2022年高中數(shù)學(xué)必修四 第二章 平面向量 《平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示》學(xué)習(xí)過(guò)程
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2022年高中數(shù)學(xué)必修四 第二章 平面向量 《平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示》學(xué)習(xí)過(guò)程
2022年高中數(shù)學(xué)必修四 第二章 平面向量 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)過(guò)程學(xué)習(xí)過(guò)程知識(shí)點(diǎn)一:平面向量基本定理(1) 平面向量基本定理:如果,是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使= 。我們把不共線向量,叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底;(2)運(yùn)用定理時(shí)需注意:,是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量。該平面內(nèi)的任一向量都可用,線性表示,且這種表示是唯一的?;撞晃ㄒ唬灰峭黄矫鎯?nèi)的兩個(gè)不共線向量都可作為基底。知識(shí)點(diǎn)二:兩向量的夾角與垂直(1) 定義:已知兩個(gè)非零向量,作,則AOB=叫做向量的夾角。(2)如果的夾角是90°,就說(shuō)垂直,記作。(3)注意:向量的夾角的范圍是,當(dāng)時(shí),同向;當(dāng)時(shí),;當(dāng),反向。知識(shí)點(diǎn)三:平面向量的坐標(biāo)表示(1)如圖,在直角坐標(biāo)系內(nèi),我們分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底.任作一個(gè)向量,由平面向量基本定理知,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、,使得我們把叫做向量的(直角)坐標(biāo),記作其中叫做在軸上的坐標(biāo),叫做在軸上的坐標(biāo),式叫做向量的坐標(biāo)表示.與相等的向量的坐標(biāo)也為.特別地,如圖,在直角坐標(biāo)平面內(nèi),以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作,則點(diǎn)的位置由唯一確定.設(shè),則向量的坐標(biāo)就是點(diǎn)的坐標(biāo);反過(guò)來(lái),點(diǎn)的坐標(biāo)也就是向量的坐標(biāo).因此,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),每一個(gè)平面向量都是可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯一表示.(2)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 若,則, 兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差. 若,則一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).(3)若和實(shí)數(shù),則.實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).知識(shí)點(diǎn)四:平面向量共線的坐標(biāo)表示(1) 設(shè), 其中,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),向量共線。(2) 注意:遇到與共線有關(guān)的問(wèn)題時(shí),一般要考慮運(yùn)用兩向量共線的條件。運(yùn)用兩向量共線的條件,可求點(diǎn)的坐標(biāo),可證明三點(diǎn)共線等問(wèn)題。學(xué)習(xí)結(jié)論(1) 在解具體問(wèn)題時(shí),要適當(dāng)?shù)倪x取基底。把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題。(2) 向量共線的充要條件有兩種形式:() (3) 注意在兩向量的夾角定義,兩向量必須是同起點(diǎn)的.范圍0°q180°。典型例題例1 。已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2, 1), B(-1, 3), C(3, 4),求點(diǎn)D的坐標(biāo)使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn).解析:當(dāng)平行四邊形為ABCD時(shí),由得D1=(2, 2)當(dāng)平行四邊形為ACDB時(shí),得D2=(4, 6),當(dāng)平行四邊形為DACB時(shí),得D3=(-6, 0)例2已知三個(gè)力 (3, 4), (2, -5), (x, y)的合力+=,求的坐標(biāo).解析:由題設(shè)+= 得:(3, 4)+ (2, -5)+(x, y)=(0, 0)即: (-5,1)例3若向量=(-1,x)與=(-x, 2)共線且方向相同,求x解析:=(-1,x)與=(-x, 2) 共線 (-1)×2- x(-x)=0 x=± 與方向相同 x= 例4已知A(-1, -1), B(1,3), C(1,5) ,D(2,7) ,向量與平行嗎?直線AB與平行于直線CD嗎? 解析:=(1-(-1), 3-(-1)=(2, 4) , =(2-1,7-5)=(1,2) 又 2×2-4×1=0 又 =(1-(-1), 5-(-1)=(2,6) ,=(2, 4),2×4-2×6¹0 與不平行 A,B,C不共線 AB與CD不重合 ABCD