(全國通用版)2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)(二)學(xué)案 新人教A版選修2-2
1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)(二)學(xué)習(xí)目標1.會利用導(dǎo)數(shù)證明一些簡單的不等式問題.2.掌握利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)的單調(diào)性的基本方法1函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負的關(guān)系定義在區(qū)間(a,b)內(nèi)的函數(shù)yf(x):f(x)的正負f(x)的單調(diào)性f(x)>0單調(diào)遞增f(x)<0單調(diào)遞減特別提醒:若在某區(qū)間上有有限個點使f(x)0,其余的點恒有f(x)>0,則f(x)仍為增函數(shù)(減函數(shù)的情形完全類似)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x(a,b)都有f(x)0且在(a,b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f(x)不恒為0.2函數(shù)圖象的變化趨勢與導(dǎo)數(shù)值大小的關(guān)系一般地,設(shè)函數(shù)yf(x),在區(qū)間(a,b)上導(dǎo)數(shù)的絕對值函數(shù)值變化函數(shù)的圖象越大快比較“陡峭”(向上或向下)越小慢比較“平緩”(向上或向下)3.利用導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)性問題需要注意的問題(1)定義域優(yōu)先的原則:解決問題的過程只能在定義域內(nèi),通過討論導(dǎo)數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(2)注意“臨界點”和“間斷點”:在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時,除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于零的點外,還要注意在定義域內(nèi)的間斷點(3)如果一個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個,這些單調(diào)區(qū)間之間不能用“”連接,而只能用“逗號”或“和”字等隔開1如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f(x)0,則f(x)在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性()2函數(shù)在某區(qū)間上變化越快,函數(shù)在這個區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)的絕對值越大()類型一利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍例1若函數(shù)f(x)kxln x在區(qū)間(1,)上單調(diào)遞增,則k的取值范圍是_考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)答案1,)解析由于f(x)k,f(x)kxln x在區(qū)間(1,)上單調(diào)遞增,等價于f(x)k0在(1,)上恒成立由于k,而0<<1,所以k1.即k的取值范圍為1,)引申探究1若將本例中條件遞增改為遞減,求k的取值范圍解f(x)k,又f(x)在(1,)上單調(diào)遞減,f(x)k0在(1,)上恒成立,即k,0<<1,k0.即k的取值范圍為(,02若將本例中條件遞增改為不單調(diào),求k的取值范圍解f(x)kxln x的定義域為(0,),f(x)k.當k0時,f(x)<0.f(x)在(0,)上單調(diào)遞減,故不合題意當k>0時,令f(x)0,得x,只需(1,),即>1,則0<k<1.k的取值范圍是(0,1)反思與感悟(1)利用導(dǎo)數(shù)法解決取值范圍問題的兩個基本思路將問題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題,即f(x)0(或f(x)0)恒成立,利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍,然后檢驗參數(shù)取“”時是否滿足題意;先令f(x)>0(或f(x)<0),求出參數(shù)的取值范圍后,再驗證參數(shù)取“”時f(x)是否滿足題意(2)恒成立問題的重要思路mf(x)恒成立mf(x)max;mf(x)恒成立mf(x)min.跟蹤訓(xùn)練1若函數(shù)f(x)x3ax2(a1)x1在區(qū)間(1,4)上單調(diào)遞減,在(6,)上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)解方法一(直接法)f(x)x2axa1,令f(x)0,得x1或xa1.當a11,即a2時,函數(shù)f(x)在(1,)上單調(diào)遞增,不合題意當a1>1,即a>2時,函數(shù)f(x)在(,1)和(a1,)上單調(diào)遞增,在(1,a1)上單調(diào)遞減,由題意知(1,4)(1,a1)且(6,)(a1,),所以4a16,即5a7.故實數(shù)a的取值范圍為5,7方法二(數(shù)形結(jié)合法)如圖所示,f(x)(x1)x(a1)因為在(1,4)內(nèi),f(x)0,在(6,)內(nèi)f(x)0,且f(x)0有一根為1,所以另一根在4,6上所以即所以5a7.故實數(shù)a的取值范圍為5,7方法三(轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題)f(x)x2axa1.因為f(x)在(1,4)上單調(diào)遞減,所以f(x)0在(1,4)上恒成立即a(x1)x21在(1,4)上恒成立,所以ax1,因為2<x1<5,所以當a5時,f(x)0在(1,4)上恒成立,又因為f(x)在(6,)上單調(diào)遞增,所以f(x)0在(6,)上恒成立,所以ax1,因為x1>7,所以當a7時,f(x)0在(6,)上恒成立綜上知5a7.故實數(shù)a的取值范圍為5,7類型二證明不等式例2證明exx1sin x1(x0)考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點利用導(dǎo)數(shù)證明不等式證明令f(x)exx1(x0),則f(x)ex10,f(x)在0,)上單調(diào)遞增,對任意x0,),有f(x)f(0),而f(0)0,f(x)0,即exx1,令g(x)xsin x(x0),g(x)1cos x0,g(x)g(0),即xsin x0,x1sin x1(x0),綜上,exx1sin x1.反思與感悟用導(dǎo)數(shù)證明不等式f(x)>g(x)的一般步驟(1)構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x),xa,b(2)證明F(x)f(x)g(x)0,且F(a)>0.(3)依(2)知函數(shù)F(x)f(x)g(x)在a,b上是單調(diào)遞增函數(shù),故f(x)g(x)>0,即f(x)>g(x)這是因為F(x)為單調(diào)遞增函數(shù),所以F(x)F(a)>0,即f(x)g(x)f(a)g(a)>0.跟蹤訓(xùn)練2已知x>0,證明不等式ln(1x)>xx2成立考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點利用導(dǎo)數(shù)證明不等式證明設(shè)f(x)ln(1x)xx2,則f(x)1x.當x>1時,f(x)>0,則f(x)在(1,)內(nèi)是增函數(shù)當x>0時,f(x)>f(0)0.當x>0時,不等式ln(1x)>xx2成立.1已知命題p:對任意x(a,b),有f(x)>0,q:f(x)在(a,b)內(nèi)是單調(diào)遞增的,則p是q的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件考點函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系題點利用導(dǎo)數(shù)值的正負號判定函數(shù)的單調(diào)性答案A2已知對任意實數(shù)x,都有f(x)f(x),g(x)g(x),且當x>0時,f(x)>0,g(x)>0,則當x<0時()Af(x)>0,g(x)>0 Bf(x)>0,g(x)<0Cf(x)<0,g(x)>0 Df(x)<0,g(x)<0考點函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系題點利用導(dǎo)數(shù)值的正負號判定函數(shù)的單調(diào)性答案B解析由題意知,f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù)當x>0時,f(x),g(x)都單調(diào)遞增,則當x<0時,f(x)單調(diào)遞增,g(x)單調(diào)遞減,即f(x)>0,g(x)<0.3已知函數(shù)f(x)x312x,若f(x)在區(qū)間(2m,m1)上單調(diào)遞減,則實數(shù)m的取值范圍是_考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)答案1,1)解析f(x)0,即3x2120,得2x2.f(x)的減區(qū)間為2,2,由題意得(2m,m1)2,2,得1m<1.4函數(shù)yaxln x在上單調(diào)遞增,則a的取值范圍為_考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)答案2,)解析ya,由題意知,當x時,y0,即a在上恒成立,由x得,<2,a2.5證明方程xsin x0只有一個實根,并試求出這個實根考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點利用導(dǎo)數(shù)證明不等式解令f(x)xsin x,x(,),則f(x)1cos x>0,所以f(x)在(,)上為單調(diào)遞增函數(shù),其圖象若穿越x軸,則只有一次穿越的機會,顯然x0時,f(x)0.所以方程xsin x0有唯一的實根x0.利用導(dǎo)數(shù)法解決取值范圍問題的兩個基本思路(1)將問題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題,即f(x)0(或f(x)0)恒成立,利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍,然后檢驗參數(shù)取“”時是否滿足題意;(2)先令f(x)>0(或f(x)<0),求出參數(shù)的取值范圍后,再驗證參數(shù)取“”時,f(x)是否滿足題意.一、選擇題1函數(shù)yx42x25的單調(diào)遞減區(qū)間為()A(,1)和(0,1)B1,0和1,)C1,1D(,1和1,)考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間答案A解析y4x34x,令y<0,即4x34x<0,解得x<1或0<x<1,所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(,1)和(0,1),故選A.2若f(x),e<a<b,則()Af(a)>f(b) Bf(a)f(b)Cf(a)<f(b) Df(a)f(b)>1考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點比較函數(shù)值的大小答案A解析由f(x)<0,解得x>e,f(x)在(e,)上為減函數(shù),e<a<b,f(a)>f(b)3若函數(shù)f(x)2x2ln x在定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(k1,k1)上不是單調(diào)函數(shù),則實數(shù)k的取值范圍是()A. B. C(1,2 D1,2)考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)答案A解析顯然函數(shù)f(x)的定義域為(0,),f(x)4x.由f(x)0,得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為;由f(x)0,得函數(shù)f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為.因為函數(shù)在區(qū)間(k1,k1)上不是單調(diào)函數(shù),所以k1k1,解得k,又因為(k1,k1)為定義域內(nèi)的一個子區(qū)間,所以k10,即k1.綜上可知,1k.4若a>0,且f(x)x3ax在1,)上是增函數(shù),則a的取值范圍是()A(0,3) B(0,3C(3,) D3,)考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)答案B解析由題意得,f(x)3x2a0在x1,)上恒成立,即a(3x2)min3,又a>0,0<a3.5若函數(shù)ya(x3x)在上單調(diào)遞減,則a的取值范圍是()A(0,) B(1,0)C(1,) D(0,1)考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)答案A解析ya(3x21)3a·,當<x<時,<0,要使ya(x3x)在上單調(diào)遞減,只需y<0,即a>0.6設(shè)f(x),g(x)在a,b上可導(dǎo),且f(x)>g(x),則當a<x<b時,有()Af(x)>g(x)Bf(x)<g(x)Cf(x)g(a)>g(x)f(a)Df(x)g(b)>g(x)f(b)考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點構(gòu)造法的應(yīng)用答案C解析設(shè)h(x)f(x)g(x),f(x)g(x)>0,h(x)>0,h(x)在a,b上是增函數(shù),當a<x<b時,h(x)>h(a),f(x)g(x)>f(a)g(a),即f(x)g(a)>g(x)f(a)二、填空題7若ysin xax在R上是增函數(shù),則a的取值范圍是_考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)答案1,)解析因為ycos xa0,所以acos x對xR恒成立所以a1.8若函數(shù)yax3ax22ax(a0)在1,2上為增函數(shù),則a的取值范圍是_考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)答案(,0)解析yax2ax2aa(x1)(x2)>0,當x(1,2)時,(x1)(x2)<0,a<0.9若函數(shù)yx3ax有三個單調(diào)區(qū)間,則a的取值范圍是_考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)答案(0,)解析y4x2a,且y有三個單調(diào)區(qū)間,方程y4x2a0有兩個不等的實根,024×(4)×a>0,a>0.10若函數(shù)f(x)x2bln(x2)在(1,)上是減函數(shù),則b的取值范圍是_考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)答案(,1解析f(x)x,由題意知f(x)x0在(1,)上恒成立,即x在(1,)上恒成立,x>1,x2>1>0,bx(x2),設(shè)yx(x2),則yx22x(x1)21,x>1,y>1,要使bx(x2)成立,則有b1.11若f(x)(xR)在區(qū)間1,1上是增函數(shù),則a的取值范圍是_考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)答案1,1解析f(x)2·,f(x)在1,1上是增函數(shù),f(x)2·0.(x22)2>0,x2ax20對x1,1恒成立令g(x)x2ax2,則即1a1.即a的取值范圍是1,1三、解答題12已知函數(shù)f(x)ax2ln(x1)(1)當a時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間1,)上為減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)解(1)當a時,f(x)x2ln(x1)(x>1),f(x)x(x>1)當f(x)>0時,解得1<x<1;當f(x)<0時,解得x>1.故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(1,)(2)因為函數(shù)f(x)在區(qū)間1,)上為減函數(shù),所以f(x)2ax0對任意x1,)恒成立,即a對任意x1,)恒成立令g(x),易求得在區(qū)間1,)上g(x)>0,故g(x)在區(qū)間1,)上單調(diào)遞增,故ming(1),故a.即實數(shù)a的取值范圍為.13已知函數(shù)f(x)ln x.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)證明:當x>1時,f(x)<x1.考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點利用導(dǎo)數(shù)證明不等式(1)解f(x)x1,x(0,)由f(x)>0,得解得0<x<.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是.(2)證明令F(x)f(x)(x1),x(1,)則F(x).當x(1,)時,F(xiàn)(x)<0,所以F(x)在(1,)上單調(diào)遞減,故當x>1時,F(xiàn)(x)<F(1)0,即當x>1時,f(x)<x1.四、探究與拓展14設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)f(x)(xR)的導(dǎo)函數(shù),f(1)0,當x>0時,xf(x)f(x)<0,則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是_考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點構(gòu)造法的應(yīng)用答案(,1)(0,1)解析因為f(x)(xR)為奇函數(shù),f(1)0,所以f(1)f(1)0.當x0時,令g(x),則g(x)為偶函數(shù),且g(1)g(1)0.則當x>0時,g(x)<0,故g(x)在(0,)上為減函數(shù),在(,0)上為增函數(shù)所以在(0,)上,當0<x<1時,g(x)>g(1)0>0f(x)>0;在(,0)上,當x<1時,g(x)<g(1)0<0f(x)>0.綜上,使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(,1)(0,1)15設(shè)函數(shù)f(x)xekx(k0)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)上單調(diào)遞增,求k的取值范圍考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)解(1)由f(x)(1kx)ekx0,得x(k0)若k>0,則當x時,f(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當x時,f(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增若k<0,則當x時,f(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當x時,f(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減綜上,k>0時,f(x)的增區(qū)間為,減區(qū)間為,k<0時,f(x)的增區(qū)間為,減區(qū)間為.(2)由(1)知,若k>0,則當且僅當1,即0<k1時,函數(shù)f(x)在(1,1)上單調(diào)遞增;若k<0,則當且僅當1,即1k<0時,函數(shù)f(x)在(1,1)上單調(diào)遞增綜上可知,函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)上單調(diào)遞增時,k的取值范圍是1,0)(0,114