如比較cos(-)與cos(+),它們都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式從運算或換元的角度看都有內(nèi)在聯(lián)系，即+=-(-)的關(guān)系，從而由公式C(-)推得公式C(+)，又如比較sin(-)與cos(-)，它們包含的角相同但函數(shù)名稱不同，這就要求進行函數(shù)名的互化，利用誘導(dǎo)公式（5）（6）即可推得公式S(-)、S(+)等.2.通過對“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式”的推導(dǎo)，揭示了兩角和、差的三角函數(shù)與這兩角的三角函數(shù)的運算規(guī)律，還使學(xué)生加深了數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)、證明方法的理解.因此本節(jié)內(nèi)容也是培養(yǎng)學(xué)生運算能力和邏輯思維能力的重要內(nèi)容，對培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力，發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力都有著十分重要的意義.3.本節(jié)的幾個公式是相互聯(lián)系的，其推導(dǎo)過程也充分說明了它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生深刻領(lǐng)會它們的這種聯(lián)系，從而加深對公式的理解和記憶.本節(jié)幾個例子主要目的是為了訓(xùn)練學(xué)生思維的有序性，逐步培養(yǎng)他們良好的思維習(xí)慣，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)有意識地對學(xué)生的思維習(xí)慣進行引導(dǎo)，例如在面對問題時，要注意先認(rèn)真分析條件，明確要求，再思考應(yīng)該聯(lián)系什么公式，使用公式時要具備什么條件等.另外，還要重視思維過程的表述，不能只看最后結(jié)果而不顧過程表述的正確性、簡捷性等，這些都是培養(yǎng)學(xué)生三角恒等變換能力所不能忽視的.三維目標(biāo)1.在學(xué)習(xí)兩角差的余弦公式的基礎(chǔ)上，通過讓學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,了解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，并通過強化題目的訓(xùn)練，加深對公式的理解，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力及邏輯推理能力，從而提高解決問題的能力.2.通過兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的運用，會進行簡單的求值、化簡、恒等證明，使學(xué)生深刻體會聯(lián)系變化的觀點，自覺地利用聯(lián)系變化的觀點來分析問題，提高學(xué)生分析問題解決問題的能力.3.通過本節(jié)學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握尋找數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，提高學(xué)生的觀察分析能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).重點難點教學(xué)重點：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其推導(dǎo).教學(xué)難點：靈活運用所學(xué)公式進行求值、化簡、證明.課時安排2課時教學(xué)過程第1課時導(dǎo)入新課 思路1.(舊知導(dǎo)入)教師先讓學(xué)生回顧上節(jié)課所推導(dǎo)的兩角差的余弦公式，并把公式默寫在黑板上或打出幻燈片,注意有意識地讓學(xué)生寫整齊.然后教師引導(dǎo)學(xué)生觀察cos(-)與cos(+)、sin(-)的內(nèi)在聯(lián)系，進行由舊知推出新知的轉(zhuǎn)化過程，從而推導(dǎo)出C(+)、S(-)、S(+).本節(jié)課我們共同研究公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用. 思路2.(問題導(dǎo)入)教師出示問題，先讓學(xué)生計算以下幾個題目，既可以復(fù)習(xí)回顧上節(jié)所學(xué)公式，又為本節(jié)新課作準(zhǔn)備.若sin=，(0,)，cos=,(0,),求cos(-),cos(+)的值.學(xué)生利用公式C（-）很容易求得cos（-），但是如果求cos（+）的值就得想法轉(zhuǎn)化為公式C（-）的形式來求，此時思路受阻,從而引出新課題，并由此展開聯(lián)想探究其他公式.推進新課新知探究提出問題還記得兩角差的余弦公式嗎？請一位同學(xué)到黑板上默寫出來.在公式C(-)中，角是任意角，請學(xué)生思考角-中換成角-是否可以？此時觀察角+與-(-)之間的聯(lián)系，如何利用公式C(-)來推導(dǎo)cos(+)=?分析觀察C(+)的結(jié)構(gòu)有何特征？在公式C(-)、C(+)的基礎(chǔ)上能否推導(dǎo)sin(+)=?sin(-)=?公式S(-)、S(+)的結(jié)構(gòu)特征如何？對比分析公式C(-)、C(+)、S(-)、S(+)，能否推導(dǎo)出tan(-)=?tan（+）=？分析觀察公式T(-)、T(+)的結(jié)構(gòu)特征如何？思考如何靈活運用公式解題？ 活動：對問題，學(xué)生默寫完后，教師打出課件，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察兩角差的余弦公式，點撥學(xué)生思考公式中的,既然可以是任意角，是怎樣任意的？你會有些什么樣的奇妙想法呢？鼓勵學(xué)生大膽猜想，引導(dǎo)學(xué)生比較cos(-)與cos(+)中角的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生有的會發(fā)現(xiàn)-中的角可以變?yōu)榻?，所以-(-)=+也有的會根據(jù)加減運算關(guān)系直接把和角+化成差角-(-)的形式.這時教師適時引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)移到公式C(-)上來,這樣就很自然地得到cos(+)=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=coscos-sinsin.所以有如下公式：cos(+)=coscos-sinsin我們稱以上等式為兩角和的余弦公式，記作C(+).對問題，教師引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察公式C(+)的結(jié)構(gòu)特征,可知“兩角和的余弦，等于這兩角的余弦積減去這兩角的正弦積”，同時讓學(xué)生對比公式C(-)進行記憶，并填空：cos75°=cos(_)=_=_.對問題，上面學(xué)生推得了兩角和與差的余弦公式，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，怎樣才能得到兩角和與差的正弦公式呢？我們利用什么公式來實現(xiàn)正、余弦的互化呢？學(xué)生可能有的想到利用誘導(dǎo)公式來化余弦為正弦(也有的想到利用同角的平方和關(guān)系式sin2+cos2=1來互化，此法讓學(xué)生課下進行),因此有sin(+)=cos-(+)=cos(-)-=cos(-)cos+sin(-)sin=sincos+cossin.在上述公式中,用-代之，則sin(-)=sin+(-)=sincos(-)+cossin(-)=sincos-cossin.因此我們得到兩角和與差的正弦公式，分別簡記為S(+)、S(-).sin(+)=sincos+cossin,sin(-)=sincos-cossin. 對問題，教師恰時恰點地引導(dǎo)學(xué)生觀察公式的結(jié)構(gòu)特征并結(jié)合推導(dǎo)過程進行記憶，同時進一步體會本節(jié)公式的探究過程及公式變化特點，體驗三角公式的這種簡潔美、對稱美.為強化記憶，教師可讓學(xué)生填空,如sin(+)=_，sin=_. 對問題，教師引導(dǎo)學(xué)生思考，在我們推出了公式C(-)、C(+)、S(+)、S(-)后,自然想到兩角和與差的正切公式，怎么樣來推導(dǎo)出tan(-)=?,tan(+)=?呢？學(xué)生很容易想到利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，化弦為切得到.在學(xué)生探究推導(dǎo)時很可能想不到討論，這時教師不要直接提醒，讓學(xué)生自己悟出來.當(dāng)cos(+)0時，tan(+)=如果coscos0,即cos0且cos0時,分子、分母同除以coscos得tan(+)=，據(jù)角、的任意性，在上面的式子中，用-代之，則有tan(-)=由此推得兩角和、差的正切公式，簡記為T(-)、T(+).tan(+)=tan(-)= 對問題,讓學(xué)生自己聯(lián)想思考，兩角和與差的正切公式中、±的取值是任意的嗎？學(xué)生回顧自己的公式探究過程可知，、±都不能等于+k(kZ)，并引導(dǎo)學(xué)生分析公式結(jié)構(gòu)特征，加深公式記憶. 對問題，教師與學(xué)生一起歸類總結(jié)，我們把前面六個公式分類比較可得C(+)、S(+)、T(+)叫和角公式；S(-)、C(-)、T(-)叫差角公式.并由學(xué)生歸納總結(jié)以上六個公式的推導(dǎo)過程，從而得出以下邏輯聯(lián)系圖.可讓學(xué)生自己畫出這六個框圖.通過邏輯聯(lián)系圖，深刻理解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，借以理解并靈活運用這些公式.同時教師應(yīng)提醒學(xué)生注意：不僅要掌握這些公式的正用，還要注意它們的逆用及變形用.如兩角和與差的正切公式的變形式 tan+tan=tan(+)(1-tantan)，tan-tan=tan(-)(1+tantan)，在化簡求值中就經(jīng)常應(yīng)用到，使解題過程大大簡化，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美.對于兩角和與差的正切公式，當(dāng)tan，tan或tan（±）的值不存在時，不能使用T（±）處理某些有關(guān)問題，但可改用誘導(dǎo)公式或其他方法，例如：化簡tan(-)，因為tan的值不存在，所以改用誘導(dǎo)公式tan(-)=來處理等.應(yīng)用示例思路1例1 已知sin=,是第四象限角，求sin(-),cos(+),tan(-)的值. 活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目中角的關(guān)系，在面對問題時要注意認(rèn)真分析條件，明確要求.再思考應(yīng)該聯(lián)系什么公式，使用公式時要有什么準(zhǔn)備，準(zhǔn)備工作怎么進行等.例如本題中，要先求出cos,tan的值，才能利用公式得解，本題是直接應(yīng)用公式解題，目的是為了讓學(xué)生初步熟悉公式的應(yīng)用，教師可以完全讓學(xué)生自己獨立完成.解：由sin=,是第四象限角，得cos=.tan=.于是有sin(-)=sincos-cossin=cos(+)=coscos-sinsin=tan(-)=. 點評：本例是運用和差角公式的基礎(chǔ)題，安排這個例題的目的是為了訓(xùn)練學(xué)生思維的有序性，逐步培養(yǎng)他們良好的思維習(xí)慣.變式訓(xùn)練1.不查表求cos75°,tan105°的值.解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=,tan105°=tan(60°+45°)= =-(2+).2.設(shè)(0,),若sin=,則2sin(+)等于( )A. B. C. D.4答案：A例2 已知sin=,(,),cos=,(,).求sin(-),cos(+),tan(+). 活動：教師可先讓學(xué)生自己探究解決，對探究困難的學(xué)生教師給以適當(dāng)?shù)狞c撥，指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析題目中已知條件和所求值的內(nèi)在聯(lián)系.根據(jù)公式S(-)、C(+)、T(+)應(yīng)先求出cos、sin、tan、tan的值，然后利用公式求值，但要注意解題中三角函數(shù)值的符號.解：由sin=,(,),得cos=-=，tan=.又由cos=,(,).sin=,tan=.sin(-)=sincos-cossin=×()-(.cos(+)=coscos-sinsin=()×()-×()=tan(+)=. 點評：本題仍是直接利用公式計算求值的基礎(chǔ)題，其目的還是讓學(xué)生熟練掌握公式的應(yīng)用，訓(xùn)練學(xué)生的運算能力.變式訓(xùn)練 引導(dǎo)學(xué)生看章頭圖，利用本節(jié)所學(xué)公式解答課本章頭題，加強學(xué)生的應(yīng)用意識.解：設(shè)電視發(fā)射塔高CD=x米，CAB=，則sin=，在RtABD中，tan(45°+)=tan.于是x=,又sin=,(0,),cos,tan.tan(45°+)=3,x=-30=150(米).答：這座電視發(fā)射塔的高度約為150米.例3 在ABC中，sinA=(0°<A<45°),cosB=(45°<B<90°)，求sinC與cosC的值. 活動：本題是解三角形問題，在必修5中還作專門的探究，這里用到的僅是與三角函數(shù)誘導(dǎo)公式與和差公式有關(guān)的問題，難度不大，但應(yīng)是學(xué)生必須熟練掌握的.同時也能加強學(xué)生的應(yīng)用意識，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.教師可讓學(xué)生自己閱讀、探究、討論解決，對有困難的學(xué)生教師引導(dǎo)學(xué)生分析題意和找清三角形各角之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而找出解決問題的路子.教師要提醒學(xué)生注意角的范圍這一暗含條件.解:在ABC中,A+B+C=180°,C=180°-(A+B).又sinA=且0°<A<45°,cosA=.又cosB=且45°<B<90°,sinB=.sinC=sin180°-(A+B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=,cosC=cos180°-(A+B)=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=×-×=. 點評：本題是利用兩角和差公式，來解決三角形問題的典型例子，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識，也使學(xué)生更加認(rèn)識了公式的作用,解決三角形問題時,要注意三角形內(nèi)角和等于180°這一暗含條件.變式訓(xùn)練 在ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB1,則ABC是( )A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.等腰非直角三角形答案：C思路2例1 若sin(+)=,cos(-)=,且0<<<<,求cos(+)的值. 活動：本題是一個典型的變角問題，也是一道經(jīng)典例題，對訓(xùn)練學(xué)生的運算能力以及邏輯思維能力很有價值.盡管學(xué)生思考時有點難度，但教師仍可放手讓學(xué)生探究討論，教師不可直接給出解答.對于探究不出的學(xué)生，教師可恰當(dāng)點撥引導(dǎo)，指導(dǎo)學(xué)生解決問題的關(guān)鍵是尋找所求角與已知角的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生理清所求的角與已知角的關(guān)系，觀察選擇應(yīng)該選用哪個公式進行求解，同時也要特別提醒學(xué)生注意：在求有關(guān)角的三角函數(shù)值時，要特別注意確定準(zhǔn)角的范圍，準(zhǔn)確判斷好三角函數(shù)符號，這是解決這類問題的關(guān)鍵.學(xué)生完全理清思路后，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生的規(guī)范書寫，并熟練掌握它.對于程度比較好的學(xué)生可讓其擴展本題，或變化條件，或變換所求的結(jié)論等.如教師可變換,角的范圍，進行一題多變訓(xùn)練，提高學(xué)生靈活應(yīng)用公式的能力，因此教師要充分利用好這個例題的訓(xùn)練價值.解：0<<<<,<+<,-<-<0,又已知sin(+)=,cos(-)=,cos(+)=,sin(-)=.cos(+)=sin+(+)=sin(+)-(-)=sin(+)cos(-)-cos(+)sin(-)=×-()×()=. 本題是典型的變角問題,即把所求角利用已知角來表示,實際上就是化歸思想.這需要巧妙地引導(dǎo),充分讓學(xué)生自己動手進行角的變換,培養(yǎng)學(xué)生靈活運用公式的能力.變式訓(xùn)練 已知,(,),sin(+)=,sin(-)=,求cos(+)的值.解：,(,),sin(+)=,sin(-)=,<+<2,<-<.cos(+)=,cos(-)=. cos(+)=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=×()+()×=.例2 化簡 活動：本題是直接利用公式把兩角的和、差化為兩單角的三角函數(shù)的形式，教師可以先讓學(xué)生自己獨立地探究，然后進行講評.解：原式=0.點評：本題是一個很好的運用公式進行化簡的例子，通過學(xué)生獨立解答，培養(yǎng)學(xué)生熟練運用公式的運算能力.變式訓(xùn)練化簡解：原式=知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)14.1.(1),(2),(3),(4)2-.2.3.4.-2.作業(yè)已知0<<,<<,cos(-)=,sin(+)=,求sin(+)的值.解：<<,<-<0.sin(-)=.又0<<,<+<,cos(+)=.sin(+)=-cos(+)=-cos(+)-(-)=-cos(+)cos(-)-sin(+)sin(-)=-()××()=.課堂小結(jié)1.先由學(xué)生回顧本節(jié)課都學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法，有哪些收獲與提高，在公式推導(dǎo)中你悟出了什么樣的數(shù)學(xué)思想？對于這六個公式應(yīng)如何對比記憶？其中正切公式的應(yīng)用有什么條件限制？怎樣用公式進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值與恒等式證明.2.教師畫龍點睛：我們本節(jié)課要理解并掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其推導(dǎo)，明白從已知推得未知，理解數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化思想,并要正確熟練地運用公式解題.在解題時要注意分析三角函數(shù)名稱、角的關(guān)系，一個題目能給出多種解法，從中比較最佳解決問題的途徑，以達到優(yōu)化解題過程，規(guī)范解題步驟，領(lǐng)悟變換思路，強化數(shù)學(xué)思想方法之目的.設(shè)計感想1.本節(jié)課是典型的公式教學(xué)模式，是在兩角差的余弦公式的基礎(chǔ)上進行的，因此本教案的設(shè)計流程是“提出問題轉(zhuǎn)化推導(dǎo)分析記憶應(yīng)用訓(xùn)練”.它充分展示了公式教學(xué)中以學(xué)生為主體，進行主動探索數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的過程.同時充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生利用舊知識推導(dǎo)證明新知識，并學(xué)會記憶公式的方法，靈活運用公式解決實際問題,從而使學(xué)生領(lǐng)會了數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化思想，并培養(yǎng)他們主動利用轉(zhuǎn)化思想指導(dǎo)探索解決數(shù)學(xué)問題的能力.2.縱觀本教案的設(shè)計，知識點集中，容量較大，重點是公式的推導(dǎo)證明、記憶以及簡單的應(yīng)用等，通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生深刻理解公式的推導(dǎo)、證明方法，熟練應(yīng)用公式解決簡單的問題.同時教給學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、探索推導(dǎo)、獲取新知的方法，讓他們真正體驗到自己發(fā)現(xiàn)探索數(shù)學(xué)知識的喜悅和成功感.第2課時導(dǎo)入新課 思路1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)讓學(xué)生回憶上節(jié)課所學(xué)的六個公式，并回憶公式的來龍去脈，然后讓一個學(xué)生把公式默寫在黑板上或打出幻燈.教師引導(dǎo)學(xué)生回顧比較各公式的結(jié)構(gòu)特征，說出它們的區(qū)別和聯(lián)系，以及公式的正用、逆用及變形用，以利于對公式的深刻理解.這節(jié)課我們將進一步探究兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的靈活應(yīng)用. 思路2.(問題導(dǎo)入)教師可打出幻燈，出示一組練習(xí)題讓學(xué)生先根據(jù)上節(jié)課所學(xué)的公式進行解答.1.化簡下列各式(1)cos（）cossin（）sin;(2);(3)2.證明下列各式(1)(2)tan（）tan（-）（1-tan2tan2）tan2-tan2;(3)答案:1.(1)cos;(2)0;(3)1.2.證明略.教師根據(jù)學(xué)生的解答情況進行一一點撥，并對上節(jié)課所學(xué)的六個公式進行回顧復(fù)習(xí)，由此展開新課.推進新課新知探究提出問題請同學(xué)們回憶這一段時間我們一起所學(xué)的和、差角公式.請同學(xué)們回顧兩角和與差公式的區(qū)別與聯(lián)系，可從推導(dǎo)體系中思考. 活動：待學(xué)生稍做回顧后，教師打出幻燈，出示和與差角公式，讓學(xué)生進一步在直觀上發(fā)現(xiàn)它們內(nèi)在的區(qū)別與聯(lián)系，理解公式的推導(dǎo)充分發(fā)揮了向量的工具作用，更要體會由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，當(dāng)、中有一個角為90°時，公式就變成誘導(dǎo)公式，所以前面所學(xué)的誘導(dǎo)公式其實是兩角和與差公式的特例.在應(yīng)用公式時，還要注意角的相對性，如=(+)-,等.讓學(xué)生在整個的數(shù)學(xué)體系中學(xué)會數(shù)學(xué)知識，學(xué)會數(shù)學(xué)方法，更重要的是學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題的方法，以及善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律及其內(nèi)在聯(lián)系的良好習(xí)慣，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).sin（±）sincos±cossin（±）;cos（±）coscossinsinC（±）;tan（±）T（±）.討論結(jié)果：略.應(yīng)用示例思路1例1 利用和差角公式計算下列各式的值.（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°（2）cos20°cos70°-sin20°sin70°（3） 活動：本例實際上是公式的逆用，主要用來熟悉公式，可由學(xué)生自己完成.對部分學(xué)生，教師點撥學(xué)生細(xì)心觀察題中式子的形式有何特點，再對比公式右邊，馬上發(fā)現(xiàn)（1）同公式S(-)的右邊，（2）同公式C(+)右邊形式一致，學(xué)生自然想到公式的逆用，從而化成特殊角的三角函數(shù)，并求得結(jié)果.再看（3）式與T(+)右邊形式相近，但需要進行一定的變形.又因為tan45°=1，原式化為，再逆用公式T(+)即可解得.解：（1）由公式S(-)得原式=sin(72°-42°)=sin30°=.（2）由公式C(+)得原式=cos(20°+70°)=cos90°=0.（3）由公式T(+)得原式=tan(45°+15°)=tan60°=. 點評：本例體現(xiàn)了對公式的全面理解，要求學(xué)生能夠從正、反兩個角度使用公式.與正用相比，反用表現(xiàn)的是一種逆向思維，它不僅要求有一定的反向思維意識，對思維的靈活性要求也高，而且對公式要有更全面深刻的理解.變式訓(xùn)練1.化簡求值：（1）cos44°sin14°-sin44°cos14°（2）sin14°cos16°+sin76°cos74°（3）sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x).解：（1）原式=sin(14°-44°)=sin(-30°)=-sin30°=.（2）原式=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°=.（3）原式=sin(54°-x)+(36°+x)=sin90°=1.2.計算解：原式=tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°=.例2 已知函數(shù)f(x)=sin(x+)+cos(x-)的定義域為R,設(shè)0,2,若f(x)為偶函數(shù),求的值. 活動:本例是一道各地常用的、基礎(chǔ)性較強的綜合性統(tǒng)考題,其難度較小,只需利用偶函數(shù)的定義,加上本節(jié)學(xué)到的兩角和與差的三角公式展開即可,但不容易得到滿分.教師可先讓學(xué)生自己探究,獨立完成,然后教師進行點評.解:f(x)為偶函數(shù),f(-x)=f(x),即sin(-x+)+cos(-x-)=sin(x+)+cos(x-),即-sinxcos+cosxsin+cosxcos-sinxsin=sinxcos+cosxsin+cosxcos+sinxsin.sinxcos+sinxsin=0.sinx(sin+cos)=0對任意x都成立.sin(+)=0,即sin(+)=0.+=k(kZ).=k-(kZ).又0,2),=或=. 點評:本例學(xué)生可能會根據(jù)偶函數(shù)的定義利用特殊值來求解.教師應(yīng)提醒學(xué)生注意,如果將本例變?yōu)檫x擇或填空,可利用特殊值快速解題,作為解答題利用特殊值是不嚴(yán)密的,以此訓(xùn)練學(xué)生邏輯思維能力.變式訓(xùn)練 已知：<<<,cos(-)=,sin(+)=,求cos2的值.解：<<<,0<-<,<+<.又cos(-)=,sin(+)= ,sin(-)=,cos(+)=.cos2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=×+()×=.例3 求證：cos+sin=2sin(+). 活動：本題雖小但其意義很大,從形式上就可看出來,左邊是兩個函數(shù),而右邊是一個函數(shù),教師引導(dǎo)學(xué)生給予足夠的重視.對于此題的證明，學(xué)生首先想到的證法就是把等式右邊利用公式S(+)展開，化簡整理即可得到左邊此為證法，這是很自然的，教師要給予鼓勵.同時教師可以有目的的引導(dǎo)學(xué)生把等式左邊轉(zhuǎn)化為公式S(+)的右邊的形式，然后逆用公式化簡即可求得等式右邊的式子，這種證明方法不僅僅是方法的變化，更重要的是把兩個三角函數(shù)化為一個三角函數(shù).證明：方法一：右邊=2(sincos+cossin)=2(cos+sin)=cos+sin=左邊.方法二：左邊=2(cos+sin)=2(sincos+cossin)=2sin(+)=右邊. 點評：本題給出了兩種證法，方法一是正用公式的典例，而方法二則是逆用公式證明的，此法也給了我們一種重要的轉(zhuǎn)化方法，要求學(xué)生熟練掌握其精神實質(zhì).本例的方法二將左邊的系數(shù)1與分別變?yōu)榱伺c，即輔助角的正、余弦.關(guān)于形如asinx+bcosx（a，b不同時為零）的式子,引入輔助角變形為Asin(x+)的形式，其基本想法是“從右向左”用和角的正弦公式，把它化成Asin(x+)的形式.一般情況下，如果a=os,b=Asin,那么asinx+bcosx=A(sinxcos+cosxsin)=Asin(x+).由sin2+cos2=1,可得A2=a2+b2,A=±,不妨取A=,于是得到cos=,sin=,從而得到tan=,因此asinx+bcosx=sin(x+)，通過引入輔助角，可以將asinx+bcosx這種形式的三角函數(shù)式化為一個角的一個三角函數(shù)的形式.化為這種形式可解決asinx+bcosx的許多問題，比如值域、最值、周期、單調(diào)區(qū)間等.教師應(yīng)提醒學(xué)生注意，這種引入輔助角的變換思想很重要，即把兩個三角函數(shù)化為一個三角函數(shù)，實質(zhì)上是消元思想，這樣就可以根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來研究它的性質(zhì).因此在歷年高考試題中出現(xiàn)的頻率非常高，是三角部分中高考的熱點,再結(jié)合續(xù)內(nèi)容的倍角公式,在解答高考物理試題時也常常被使用，應(yīng)讓學(xué)生領(lǐng)悟其實質(zhì)并熟練的掌握它.變式訓(xùn)練 化簡下列各式：（1）sinx+cosx;（2）cosx-6sinx.解：（1）原式=2(sinx+cosx)=2(cossinx+sincosx)=2sin(x+).（2）原式=2 (cosx-sinx)=2(sincosx-cossinx)=2sin(-x).例4 （1）已知+=45°,求(1+tan)(1+tan)的值;（2）已知sin(+)=,sin(-)=,求 活動：對于（1）,教師可與學(xué)生一起觀察條件，分析題意可知，+是特殊角，可以利用兩角和的正切公式得tan,tan的關(guān)系式，從而發(fā)現(xiàn)所求式子的解題思路.在（2）中，我們欲求若利用已知條件直接求tan,tan的值是有一定的困難，但細(xì)心觀察公式S(+)、S(-)發(fā)現(xiàn)，它們都含有sincos和cossin，而化切為弦正是，由此找到解題思路.教學(xué)中盡可能的讓學(xué)生自己探究解決，教師不要及早地給以提示或解答.解：（1）+=45°,tan(+)=tan45°=1.又tan(+)=tan+tan=tan(+)(1-tantan),即tan+tan=1-tantan.原式=1+tan+tan+tantan=1+(1-tantan)+tantan=2.（2）sin(+)=,sin(-)= ,sincos+cossin=, sincos-coscos=. +得sincos=,-得cossin=, 點評：本題都是公式的變形應(yīng)用，像(1)中當(dāng)出現(xiàn)+為特殊角時，就可以逆用兩角和的正切公式變形tan+tan=tan(+)(1-tantan),對于我們解題很有用處，而(2)中化切為弦的求法更是巧妙，應(yīng)讓學(xué)生熟練掌握其解法.變式訓(xùn)練1.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)(1+tan44°)(1+tan45°)的值.解：原式=(1+tan1°)(1+tan44°)(1+tan2°)(1+tan43°)(1+tan22°)(1+tan23°)(1+tan45°)=2×2×2××2=223.2.計算：tan15°+tan30°+tan15°tan30°.解：原式=tan45°(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)57.解答：5.解:（1）原式=sin90°=1.（2）原式=cos60°=.（3）原式=tan45°=1.（4）原式=-sin60°=.（5）原式=-cos60°=.（6）原式=sin20°（-cos70°）+（-cos20°）sin70°=-（sin20°cos70°+cos20°sin70°）=-sin90°=-1.6.（1）原式=sincosx-cossinx=sin(-x).（2）原式=2(sinx+cosx)=2sin(x+).（3）原式=2(sinx-cosx)=2sin(x-).（4）原式=2(cosx-sinx)=2sin(-x). 點評：將asinx+bcosx轉(zhuǎn)化為Asin(x+)或Acos(x+)的形式，關(guān)鍵在于“湊”和（或差）角公式.7.解：由sin(-)cos-cos(-)sin=,可得sin(-)cos-cos(-)sin=sin(-)=-sin=,sin=.又是第三象限角，cos=.sin(+)=sincos+cossin=.作業(yè)已知一元二次方程ax2+bx+c=0(ac0)的兩個根為tan、tan,求tan(+)的值.解：由韋達定理得：tan+tan=,tantan=,tan(+)=.課堂小結(jié)1.先讓學(xué)生回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容是什么？我們學(xué)習(xí)了哪些重要的解題方法？通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，我們在運用和角與差角公式時，應(yīng)注意什么？如何靈活運用公式解答有關(guān)的三角函數(shù)式的化簡、求值、恒等證明等問題.2.教師畫龍點睛：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要熟練掌握運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式解決三角函數(shù)式的化簡、求值、恒等證明等問題,靈活進行角的變換和公式的正用、逆用、變形用等.推導(dǎo)并理解公式asinx+bcosx=sin(x+)，運用它來解決三角函數(shù)求值域、最值、周期、單調(diào)區(qū)間等問題.設(shè)計感想1.本節(jié)是典型的習(xí)題課，目的就是加深鞏固兩角和與差公式的應(yīng)用，深刻理解公式的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)會綜合利用公式解題的方法和技巧.因此,本節(jié)課安排的四個例子都是圍繞這個目標(biāo)設(shè)計的，它們的解題方法也充分體現(xiàn)了公式的靈活運用.另外，通過補充的例題，教給學(xué)生正用、逆用、變形用公式的方法，培養(yǎng)了他們的逆向思維和靈活運用公式的能力.特別是給出了形如“asinx+bcosx=sin(x+)”公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，對于三角函數(shù)的研究，給我們提供了一種重要的方法.2.對于習(xí)題課來說，我們應(yīng)該本著以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)的原則，讓學(xué)生先認(rèn)真審題、獨立思考、板演解法，然后教師再進行點評，理清思路，糾正錯誤，指導(dǎo)解法，爭取一題多解，拓展思路,通過變式訓(xùn)練再進行方法鞏固.