1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)(二)學(xué)習(xí)目標1.會利用導(dǎo)數(shù)證明一些簡單的不等式問題.2.掌握利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)的單調(diào)性的基本方法1函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負的關(guān)系定義在區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)yf(x)：f(x)的正負f(x)的單調(diào)性f(x)>0單調(diào)遞增f(x)<0單調(diào)遞減特別提醒：若在某區(qū)間上有有限個點使f(x)0，其余的點恒有f(x)>0，則f(x)仍為增函數(shù)(減函數(shù)的情形完全類似)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f(x)不恒為0.2函數(shù)圖象的變化趨勢與導(dǎo)數(shù)值大小的關(guān)系一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)，在區(qū)間(a，b)上導(dǎo)數(shù)的絕對值函數(shù)值變化函數(shù)的圖象越大快比較“陡峭”(向上或向下)越小慢比較“平緩”(向上或向下)3.利用導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)性問題需要注意的問題(1)定義域優(yōu)先的原則：解決問題的過程只能在定義域內(nèi)，通過討論導(dǎo)數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(2)注意“臨界點”和“間斷點”：在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時，除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于零的點外，還要注意在定義域內(nèi)的間斷點(3)如果一個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個，這些單調(diào)區(qū)間之間不能用“”連接，而只能用“逗號”或“和”字等隔開1如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f(x)0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性()2函數(shù)在某區(qū)間上變化越快，函數(shù)在這個區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)的絕對值越大()類型一利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍例1若函數(shù)f(x)kxln x在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是_考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)答案1，)解析由于f(x)k，f(x)kxln x在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增，等價于f(x)k0在(1，)上恒成立由于k，而0<<1，所以k1.即k的取值范圍為1，)引申探究1若將本例中條件遞增改為遞減，求k的取值范圍解f(x)k，又f(x)在(1，)上單調(diào)遞減，f(x)k0在(1，)上恒成立，即k，0<<1，k0.即k的取值范圍為(，02若將本例中條件遞增改為不單調(diào)，求k的取值范圍解f(x)kxln x的定義域為(0，)，f(x)k.當k0時，f(x)<0.f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，故不合題意當k>0時，令f(x)0，得x，只需(1，)，即>1，則0<k<1.k的取值范圍是(0,1)反思與感悟(1)利用導(dǎo)數(shù)法解決取值范圍問題的兩個基本思路將問題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題，即f(x)0(或f(x)0)恒成立，利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍，然后檢驗參數(shù)取“”時是否滿足題意；先令f(x)>0(或f(x)<0)，求出參數(shù)的取值范圍后，再驗證參數(shù)取“”時f(x)是否滿足題意(2)恒成立問題的重要思路mf(x)恒成立mf(x)max；mf(x)恒成立mf(x)min.跟蹤訓(xùn)練1若函數(shù)f(x)x3ax2(a1)x1在區(qū)間(1,4)上單調(diào)遞減，在(6，)上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)解方法一(直接法)f(x)x2axa1，令f(x)0，得x1或xa1.當a11，即a2時，函數(shù)f(x)在(1，)上單調(diào)遞增，不合題意當a1>1，即a>2時，函數(shù)f(x)在(，1)和(a1，)上單調(diào)遞增，在(1，a1)上單調(diào)遞減，由題意知(1,4)(1，a1)且(6，)(a1，)，所以4a16，即5a7.故實數(shù)a的取值范圍為5,7方法二(數(shù)形結(jié)合法)如圖所示，f(x)(x1)x(a1)因為在(1,4)內(nèi)，f(x)0，在(6，)內(nèi)f(x)0，且f(x)0有一根為1，所以另一根在4,6上所以即所以5a7.故實數(shù)a的取值范圍為5,7方法三(轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題)f(x)x2axa1.因為f(x)在(1,4)上單調(diào)遞減，所以f(x)0在(1,4)上恒成立即a(x1)x21在(1,4)上恒成立，所以ax1，因為2<x1<5，所以當a5時，f(x)0在(1,4)上恒成立，又因為f(x)在(6，)上單調(diào)遞增，所以f(x)0在(6，)上恒成立，所以ax1，因為x1>7，所以當a7時，f(x)0在(6，)上恒成立綜上知5a7.故實數(shù)a的取值范圍為5,7類型二證明不等式例2證明exx1sin x1(x0)考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點利用導(dǎo)數(shù)證明不等式證明令f(x)exx1(x0)，則f(x)ex10，f(x)在0，)上單調(diào)遞增，對任意x0，)，有f(x)f(0)，而f(0)0，f(x)0，即exx1，令g(x)xsin x(x0)，g(x)1cos x0，g(x)g(0)，即xsin x0，x1sin x1(x0)，綜上，exx1sin x1.反思與感悟用導(dǎo)數(shù)證明不等式f(x)>g(x)的一般步驟(1)構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)，xa，b(2)證明F(x)f(x)g(x)0，且F(a)>0.(3)依(2)知函數(shù)F(x)f(x)g(x)在a，b上是單調(diào)遞增函數(shù)，故f(x)g(x)>0，即f(x)>g(x)這是因為F(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以F(x)F(a)>0，即f(x)g(x)f(a)g(a)>0.跟蹤訓(xùn)練2已知x>0，證明不等式ln(1x)>xx2成立考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點利用導(dǎo)數(shù)證明不等式證明設(shè)f(x)ln(1x)xx2，則f(x)1x.當x>1時，f(x)>0，則f(x)在(1，)內(nèi)是增函數(shù)當x>0時，f(x)>f(0)0.當x>0時，不等式ln(1x)>xx2成立.1已知命題p：對任意x(a，b)，有f(x)>0，q：f(x)在(a，b)內(nèi)是單調(diào)遞增的，則p是q的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件考點函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系題點利用導(dǎo)數(shù)值的正負號判定函數(shù)的單調(diào)性答案A2已知對任意實數(shù)x，都有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且當x>0時，f(x)>0，g(x)>0，則當x<0時()Af(x)>0，g(x)>0 Bf(x)>0，g(x)<0Cf(x)<0，g(x)>0 Df(x)<0，g(x)<0考點函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系題點利用導(dǎo)數(shù)值的正負號判定函數(shù)的單調(diào)性答案B解析由題意知，f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)當x>0時，f(x)，g(x)都單調(diào)遞增，則當x<0時，f(x)單調(diào)遞增，g(x)單調(diào)遞減，即f(x)>0，g(x)<0.3已知函數(shù)f(x)x312x，若f(x)在區(qū)間(2m，m1)上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的取值范圍是_考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)答案1,1)解析f(x)0，即3x2120，得2x2.f(x)的減區(qū)間為2,2，由題意得(2m，m1)2,2，得1m<1.4函數(shù)yaxln x在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為_考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)答案2，)解析ya，由題意知，當x時，y0，即a在上恒成立，由x得，<2，a2.5證明方程xsin x0只有一個實根，并試求出這個實根考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點利用導(dǎo)數(shù)證明不等式解令f(x)xsin x，x(，)，則f(x)1cos x>0，所以f(x)在(，)上為單調(diào)遞增函數(shù)，其圖象若穿越x軸，則只有一次穿越的機會，顯然x0時，f(x)0.所以方程xsin x0有唯一的實根x0.利用導(dǎo)數(shù)法解決取值范圍問題的兩個基本思路(1)將問題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題，即f(x)0(或f(x)0)恒成立，利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍，然后檢驗參數(shù)取“”時是否滿足題意；(2)先令f(x)>0(或f(x)<0)，求出參數(shù)的取值范圍后，再驗證參數(shù)取“”時，f(x)是否滿足題意.一、選擇題1函數(shù)yx42x25的單調(diào)遞減區(qū)間為()A(，1)和(0,1)B1,0和1，)C1,1D(，1和1，)考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間答案A解析y4x34x，令y<0，即4x34x<0，解得x<1或0<x<1，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，1)和(0,1)，故選A.2若f(x)，e<a<b，則()Af(a)>f(b) Bf(a)f(b)Cf(a)<f(b) Df(a)f(b)>1考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點比較函數(shù)值的大小答案A解析由f(x)<0，解得x>e，f(x)在(e，)上為減函數(shù)，e<a<b，f(a)>f(b)3若函數(shù)f(x)2x2ln x在定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(k1，k1)上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是()A. B. C(1,2 D1,2)考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)答案A解析顯然函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，f(x)4x.由f(x)0，得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為；由f(x)0，得函數(shù)f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為.因為函數(shù)在區(qū)間(k1，k1)上不是單調(diào)函數(shù)，所以k1k1，解得k，又因為(k1，k1)為定義域內(nèi)的一個子區(qū)間，所以k10，即k1.綜上可知，1k.4若a>0，且f(x)x3ax在1，)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是()A(0,3) B(0,3C(3，) D3，)考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)答案B解析由題意得，f(x)3x2a0在x1，)上恒成立，即a(3x2)min3，又a>0，0<a3.5若函數(shù)ya(x3x)在上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是()A(0，) B(1,0)C(1，) D(0,1)考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)答案A解析ya(3x21)3a·，當<x<時，<0，要使ya(x3x)在上單調(diào)遞減，只需y<0，即a>0.6設(shè)f(x)，g(x)在a，b上可導(dǎo)，且f(x)>g(x)，則當a<x<b時，有()Af(x)>g(x)Bf(x)<g(x)Cf(x)g(a)>g(x)f(a)Df(x)g(b)>g(x)f(b)考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點構(gòu)造法的應(yīng)用答案C解析設(shè)h(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)>0，h(x)>0，h(x)在a，b上是增函數(shù)，當a<x<b時，h(x)>h(a)，f(x)g(x)>f(a)g(a)，即f(x)g(a)>g(x)f(a)二、填空題7若ysin xax在R上是增函數(shù)，則a的取值范圍是_考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)答案1，)解析因為ycos xa0，所以acos x對xR恒成立所以a1.8若函數(shù)yax3ax22ax(a0)在1,2上為增函數(shù)，則a的取值范圍是_考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)答案(，0)解析yax2ax2aa(x1)(x2)>0，當x(1,2)時，(x1)(x2)<0，a<0.9若函數(shù)yx3ax有三個單調(diào)區(qū)間，則a的取值范圍是_考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)答案(0，)解析y4x2a，且y有三個單調(diào)區(qū)間，方程y4x2a0有兩個不等的實根，024×(4)×a>0，a>0.10若函數(shù)f(x)x2bln(x2)在(1，)上是減函數(shù)，則b的取值范圍是_考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)答案(，1解析f(x)x，由題意知f(x)x0在(1，)上恒成立，即x在(1，)上恒成立，x>1，x2>1>0，bx(x2)，設(shè)yx(x2)，則yx22x(x1)21，x>1，y>1，要使bx(x2)成立，則有b1.11若f(x)(xR)在區(qū)間1,1上是增函數(shù)，則a的取值范圍是_考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)答案1,1解析f(x)2·，f(x)在1,1上是增函數(shù)，f(x)2·0.(x22)2>0，x2ax20對x1,1恒成立令g(x)x2ax2，則即1a1.即a的取值范圍是1,1三、解答題12已知函數(shù)f(x)ax2ln(x1)(1)當a時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間1，)上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)解(1)當a時，f(x)x2ln(x1)(x>1)，f(x)x(x>1)當f(x)>0時，解得1<x<1；當f(x)<0時，解得x>1.故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1，)(2)因為函數(shù)f(x)在區(qū)間1，)上為減函數(shù)，所以f(x)2ax0對任意x1，)恒成立，即a對任意x1，)恒成立令g(x)，易求得在區(qū)間1，)上g(x)>0，故g(x)在區(qū)間1，)上單調(diào)遞增，故ming(1)，故a.即實數(shù)a的取值范圍為.13已知函數(shù)f(x)ln x.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)證明：當x>1時，f(x)<x1.考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點利用導(dǎo)數(shù)證明不等式(1)解f(x)x1，x(0，)由f(x)>0，得解得0<x<.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是.(2)證明令F(x)f(x)(x1)，x(1，)則F(x).當x(1，)時，F(xiàn)(x)<0，所以F(x)在(1，)上單調(diào)遞減，故當x>1時，F(xiàn)(x)<F(1)0，即當x>1時，f(x)<x1.四、探究與拓展14設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)f(x)(xR)的導(dǎo)函數(shù)，f(1)0，當x>0時，xf(x)f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是_考點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點構(gòu)造法的應(yīng)用答案(，1)(0,1)解析因為f(x)(xR)為奇函數(shù)，f(1)0，所以f(1)f(1)0.當x0時，令g(x)，則g(x)為偶函數(shù)，且g(1)g(1)0.則當x>0時，g(x)<0，故g(x)在(0，)上為減函數(shù)，在(，0)上為增函數(shù)所以在(0，)上，當0<x<1時，g(x)>g(1)0>0f(x)>0；在(，0)上，當x<1時，g(x)<g(1)0<0f(x)>0.綜上，使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(，1)(0,1)15設(shè)函數(shù)f(x)xekx(k0)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)上單調(diào)遞增，求k的取值范圍考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)解(1)由f(x)(1kx)ekx0，得x(k0)若k>0，則當x時，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當x時，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增若k<0，則當x時，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當x時，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減綜上，k>0時，f(x)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，k<0時，f(x)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.(2)由(1)知，若k>0，則當且僅當1，即0<k1時，函數(shù)f(x)在(1,1)上單調(diào)遞增；若k<0，則當且僅當1，即1k<0時，函數(shù)f(x)在(1,1)上單調(diào)遞增綜上可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)上單調(diào)遞增時，k的取值范圍是1,0)(0,114