第5節(jié)古典概型最新考綱1.理解古典概型及其概率計算公式；2.會計算一些隨機事件所包含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.知 識 梳 理1.基本事件的特點(1)任何兩個基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2.古典概型具有以下兩個特征的概率模型稱為古典的概率模型，簡稱古典概型.(1)試驗的所有可能結(jié)果只有有限個，每次試驗只出現(xiàn)其中的一個結(jié)果.(2)每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同.3.如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是；如果某個事件A包括的結(jié)果有m個，那么事件A的概率P(A).4.古典概型的概率公式P(A).常用結(jié)論與微點提醒1.古典概型中的基本事件都是互斥的，確定基本事件的方法主要有列舉法、列表法與樹狀圖法.2.概率的一般加法公式P(AB)P(A)P(B)P(AB)中，易忽視只有當AB，即A，B互斥時，P(AB)P(A)P(B)，此時P(AB)0.診 斷 自 測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“×”)(1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”.()(2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結(jié)果是等可能事件.()(3)從3，2，1，0，1，2中任取一數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同.()(4)利用古典概型的概率可求“在邊長為2的正方形內(nèi)任取一點，這點到正方形中心距離小于或等于1”的概率.()解析對于(1)，發(fā)芽與不發(fā)芽不一定是等可能，所以(1)不正確；對于(2)，三個事件不是等可能，其中“一正一反”應(yīng)包括正反與反正兩個基本事件，所以(2)不正確；對于(4)，應(yīng)利用幾何概型求概率，所以(4)不正確.答案(1)×(2)×(3)(4)×2.(教材習題改編)擲兩顆均勻的骰子，則點數(shù)之和為5的概率等于()A. B. C. D.解析所有基本事件的個數(shù)為6×636，點數(shù)之和為5的基本事件有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)共4個.故所求概率為P.答案B3.(2016·北京卷)從甲、乙等5名學生中隨機選出2人，則甲被選中的概率為()A. B. C. D.解析甲被選中的概率為P.答案B4.(2018·長沙模擬)在裝有相等數(shù)量的白球和黑球的口袋中放進一個白球，此時由這個口袋中取出一個白球的概率比原來由此口袋中取出一個白球的概率大，則口袋中原有小球的個數(shù)為()A.5 B.6 C.10 D.11解析設(shè)原來口袋中白球、黑球的個數(shù)分別為n個，依題意，解得n5.所以原來口袋中小球共有2n10個.答案C5. (2018·盤錦調(diào)研)在集合中任取一個元素，則所取元素恰好滿足方程cos x的概率是_.解析基本事件總數(shù)為10，滿足方程cos x的基本事件數(shù)為2，故所求概率為P.答案考點一簡單的古典概型的概率【例1】 (1)(2017·山東卷)從分別標有1，2，9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次，每次抽取1張，則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是()A. B. C. D.(2)(2018·沈陽模擬)將A，B，C，D這4名同學從左至右隨機地排成一排，則“A與B相鄰且A與C之間恰好有1名同學”的概率是()A. B. C. D.解析(1)由題意得，所求概率P.(2)A，B，C，D 4名同學排成一排有A24種排法.當A，C之間是B時，有2×24種排法，當A，C之間是D時，有2種排法，所以所求概率為.答案(1)C(2)B規(guī)律方法1.計算古典概型事件的概率可分三步：(1)計算基本事件總個數(shù)n；(2)計算事件A所包含的基本事件的個數(shù)m；(3)代入公式求出概率P.2.(1)用列舉法寫出所有基本事件時，可借助“樹狀圖”列舉，以便做到不重、不漏.(2)利用排列、組合計算基本事件時，一定要分清是否有序，并重視兩個計數(shù)原理的靈活應(yīng)用.【訓練1】 (1)(2018·湖南衡陽八中、長郡中學等十三校二模)同學聚會上，某同學從愛你一萬年十年父親單身情歌四首歌中選出兩首歌進行表演，則愛你一萬年未被選取的概率為()A. B. C. D.(2)(2018·昆明診斷)從集合A2，1，2中隨機抽取一個數(shù)記為a，從集合B1，1，3中隨機抽取一個數(shù)記為b，則直線axyb0不經(jīng)過第四象限的概率為()A. B. C. D.解析(1)從四首歌中任選兩首共有C6種選法，不選取愛你一萬年的方法有C3種，故所求的概率為P.(2)(a，b)所有可能的結(jié)果為(2，1)，(2，1)，(2，3)，(1，1)，(1，1)，(1，3)，(2，1)，(2，1)，(2，3)，共9種.由axyb0得yaxb，當時，直線不經(jīng)過第四象限，符合條件的(a，b)的結(jié)果為(2，1)，(2，3)，共2種，直線axyb0不經(jīng)過第四象限的概率P.答案(1)B(2)A考點二復雜的古典概型的概率(典例遷移)【例2】 (經(jīng)典母題)某市A，B兩所中學的學生組隊參加辯論賽，A中學推薦了3名男生、2名女生，B中學推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學生一起參加集訓.由于集訓后隊員水平相當，從參加集訓的男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人組成代表隊.(1)求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率；(2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，求參賽女生人數(shù)不少于2人的概率.解(1)由題意，參加集訓的男、女生各有6名.參賽學生全從B中學抽取(等價于A中學沒有學生入選代表隊)的概率為，因此，A中學至少有1名學生入選代表隊的概率為1.(2)設(shè)“參賽的4人中女生不少于2人”為事件A，記“參賽女生有2人”為事件B，“參賽女生有3人”為事件C.則P(B)，P(C).由互斥事件的概率加法公式，得P(A)P(B)P(C)，故所求事件的概率為.【遷移探究1】 求A中學至多有1人入選代表隊的概率.解設(shè)“A中學至多有1人入選代表隊”為事件A，“A中學無人入選代表隊”為事件B，“A中學有1人入選代表隊”為事件C，則P(B)，P(C)，由互斥事件的概率加法公式得P(A)P(B)P(C)，故所求事件的概率為.【遷移探究2】 求B中學入選代表隊的女生人數(shù)多于男生人數(shù)的概率.解設(shè)“B中學入選代表隊的女生人數(shù)多于男生人數(shù)”為事件A，則P(A)，即B中學入選代表隊的女生人數(shù)多于男生人數(shù)的概率為.規(guī)律方法1.求較復雜事件的概率問題，解題關(guān)鍵是理解題目的實際含義，把實際問題轉(zhuǎn)化為概率模型，必要時將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥事件的和，或者先求其對立事件的概率，進而再用互斥事件的概率加法公式或?qū)α⑹录母怕使角蠼?2.注意區(qū)別排列與組合，以及計數(shù)原理的正確使用.【訓練2】 (1)(2018·亳州模擬)已知集合M1，2，3，4，N(a，b)|a，bM，A是集合N中任意一點，O為坐標原點，則直線OA與yx21有交點的概率是()A. B. C. D.(2)(2018·蘭州模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，O是AC與BD的交點，P，Q，M，N分別是線段OA，OB，OC，OD的中點.在A，P，M，C中任取一點記為E，在B，Q，N，D中任取一點記為F.設(shè)G為滿足向量的點，則在上述的點G組成的集合中的點，落在平行四邊形ABCD外(不含邊界)的概率為_.解析(1)設(shè)A(a，b)，則直線OA的方程為yx，由得x2x10，由題意得40，即b2a或b2a，由于點A的坐標可能取到的所有情況有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16種，其中滿足b2a或b2a的情況有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，共4種，故所求的概率為P.(2)易知基本事件的總數(shù)是4×416，在中，當，時，點G在平行四邊形的邊界上，而其余情況的點G都在平行四邊形外，故所求的概率是1.答案(1)C(2)考點三古典概型與統(tǒng)計知識的交匯問題【例3】 (2018·黃岡質(zhì)檢)已知某中學高三理科班學生的數(shù)學與物理的水平測試成績抽樣統(tǒng)計如下表：若抽取學生n人，成績分為A(優(yōu)秀)，B(良好)，C(及格)三個等級，設(shè)x，y分別表示數(shù)學成績與物理成績，例如：表中物理成績?yōu)锳等級的共有14401064(人)，數(shù)學成績?yōu)锽等級且物理成績?yōu)镃等級的共有8人.已知x與y均為A等級的概率是0.07.(1)設(shè)在該樣本中，數(shù)學成績的優(yōu)秀率是30%，求a，b的值；(2)已知a7，b6，求數(shù)學成績?yōu)锳等級的人數(shù)比C等級的人數(shù)多的概率.解(1)由題意知0.07，解得n200，×100%30%，解得a18，易知ab30，所以b12.(2)由14a28>10b34得a>b2，又ab30且a7，b6，則(a，b)的所有可能結(jié)果為(7，23)，(8，22)，(9，21)，(24，6)，共18種，而a>b2的可能結(jié)果為(17，13)，(18，12)，(24，6)，共8種，則所求概率P.規(guī)律方法求解古典概型與統(tǒng)計交匯問題的思路(1)依據(jù)題目的直接描述或頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等統(tǒng)計圖表給出的信息，提煉需要的信息.(2)進行統(tǒng)計與古典概型概率的正確計算.【訓練3】 從某地高中男生中隨機抽取100名同學，將他們的體重(單位：kg)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).由圖中數(shù)據(jù)可知體重的平均值為_kg；若要從體重在60，70)，70，80)，80，90三組內(nèi)的男生中，用分層抽樣的方法選取12人參加一項活動，再從這12個人中選兩人當正副隊長，則這兩人體重不在同一組內(nèi)的概率為_.解析由頻率分布直方圖可知，體重在40，50)內(nèi)的男生人數(shù)為0.005×10×1005，同理，體重在50，60)，60，70)，70，80)，80，90內(nèi)的人數(shù)分別為35，30，20，10，所以體重的平均值為64.5.利用分層抽樣的方法選取12人，則從體重在60，70)，70，80)，80，90三組內(nèi)選取的人數(shù)分別為12×6，12×4，12×2，則兩人體重不在同一組內(nèi)的概率為.答案64.5基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1.集合A2，3，B1，2，3，從A，B中各任意取一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是()A. B. C. D.解析從A，B中任意取一個數(shù)，共有C·C6種情形，兩數(shù)和等于4的情形只有(2，2)，(3，1)兩種，P.答案C2.(2018·淮南一模)從1，2，3，4，5這五個數(shù)中，隨機抽取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)的和為偶數(shù)的概率是()A. B. C. D.解析從1，2，3，4，5這五個數(shù)中隨機抽取2個不同的數(shù)有10種不同的情況，而這2個數(shù)的和為偶數(shù)，則2個數(shù)全為偶數(shù)，或2個數(shù)全為奇數(shù)，共有1C4(種)不同情況，由古典概型概率公式得所求概率P.答案B3.(2018·張家口期末)某同學先后投擲一枚骰子兩次，第一次向上的點數(shù)記為x，第二次向上的點數(shù)記為y，在平面直角坐標系xOy中，以(x，y)為坐標的點在直線2xy1上的概率為()A. B. C. D.解析先后投擲一枚骰子兩次，共有6×636種結(jié)果，滿足題意的結(jié)果有3種，即(1，1)，(2，3)，(3，5)，所以所求概率為.答案A4.(2018·鄭州模擬)一個三位自然數(shù)百位、十位、個位上的數(shù)字依次為a，b，c，當且僅當a>b，b<c時稱為“凹數(shù)”(如213，312等)，若a，b，c1，2，3，4，且a，b，c互不相同，則這個三位數(shù)是“凹數(shù)”的概率是()A. B. C. D.解析選出一個三位數(shù)有A24種情況，取出一個凹數(shù)有C×28種情況，所以，所求概率為P.答案C5.從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離小于該正方形邊長的概率為()A. B. C. D.解析從邊長為1的正方形的中心和頂點這五點中，隨機(等可能)取兩點，共有C10條線段，滿足該兩點間的距離小于1的有AO，BO，CO，DO共4條線段，則根據(jù)古典概型的概率公式可知隨機(等可能)取兩點，則該兩點間的距離小于1的概率P.答案B二、填空題6.(2018·赤峰模擬)小明忘記了微信登錄密碼的后兩位，只記得最后一位是字母A，a，B，b中的一個，另一位是數(shù)字4，5，6中的一個，則小明輸入一次密碼能夠成功登陸的概率是_.解析小明輸入密碼后兩位的所有情況有C·C12(種)，而能成功登陸的密碼只有一種，故小明輸入一次密碼能夠成功登陸的概率是.答案7.某校高三年級要從4名男生和2名女生中任選3名代表參加數(shù)學競賽(每人被選中的機會均等)，則男生甲和女生乙至少有一人被選中的概率是_.解析男生甲和女生乙至少有一人被選中的概率是1.答案8.(2016·上海卷)某食堂規(guī)定，每份午餐可以在四種水果中任選兩種，則甲、乙兩同學各自所選的兩種水果相同的概率為_.解析甲同學從四種水果中選兩種，選法種數(shù)有C，乙同學的選法種數(shù)為C，則兩同學的選法種數(shù)為C·C，兩同學各自所選水果相同的選法種數(shù)為C，由古典概型概率計算公式可得，甲、乙兩同學各自所選的兩種水果相同的概率為P.答案三、解答題9.海關(guān)對同時從A，B，C三個不同地區(qū)進口的某種商品進行抽樣檢測，從各地區(qū)進口此種商品的數(shù)量(單位：件)如表所示.工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進行檢測.地區(qū)ABC數(shù)量50150100(1)求這6件樣品中來自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量；(2)若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構(gòu)進行進一步檢測，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率.解(1)因為樣本容量與總體中的個體數(shù)的比是，所以樣本中包含三個地區(qū)的個體數(shù)量分別是：50×1，150×3，100×2.所以A，B，C三個地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別為1，3，2.(2)從6件樣品中抽取2件商品的基本事件數(shù)為C15，每個樣品被抽到的機會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.記事件D：“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”，則事件D包含的基本事件數(shù)為CC4，所以P(D).故這2件商品來自相同地區(qū)的概率為.10.袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時即終止.每個球在每一次被取出的機會是等可能的.(1)求袋中原有白球的個數(shù)；(2)求取球2次即終止的概率；(3)求甲取到白球的概率.解(1)設(shè)袋中原有n個白球，從袋中任取2個球都是白球的結(jié)果數(shù)為C，從袋中任取2個球的所有可能的結(jié)果數(shù)為C.由題意知從袋中任取2球都是白球的概率P，則n(n1)6，解得n3(舍去n2)，即袋中原有3個白球.(2)設(shè)事件A為“取球2次即終止”.即甲第一次取到的是黑球而乙取到的是白球，P(A).(3)設(shè)事件B為“甲取到白球”，“第i次取到白球”為事件Ai，i1，2，3，4，5，因為甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球.所以P(B)P(A1A3A5)P(A1)P(A3)P(A5).能力提升題組(建議用時：20分鐘)11.(2018·西安調(diào)研)安排甲、乙、丙、丁四人參加周一至周六的公益活動，每天只需一人參加，其中甲參加三天活動，乙、丙、丁每人參加一天，那么甲連續(xù)三天參加活動的概率為()A. B. C. D.解析由題意，甲連續(xù)三天參加活動的所有情況為：第13天，第24天，第35天，第46天，共4種.故所求事件的概率P.答案B12.用兩種不同的顏色給圖中三個矩形隨機涂色，每個矩形只涂一種顏色，則相鄰兩個矩形涂不同顏色的概率是_.解析根據(jù)題意，每個矩形只涂一種顏色的涂色方案共有238種，要使3個矩形中相鄰矩形顏色不同，則位于兩端的兩個矩形必須顏色相同，從而有C2種，故滿足題意的概率P.答案13.(2018·濟寧模擬)某中學組織了一次數(shù)學學業(yè)水平模擬測試，學校從測試合格的男、女生各隨機抽取100人的成績進行統(tǒng)計分析，分別制成了如圖所示的男生和女生數(shù)學成績的頻率分布直方圖.(注：分組區(qū)間為60，70)，70，80)，80，90)，90，100)(1)若得分大于或等于80認定為優(yōu)秀，則男、女生的優(yōu)秀人數(shù)各為多少？(2)在(1)中所述的優(yōu)秀學生中用分層抽樣的方法抽取5人，從這5人中任意選取2人，求至少有一名男生的概率.解(1)由題可得，男生優(yōu)秀人數(shù)為100×(0.010.02)×1030，女生優(yōu)秀人數(shù)為100×(0.0150.03)×1045.(2)因為樣本容量與總體中的個體數(shù)的比是，所以樣本中包含的男生人數(shù)為30×2，女生人數(shù)為45×3.則從5人中任意選取2人共有C10種，抽取的2人中沒有一名男生有C3(種)，則至少有一名男生有CC7(種).故至少有一名男生的概率為P，即選取的2人中至少有一名男生的概率為.12