第3講基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程及函數(shù)應(yīng)用 2019考向?qū)Ш娇键c(diǎn)掃描三年考情考向預(yù)測(cè)2019201820171基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)第5題江蘇高考對(duì)初等函數(shù)的考查主要載體是二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)，多為中檔題；考查函數(shù)性質(zhì)的簡(jiǎn)單綜合運(yùn)用，此類(lèi)試題對(duì)恒等變形、等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力有一定的要求，函數(shù)與方程、分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想通常會(huì)有所體現(xiàn)函數(shù)實(shí)際應(yīng)用題也是高考熱點(diǎn)，常以求最值為問(wèn)題歸宿2函數(shù)與方程第14題第14題3函數(shù)模型第17題1必記的概念與定理指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)(1)指數(shù)函數(shù)yax(a>0，a1)與對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a>0，a1)的圖象和性質(zhì)，分0<a<1，a>1兩種情況，著重關(guān)注兩函數(shù)圖象中的兩種情況的公共性質(zhì)(2)冪函數(shù)yx的圖象與性質(zhì)由于的值不同而比較復(fù)雜，當(dāng)>0時(shí)，圖象過(guò)原點(diǎn)和(1，1)，在第一象限的圖象上升；<0時(shí)，圖象不過(guò)原點(diǎn)，在第一象限的圖象下降曲線(xiàn)在第一象限的凹凸性：>1時(shí)，曲線(xiàn)下凸；0<<1時(shí)，曲線(xiàn)上凸；<0時(shí)，曲線(xiàn)下凸(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線(xiàn)，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a，b)，使得f(c)0，這個(gè)c也就是方程f(x)0的根2記住幾個(gè)常用的公式與結(jié)論(1)對(duì)數(shù)式的五個(gè)運(yùn)算公式loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM；alogaNN；logaN(a>0且a1，b>0且b1，M>0，N>0)提醒：logaMlogaNloga(MN)，logaMlogaNloga(MN)(2)與二次函數(shù)有關(guān)的不等式恒成立問(wèn)題ax2bxc>0，a0恒成立的充要條件是ax2bxc<0，a0恒成立的充要條件是3需要關(guān)注的易錯(cuò)易混點(diǎn)(1)在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，準(zhǔn)確掌握各個(gè)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵(2)解函數(shù)應(yīng)用題常見(jiàn)的錯(cuò)誤：不會(huì)將實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型或轉(zhuǎn)化不全面；在求解過(guò)程中忽視實(shí)際問(wèn)題對(duì)變量參數(shù)的限制條件基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)典型例題 (1)已知ab1若logablogba，abba，則a_，b_(2)已知a0，b0，ab8，則當(dāng)a的值為_(kāi)時(shí)，log2a·log2(2b)取得最大值【解析】(1)由于ab1，則logab(0，1)，因?yàn)閘ogablogba，即logab，所以logab或logab2(舍去)，所以ab，即ab2，所以ab(b2)bb2bba，所以a2b，b22b，所以b2(b0舍去)，a4(2)由于a>0，b>0，ab8，所以b所以log2a·log2(2b)log2a·log2log2a·(4log2a)(log2a2)24，當(dāng)且僅當(dāng)log2a2，即a4時(shí)，log2a·log2(2b)取得最大值4【答案】(1)42(2)4指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)受底數(shù)a的影響，解決與指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)特別是與單調(diào)性有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，首先要看底數(shù)a的范圍對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2019·南通市高三模擬)已知函數(shù)f(x)loga(xb)(a>0且a1，bR)的圖象如圖所示，則ab的值是_解析 將(3，0)，(0，2)分別代入解析式得loga(3b)0，logab2，解得a，b4，從而ab答案 2使log2(x)<x1成立的x的取值范圍是_解析 作出函數(shù)ylog2(x)及yx1的圖象其中ylog2(x)及ylog2x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，觀察圖象(如圖所示)知，1<x<0，即x(1，0)也可把原不等式化為后作圖答案 (1，0)函數(shù)與方程典型例題 (1)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x)f(x)，f(x)f(2x)，當(dāng)x0，1時(shí)，f(x)x3，則函數(shù)g(x)|cos x|f(x)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)(2)(2019·高考江蘇卷)設(shè)f(x)，g(x)是定義在R上的兩個(gè)周期函數(shù)，f(x)的周期為4，g(x)的周期為2，且f(x)是奇函數(shù)當(dāng)x(0，2時(shí)，f(x)，g(x)其中k>0若在區(qū)間(0，9上，關(guān)于x的方程f(x)g(x)有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是_【解析】(1)由f(x)f(x)，得f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)由f(x)f(2x)，得f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x1對(duì)稱(chēng)當(dāng)x0，1時(shí)，f(x)x3，所以f(x)在1，2上的圖象如圖令g(x)|cos x|f(x)0，得|cos x|f(x)，兩函數(shù)yf(x)與y|cos x|的圖象在上的交點(diǎn)有5個(gè)(2)當(dāng)x(0，2時(shí)，令y，則(x1)2y21，y0，即f(x)的圖象是以(1，0)為圓心、1為半徑的半圓，利用f(x)是奇函數(shù)，且周期為4，畫(huà)出函數(shù)f(x)在(0，9上的圖象，再在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)g(x)(x(0，9)的圖象，如圖，關(guān)于x的方程f(x)g(x)在(0，9上有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即兩個(gè)函數(shù)的圖象有8個(gè)不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合知g(x)(x(0，1)與f(x)(x(0，1)的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)滿(mǎn)足題意，當(dāng)直線(xiàn)yk(x2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，1)時(shí)，k，當(dāng)直線(xiàn)yk(x2)與半圓(x1)2y21(y0)相切時(shí)，1，k或k(舍去)，所以k的取值范圍是【答案】(1)5(2)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法(1)解方程法：若對(duì)應(yīng)方程f(x)0可解時(shí)，通過(guò)解方程，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)(2)零點(diǎn)存在性定理法：利用定理不僅要判斷函數(shù)在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，且f(a)·f(b)0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題先畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2019·南京四校高三聯(lián)考)已知周期為4的函數(shù)f(x)，則方程3f(x)x的根的個(gè)數(shù)為_(kāi)解析 作出函數(shù)yf(x)的圖象及直線(xiàn)y如圖所示，則兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，即方程的根的個(gè)數(shù)為3答案 34(2019·蘇州市高三調(diào)研)已知函數(shù)f(x)axxb的零點(diǎn)x0(n，n1)(nZ)，其中常數(shù)a、b滿(mǎn)足2a3，3b2，則n_解析 f(x)axxb的零點(diǎn)x0就是方程axxb的根設(shè)y1ax，y2xb，故x0就是兩函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由2a3，3b2，得a>1，0<b<1可知f(x)為增函數(shù)當(dāng)x1時(shí)，y1log32<y21b1log32，當(dāng)x0時(shí)，y1a01y2b，所以1<x0<0，所以n1答案 1函數(shù)模型典型例題 (2018·高考江蘇卷)某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧MPN(P為此圓弧的中點(diǎn))和線(xiàn)段MN構(gòu)成已知圓O的半徑為40米，點(diǎn)P到MN的距離為50米現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚，大棚內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD，大棚內(nèi)的地塊形狀為CDP，要求A，B均在線(xiàn)段MN上，C，D均在圓弧上設(shè)OC與MN所成的角為(1)用分別表示矩形ABCD和CDP的面積，并確定sin 的取值范圍；(2)若大棚內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為43求當(dāng)為何值時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大【解】(1)設(shè)PO的延長(zhǎng)線(xiàn)交MN于H，則PHMN，所以O(shè)H10過(guò)O作OEBC于E，則OEMN，所以COE，故OE40cos ，EC40sin ，則矩形ABCD的面積為2×40cos ·(40sin 10)800(4sin cos cos )，CDP的面積為×2×40cos (4040sin )1 600(cos sin cos )過(guò)N作GNMN，分別交圓弧和OE的延長(zhǎng)線(xiàn)于G和K，則GKKN10連結(jié)OG，令GOK0，則sin 0，0當(dāng)時(shí)，才能作出滿(mǎn)足條件的矩形ABCD，所以sin 的取值范圍是(2)因?yàn)榧?、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為43，設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k，乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k(k>0)，則年總產(chǎn)值為4k×800(4sin cos cos )3k×1 600(cos sin cos )8 000k(sin cos cos )，設(shè)f()sin cos cos ，則f()cos2sin2sin (2sin2sin 1)(2sin 1)·(sin 1)令f()0，得，當(dāng)時(shí)，f()>0，所以f()為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，f()<0，所以f()為減函數(shù)，因此，當(dāng)時(shí)，f()取到最大值應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的一般程序是：與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題，經(jīng)常涉及物價(jià)、路程、產(chǎn)值、環(huán)保等實(shí)際問(wèn)題，也可涉及角度、面積、體積、造價(jià)的最優(yōu)化問(wèn)題解答這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是建立相關(guān)函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式和導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)加以綜合解答對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(2019·江蘇省四星級(jí)學(xué)校聯(lián)考)某品牌開(kāi)發(fā)了一種新產(chǎn)品，欲在沿海城市尋找一個(gè)工廠代理加工生產(chǎn)該新產(chǎn)品，由于該新產(chǎn)品的專(zhuān)利保護(hù)要求比較高，某種核心配件只能從總公司購(gòu)買(mǎi)并且由總公司統(tǒng)一配送，該廠每天需要此核心配件200個(gè)，配件的價(jià)格為18元/個(gè)，每次購(gòu)買(mǎi)配件需支付運(yùn)費(fèi)236元每次購(gòu)買(mǎi)來(lái)的配件還需支付保密費(fèi)用(若n天購(gòu)買(mǎi)一次，則需要支付n天的保密費(fèi)用)，其標(biāo)準(zhǔn)如下：7天以?xún)?nèi)(含7天)，均按10元/天支付；7天以外，根據(jù)當(dāng)天還未生產(chǎn)時(shí)剩余配件的數(shù)量，以每天003元/個(gè)支付(1)當(dāng)9天購(gòu)買(mǎi)一次配件時(shí)，求該廠用于配件的保密費(fèi)用p(元)的值；(2)設(shè)該廠x天購(gòu)買(mǎi)一次配件，求該廠在這x天中用于配件的總費(fèi)用y(元)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求該廠多少天購(gòu)買(mǎi)一次配件才能使平均每天支付的費(fèi)用最少解 (1)當(dāng)9天購(gòu)買(mǎi)一次配件時(shí)，該廠用于配件的保密費(fèi)用p70003×200×(21)88(元)(2)當(dāng)0x7時(shí)，y18×200x10x236370x236當(dāng)x7時(shí)，y18×200x23670200×003×(x7)(x8)213x2321x432，所以y設(shè)該廠x天購(gòu)買(mǎi)一次配件時(shí)，平均每天支付的費(fèi)用為f(x)元，則f(x)當(dāng)0x7時(shí)，f(x)370，f(x)是(0，7上的減函數(shù)，所以當(dāng)x7時(shí)，f(x)有最小值當(dāng)x7時(shí)，f(x)3x32133213×2×321393，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x12時(shí)取等號(hào)又393，所以當(dāng)該廠12天購(gòu)買(mǎi)一次配件時(shí)才能使平均每天支付的費(fèi)用最少1已知點(diǎn)M在冪函數(shù)f(x)的圖象上，則f(x)的表達(dá)式為_(kāi)解析 設(shè)冪函數(shù)的解析式為f(x)x，則3，得2故f(x)x2答案 f(x)x22(2019·常州模擬) 函數(shù)y的值域?yàn)開(kāi)解析 由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知值域?yàn)?0，)答案 (0，)3函數(shù)y|x|2|x|12兩個(gè)零點(diǎn)的差的絕對(duì)值是_解析 令|x|2|x|120，得(|x|4)(|x|3)0，即|x|4，所以?xún)蓚€(gè)零點(diǎn)的差的絕對(duì)值是|4(4)|8答案 84(2019·綿陽(yáng)期中)若a306，blog302，c063，則a，b，c的大小關(guān)系為_(kāi)解析 3061，log3020，00631，所以acb答案 acb 5(2019·山西大學(xué)附中期中)有四個(gè)函數(shù)：yx；y21x；yln(x1)；y|1x|其中在區(qū)間(0，1)內(nèi)單調(diào)遞減的函數(shù)的序號(hào)是_解析 分析題意可知顯然不滿(mǎn)足題意，畫(huà)出中的函數(shù)圖象(圖略)，易知中的函數(shù)滿(mǎn)足在(0，1)內(nèi)單調(diào)遞減答案 6設(shè)2a5bm，且2，則m_解析 因?yàn)?a5bm，所以alog2m，blog5m，所以logm2logm5logm102所以m答案 7(2019·南京、鹽城高三模擬)已知函數(shù)f(x)kx(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析 由題意，知x0，函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程kx0只有一個(gè)根，即方程k只有一個(gè)根，設(shè)g(x)，則函數(shù)g(x)的圖象與直線(xiàn)yk只有一個(gè)交點(diǎn)因?yàn)間(x)，所以函數(shù)g(x)在(，0)上為增函數(shù)，在(0，2)上為減函數(shù)，在(2，)上為增函數(shù)，g(x)的極小值g(2)，且x0時(shí)，g(x)，x時(shí)，g(x)0，x時(shí)，g(x)，則g(x)的圖象如圖所示，由圖易知0<k<答案 8(2019·高三第二次調(diào)研測(cè)試)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x4)f(x)，且在2，4)上，f(x)則函數(shù)yf(x) log5|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)解析 由f(x4)f(x)得奇函數(shù)f(x)的最小正周期為4，作出函數(shù)f(x)與ylog5|x|的部分圖象如圖所示，根據(jù)圖象易知，函數(shù)yf(x)與ylog5|x|的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)yf(x)log5|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是5答案 59設(shè)a>0且a1，函數(shù)ya2x2ax1在1，1上的最大值是14，則a的值為_(kāi)解析 令tax(a>0且a1)，則原函數(shù)化為y(t1)22(t>0)當(dāng)0<a<1時(shí)，x1，1，tax，此時(shí)f(t)在上為增函數(shù)所以f(t)maxf214所以16，所以a或a又因?yàn)閍>0，所以a當(dāng)a>1時(shí)，x1，1，tax，此時(shí)f(t)在上是增函數(shù)所以f(t)maxf(a)(a1)2214，解得a3(a5舍去)綜上得a或3答案 或310(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考信息卷(五)已知函數(shù)f(x)(xR)，g(x)滿(mǎn)足g(2x)g(x)0若函數(shù)f(x1)與函數(shù)g(x)的圖象恰好有2 019個(gè)交點(diǎn)，則這2 019個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為_(kāi)解析 由于f(x)f(x)0，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，從而函數(shù)f(x1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱(chēng)由函數(shù)g(x)滿(mǎn)足g(2x)g(x)0，可知g(x)的圖象也關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)F(x)g(x)f(x1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱(chēng)，從而這2 019個(gè)零點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱(chēng)，由于F(1)g(1)f(0)0，所以x1是F(x)的一個(gè)零點(diǎn)，其余2 018個(gè)零點(diǎn)首尾結(jié)合，兩兩關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱(chēng)，和為2 018，故所有這些零點(diǎn)之和為2 019，即函數(shù)f(x1)與函數(shù)g(x)的圖象的2 019個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2 019答案 2 01911已知函數(shù)f(x)x2，g(x)x1(1)若存在xR使f(x)<b·g(x)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)設(shè)F(x)f(x)mg(x)1mm2，且|F(x)|在0，1上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解 (1)xR，f(x)<bg(x)xR，x2bxb<0(b)24b>0b<0或b>4故b的取值范圍為(，0)(4，)(2)F(x)x2mx1m2，m24(1m2)5m24當(dāng)0，即m時(shí)，則必需m0當(dāng)>0，即m<或m>時(shí)，設(shè)方程F(x)0的根為x1，x2(x1<x2)若1，則x10，即m2；若0，則x20，即1m<綜上所述，m的取值范圍為1，02，)12(2019·南通市高三模擬)某賓館在裝修時(shí)，為了美觀，欲將客房的窗戶(hù)設(shè)計(jì)成半徑為1 m的圓形，并用四根木條將圓分成9個(gè)區(qū)域，其中四邊形ABCD為中心在圓心的矩形現(xiàn)計(jì)劃將矩形ABCD區(qū)域設(shè)計(jì)為可推拉的窗口(1)若窗口ABCD為正方形，且面積大于 m2(木條寬度忽略不計(jì))，求四根木條總長(zhǎng)的取值范圍；(2)若四根木條總長(zhǎng)為6 m，求窗口ABCD面積的最大值解 (1)當(dāng)ABCD為正方形時(shí)，四根木條的長(zhǎng)度相等，設(shè)一根木條長(zhǎng)為x m，則正方形的邊長(zhǎng)為2 m因?yàn)镾四邊形ABCD>，所以4x2>，即0<x<又四根木條將圓分成9個(gè)區(qū)域，所以x>，所以4<4x<2，即四根木條總長(zhǎng)的取值范圍為(4，2)(2)設(shè)AB所在木條長(zhǎng)為a m，BC所在木條長(zhǎng)為b m由條件知，2a2b6，即ab3因?yàn)閍，b(0，2)，所以b3a(0，2)，從而a，b(1，2)由于AB2，BC2，S矩形ABCD4··，因?yàn)?#183;，當(dāng)且僅當(dāng)ab(1，2)時(shí)，S矩形ABCD，所以窗口ABCD面積的最大值為 m213(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考(九)某公司研發(fā)了一款新型的洗衣液，其具有“強(qiáng)力去漬、快速去污”的效果研發(fā)人員通過(guò)多次試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)每投放a(1a4，aR)克洗衣液在一定量水的洗衣機(jī)中，它在水中釋放的濃度y(克/升)隨著時(shí)間x(分鐘)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為ya·f(x)，其中f(x)且當(dāng)水中洗衣液的濃度不低于16克/升時(shí)，才能夠起到有效去污的作用若多次投放，則某一時(shí)刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和(1)若一次投放4克的洗衣液，則有效去污時(shí)間可達(dá)幾分鐘？(2)如果第一次投放4克洗衣液，4分鐘后再投放4克洗衣液，寫(xiě)出第二次投放之后洗衣液在水中釋放的濃度y(克/升)與時(shí)間x(分鐘)的函數(shù)關(guān)系式，其中x表示第一次投放的時(shí)長(zhǎng)，并判斷接下來(lái)的4分鐘是否能夠持續(xù)有效去污解 (1)當(dāng)一次投放4克洗衣液，即a4時(shí)，y4·f(x)因?yàn)楫?dāng)水中洗衣液的濃度不低于16克/升時(shí)，才能夠起到有效去污的作用，所以當(dāng)0x4時(shí)，由8x16，解得x2，所以此時(shí)2x4；當(dāng)x>4時(shí)，由816，得x6，所以此時(shí)4<x6綜上可得2x6所以若一次投放4克洗衣液，有效去污時(shí)間可達(dá)4分鐘(2)由(1)得，當(dāng)4x8時(shí)，y88(x4)8(x3)；當(dāng)x>8時(shí)，y8816綜上，y當(dāng)4x8時(shí)，y8(x3)216，當(dāng)且僅當(dāng)x3時(shí)等號(hào)成立又16>16，所以接下來(lái)的4分鐘能夠有效去污14設(shè)函數(shù)fn(x)xnbxc(nN*，b，cR)(1)設(shè)n2，b1，c1，證明：fn(x)在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；(2)設(shè)n2，若對(duì)任意x1，x21，1，有|f2(x1)f2(x2)|4，求b的取值范圍解 (1)證明：b1，c1，n2時(shí)，fn(x)xnx1因?yàn)閒nfn(1)×1<0，所以fn(x)在內(nèi)存在零點(diǎn)又當(dāng)x時(shí)，fn(x)nxn11>0，所以fn(x)在上是單調(diào)遞增的，所以fn(x)在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)(2)當(dāng)n2時(shí)，f2(x)x2bxc對(duì)任意x1，x21，1都有|f2(x1)f2(x2)|4等價(jià)于f2(x)在1，1上的最大值與最小值之差M4據(jù)此分類(lèi)討論如下：當(dāng)>1，即|b|>2時(shí)，M|f2(1)f2(1)|2|b|>4，與題設(shè)矛盾當(dāng)1<0，即0<b2時(shí)，Mf2(1)f24恒成立當(dāng)01，即2b0時(shí)，Mf2(1)f24恒成立綜上可知，2b2- 14 -