第二章 不等式第一節(jié)不等關(guān)系與不等式1兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù)(1)ab0ab.(2)ab0ab.(3)ab0ab.2不等式的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：a>bb<a；(2)傳遞性：a>b，b>ca>c；(3)可加性：a>bac>bc；a>b，c>dac>bd；(4)可乘性：a>b，c>0ac>bc；a>b>0，c>d>0ac>bd；(5)可乘方：a>b>0an>bn(nN，n1)；(6)可開方：a>b>0 > (nN，n2)小題體驗(yàn)1(教材習(xí)題改編)用不等號(hào)“”或“”填空：(1)ab，cdac_bd；(2)ab0，c>d>0ac_bd；(3)ab0_.答案：(1)(2)>(3)2.，的大小關(guān)系為_答案：<3若0<a<b，c>0，則與的大小關(guān)系為_答案：>1在應(yīng)用傳遞性時(shí)，注意等號(hào)是否傳遞下去，如ab，b<ca<c.2在乘法法則中，要特別注意“乘數(shù)c的符號(hào)”，例如當(dāng)c0時(shí)，有a>bac2>bc2；若無(wú)c0這個(gè)條件，a>bac2>bc2就是錯(cuò)誤結(jié)論(當(dāng)c0時(shí)，取“”)小題糾偏1設(shè)a，b，cR，且a>b，則()Aac>bc B.< Ca2>b2 D. a3>b3答案：D2“a>b>0”是“<”的_條件答案：充分不必要題組練透1已知xR，m(x1)，n(x2x1)，則m，n的大小關(guān)系為()AmnBmnCmn Dmn答案：B2若a，b，則a_b(填“”或“”)解析：易知a，b都是正數(shù)，log891，所以ba.答案：3已知等比數(shù)列an中，a10，q0，前n項(xiàng)和為Sn，則與的大小關(guān)系為_解析：當(dāng)q1時(shí)，3，5，所以.當(dāng)q0且q1時(shí)，0，所以.綜上可知.答案：謹(jǐn)記通法比較兩實(shí)數(shù)(式)大小的2種常用方法作差法其基本步驟：作差，變形，判斷符號(hào)，得出結(jié)論用作差法比較大小的關(guān)鍵是判斷差的正負(fù)，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等變形方法作商法判斷商與1的大小關(guān)系，得出結(jié)論，要特別注意，當(dāng)商與1的大小確定后，必須對(duì)商式分子、分母的正負(fù)作出判斷，這是用作商法比較大小時(shí)最容易漏掉的關(guān)鍵步驟典例引領(lǐng)1已知a，b，c滿足c<b<a且ac<0，則下列選項(xiàng)中不一定能成立的是()A.<B.>0C.> D<0解析：選C由c<b<a且ac<0，有c<0，a>0，不一定能成立的是C.2(2018·嘉興模擬)若a，b為正實(shí)數(shù)，且a1，b1，則“a>b>1”是“l(fā)oga2<logb2”的()A充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A當(dāng)a>b>1時(shí)，loga2logb2<0，所以loga2<logb2.反之，取a，b2，loga2<logb2成立，但是a>b>1不成立故“a>b>1”是“l(fā)oga2<logb2”的充分不必要條件，選A.由題悟法不等式性質(zhì)應(yīng)用問(wèn)題的3大常見類型及解題策略(1)利用不等式性質(zhì)比較大小熟記不等式性質(zhì)的條件和結(jié)論是基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵，要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件(2)與充要條件相結(jié)合問(wèn)題用不等式的性質(zhì)分別判斷pq和qp是否正確，要注意特殊值法的應(yīng)用(3)與命題真假判斷相結(jié)合問(wèn)題解決此類問(wèn)題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法即時(shí)應(yīng)用1若0，則下列結(jié)論不正確的是()Aa2b2 B.abb2Cab0 D|a|b|ab|解析：選D0，ba0，b2a2，abb2，ab0，選項(xiàng)A、B、C均正確，ba0，|a|b|ab|，故D項(xiàng)錯(cuò)誤，故選D.2若a，b，c為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是()A若a>b，則ac2>bc2B若a<b<0，則a2>ab>b2C若a<b<0，則<D若a<b<0，則>解析：選BA選項(xiàng)需滿足c0；取a2，b1知選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤故選B.典例引領(lǐng)1(2018·嘉興期末)已知1<xy<4,2<xy<3，則3x2y的取值范圍是_解析：設(shè)3x2ym(xy)n(xy)(mn)x(mn)y，所以mn3，mn2，解得m，n，所以3x2y (xy)(xy)，由1<xy<4，得<(xy)<10，由2<xy<3，得1<(xy)<，上述不等式相加得<(xy)(xy)<，所以 <3x2y<.答案：2已知1lg xy4，1lg2，求lg的取值范圍解：由1lg xy4，1lg 2，得1lg xlg y4，1lg xlg y2，而lg2lg xlg y(lg xlg y)(lg xlg y)，所以1lg5，即lg 的取值范圍是1,5類題通法利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，但應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是必須嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì)；二是在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大了變量的取值范圍，解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，最后通過(guò)“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求解范圍即時(shí)應(yīng)用1若6a10，b2a，cab，則c的取值范圍是()A9,18B(15,30)C9,30 D(9,30)解析：選Db2a，ab3a，即c3a.6a10，9c30.故選D.2已知a>0，b>0，求證：ab22()證明：ab22()(1)2(1)20，所以ab22()一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1設(shè)a，b0，)，A，B，則A，B的大小關(guān)系是()AABBABCAB DAB解析：選B由題意得，B2A220，且A0，B0，可得AB.2若a<b<0，則下列不等式不能成立的是()A.> B.>C|a|>|b| Da2>b2解析：選A取a2，b1，則>不成立3(2018·杭州二中月考)a(ab)>0是<1成立的()A充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選C<11<0<0>0a(ab)>0，所以a(ab)>0是<1成立的充要條件，故選C.4(2018·金華模擬)設(shè)a，bR，若a|b|0，則下列不等式中正確的是()Aba0 B.a3b30Ca2b20 Dba0解析：選D利用賦值法，令a1，b0，排除A、B、C，選D.5b g糖水中有a g糖(ba0)，若再添m g糖(m0)，則糖水變甜了試根據(jù)這一事實(shí)，提煉出一個(gè)不等式_答案：二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1已知a1，a2(0,1)，記Ma1a2，Na1a21，則M與N的大小關(guān)系是()AM<N B.M >NCMN D不確定解析：選BMNa1a2(a1a21)a1a2a1a21(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a11<0，a21<0.(a11)(a21)>0，即MN>0.M >N.2若<<0，給出下列不等式：<；|a|b>0；a>b；ln a2>ln b2.其中正確的不等式的序號(hào)是()A B.C D解析：選C法一：因?yàn)?lt;<0，故可取a1，b2.顯然|a|b121<0，所以錯(cuò)誤；因?yàn)閘n a2ln(1)20，ln b2ln(2)2ln 4>0，所以錯(cuò)誤，綜上所述，可排除A、B、D，故選C.法二：由<<0，可知b<a<0.中，因?yàn)閍b<0，ab>0，所以<，故正確；中，因?yàn)閎<a<0，所以b>a>0，故b>|a|，即|a|b<0，故錯(cuò)誤；中，因?yàn)閎<a<0，又<<0，則>>0，所以a>b，故正確；中，因?yàn)閎<a<0，根據(jù)yx2在(，0)上為減函數(shù)，可得b2>a2>0，而yln x在定義域(0，)上為增函數(shù)，所以ln b2>ln a2，故錯(cuò)誤由以上分析，知正確。3(2018·寧波模擬)設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，則“a>b>1”是“a>b”的()A充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D既不充分又不必要條件解析：選A因?yàn)閍，若a>b>1，顯然a>0，則充分性成立，當(dāng)a，b時(shí)，顯然不等式a>b成立，但a>b>1不成立，所以必要性不成立4若m0，n0且mn0，則下列不等式中成立的是()Anmnm B.nmmnCmnmn Dmnnm解析：選D法一：(取特殊值法)令m3，n2分別代入各選項(xiàng)檢驗(yàn)即可法二：mn0mnnm，又由于m0n，故mnnm成立5設(shè)a<0，b<0，則p與qab的大小關(guān)系是()Ap>q B.pqCp<q Dpq解析：選Dpq(ab).因?yàn)閍<0，b<0，所以0，即pq，故選D.6a，bR，ab和同時(shí)成立的條件是_解析：若ab0，由ab兩邊同除以ab得，即；若ab0，則.ab和同時(shí)成立的條件是a0b.答案：a0b7已知1<x<4,2<y<3，則xy的取值范圍是_，3x2y的取值范圍是_解析：1<x<4,2<y<3，3<y<2，4<xy<2.由1<x<4,2<y<3，得3<3x<12,4<2y<6，1<3x2y<18.答案：(4,2)(1,18)8已知ab0，則與的大小關(guān)系是_解析：(ab)·.ab0，(ab)20，0.答案：9已知存在實(shí)數(shù)a滿足ab2>a>ab，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是_解析：ab2>a>ab，a0，當(dāng)a>0時(shí)，b2>1>b，即解得b<1；當(dāng)a<0時(shí)，b2<1<b，即此式無(wú)解綜上可得實(shí)數(shù)b的取值范圍為(，1)答案：(，1)10實(shí)數(shù)x，y滿足3xy28，求的取值范圍解：，49，216,81又3xy28.，2·2,27，故的取值范圍為2,27三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1(2018·合肥質(zhì)檢)已知ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足bc3a，則的取值范圍為()A(1，) B.(0,2)C(1,3) D(0,3)解析：選B由已知及三角形三邊關(guān)系得兩式相加得，0<2·<4，的取值范圍為(0,2)2設(shè)ab0，ma，則時(shí)，m滿足的條件是_解析：由得0，因?yàn)閍b0，所以0.即或m0或ma.即m滿足的條件是m0或ma.答案：m0或ma3設(shè)a1，a21.(1)證明：介于a1，a2之間；(2)求a1，a2中哪一個(gè)更接近.解：(1)證明：(a1)(a2)(a1)·<0.介于a1，a2之間(2)|a2|a1|<|a1|.a2比a1更接近.第二節(jié)一元二次不等式及其解法“三個(gè)二次”的關(guān)系判別式b24ac000二次函數(shù)yax2bxc (a0)的圖象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1x2)有兩相等實(shí)根x1x2沒(méi)有實(shí)數(shù)根一元二次不等式ax2bxc0 (a0)的解集x|x<x1或x>x2R一元二次不等式ax2bxc0 (a0)的解集x|x1xx2小題體驗(yàn)1設(shè)集合Ax|1<x<4，集合Bx|x22x30，則A(RB)等于()A(1,4)B(3,4)C(1,3) D(1,2)(3,4)解析：選B由題意得Bx|1x3，根據(jù)補(bǔ)集的定義，RBx|x<1或x>3，所以ARB(3,4)2(教材習(xí)題改編)不等式x22x30的解集為_答案：3不等式ax2abxb>0的解集為x|2<x<3，則a_，b_.解析：由題意知2,3是ax2abxb0的兩根，則得答案：51對(duì)于不等式ax2bxc>0，求解時(shí)不要忘記討論a0時(shí)的情形2當(dāng)<0時(shí)，ax2bxc>0(a0)的解集為R還是，要注意區(qū)別3含參數(shù)的不等式要注意選好分類標(biāo)準(zhǔn)，避免盲目討論小題糾偏1不等式0的解集為()Ax|x1或x3 B.x|1x3Cx|1x3 Dx|1x3解析：選C由0，得解得1x3.2若不等式mx22mx1>0的解集為R，則m的取值范圍是_解析：當(dāng)m0時(shí)，1>0顯然成立當(dāng)m0時(shí)，由條件知得0<m<1.由知0m<1.答案：0,1)題組練透1已知函數(shù)f(x)則不等式f(x)x2的解集是_解析：當(dāng)x0時(shí)，原不等式等價(jià)于2x21x2，x0；當(dāng)x>0時(shí)，原不等式等價(jià)于2xx2，x>0.綜上所述，原不等式的解集為.答案：2不等式1的解集為_解析：將原不等式移項(xiàng)通分得0，等價(jià)于解得x5或x.所以原不等式的解集為.答案：3解下列不等式：(1)(易錯(cuò)題)3x22x80；(2)2.解：(1)原不等式可化為3x22x80，即(3x4)(x2)0.解得2x，所以原不等式的解集為.(2)不等式等價(jià)于即解得x<1或1<x3.所以原不等式的解集為.謹(jǐn)記通法解一元二次不等式的4個(gè)步驟典例引領(lǐng)解關(guān)于x的不等式ax2(a1)x10(a0)解：原不等式變?yōu)?ax1)(x1)0，因?yàn)閍0，所以a(x1)0，所以當(dāng)a1時(shí)，解為x1；當(dāng)a1時(shí)，解集為；當(dāng)0a1時(shí)，解為1x.綜上，當(dāng)0a1時(shí)，不等式的解集為.當(dāng)a1時(shí)，不等式的解集為.當(dāng)a1時(shí)，不等式的解集為.由題悟法解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)分類討論的依據(jù)(1)二次項(xiàng)中若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式(2)當(dāng)不等式對(duì)應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)不確定時(shí)，討論判別式與0的關(guān)系(3)確定無(wú)根時(shí)可直接寫出解集，確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式提醒當(dāng)不等式中二次項(xiàng)的系數(shù)含有參數(shù)時(shí)，不要忘記討論其等于0的情況即時(shí)應(yīng)用1已知不等式ax2bx10的解集是，則不等式x2bxa0的解集是()A(2,3)B(，2)(3，)C.D.解析：選A由題意知，是方程ax2bx10的根，所以由根與系數(shù)的關(guān)系得，×.解得a6，b5，不等式x2bxa0，即為x25x60，解集為(2,3)2求不等式12x2ax>a2(aR)的解集解：原不等式可化為12x2axa2>0，即(4xa)(3xa)>0，令(4xa)(3xa)0，解得x1，x2.當(dāng)a>0時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為(，0)(0，)；當(dāng)a<0時(shí)，不等式的解集為.鎖定考向一元二次不等式與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系在解決具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注意三者之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換對(duì)于一元二次不等式恒成立問(wèn)題，常根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況確定判別式的符號(hào)，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍常見的命題角度有：(1)形如f(x)0(f(x)0)(xR)確定參數(shù)的范圍；(2)形如f(x)0(xa，b)確定參數(shù)的范圍；(3)形如f(x)0(參數(shù)ma，b)確定x的范圍 題點(diǎn)全練角度一：形如f(x)0(f(x)0)(xR)確定參數(shù)的范圍1若不等式2kx2kx<0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍為()A(3,0) B3,0)C3,0 D(3,0解析：選D當(dāng)k0時(shí)，顯然成立；當(dāng)k0時(shí)，即一元二次不等式2kx2kx<0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則解得3<k<0.綜上，滿足不等式2kx2kx<0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立的k的取值范圍是(3,0角度二：形如f(x)0(xa，b)確定參數(shù)的范圍2已知函數(shù)f(x)x2axb2b1(aR，bR)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(1x)f(1x)成立，若當(dāng)x1,1時(shí)，f(x)0恒成立，則b的取值范圍為_解析：由f(1x)f(1x)知f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，即1，解得a2.又因?yàn)閒(x)開口向下，所以當(dāng)x1,1時(shí)，f(x)為增函數(shù)，所以f(x)minf(1)12b2b1b2b2，f(x)0恒成立，即b2b20恒成立，解得b1或b2.b的取值范圍為(，1)(2，)答案：(，1)(2，)角度三：形如f(x)0(參數(shù)ma，b)確定x的范圍3(2018·浙江五校聯(lián)考)對(duì)于任意的0m4，使不等式x2mx4xm3恒成立，則x的取值范圍是_解析：轉(zhuǎn)化為m(x1)x24x30在0m4時(shí)恒成立令f(m)m(x1)x24x3.則x1或x3.故x的取值范圍為(，1)(3，)答案：(，1)(3，)通法在握一元二次型不等式恒成立問(wèn)題的3大破解方法方法解讀適合題型判別式法(1)ax2bxc0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立的條件是(2)ax2bxc0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立的條件是二次不等式在R上恒成立(如“題點(diǎn)全練”第1題)分離參數(shù)法如果不等式中的參數(shù)比較“孤單”，分離后其系數(shù)與0能比較大小，便可將參數(shù)分離出來(lái)，利用下面的結(jié)論求解：af(x)恒成立等價(jià)于af(x)max；af(x)恒成立等價(jià)于af(x)min適合參數(shù)與變量能分離且f(x)的最值易求(如“演練沖關(guān)”第2題)主參換位法把變?cè)c參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解常見的是轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)f(x)axb(a0)在m，n恒成立問(wèn)題，若f(x)>0恒成立若f(x)<0恒成立若在分離參數(shù)時(shí)會(huì)遇到討論參數(shù)與變量，使求函數(shù)的最值比較麻煩，或者即使能容易分離出卻難以求出時(shí)(如“題點(diǎn)全練”第3題)演練沖關(guān)1(2018·臺(tái)州模擬)不等式a28b2b(ab)對(duì)于任意的a，bR恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_解析：因?yàn)閍28b2b(ab)對(duì)于任意的a，bR恒成立，所以a28b2b(ab)0對(duì)于任意的a，bR恒成立，即a2ba(8)b20恒成立，由二次不等式的性質(zhì)可得，2b24(8)b2b2(2432)0，所以(8)(4)0，解得84.答案：8,42設(shè)函數(shù)f(x)mx2mx1(m0)，若對(duì)于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范圍解：要使f(x)m5在1,3上恒成立，則mx2mxm60，即m2m60在x1,3上恒成立因?yàn)閤2x120，又因?yàn)閙(x2x1)60，所以m.因?yàn)楹瘮?shù)y在1,3上的最小值為，所以只需m即可因?yàn)閙0，所以m的取值范圍是(，0).一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1設(shè)集合Ax|x2x60，集合B為函數(shù)y的定義域，則AB等于()A(1,2)B1,2C1,2) D(1,2解析：選DAx|x2x60x|3x2，由x1>0得x>1，即Bx|x>1，所以ABx|1<x22(2018·臺(tái)州模擬)不等式x22x5a23a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A1,4 B.(，25，)C(，14，) D2,5解析：選Ax22x5(x1)24的最小值為4，所以x22x5a23a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，只需a23a4，解得1a4.3(2018·鎮(zhèn)海中學(xué)月考)不等式ax2bxc0的解集為x|2x3，則不等式ax2bxc0的解集為_解析：令f(x)ax2bxc，其圖象如下圖所示，再畫出f(x)的圖象即可，所以不等式ax2bxc>0的解集為x|3x2答案：x|3x24(2018·金華十校聯(lián)考)若不等式2x1m(x21)對(duì)滿足|m|2的所有m都成立，則x的取值范圍為_解析：原不等式化為(x21)m(2x1)0.令f(m)(x21)m(2x1)(2m2)則解得x，故x的取值范圍為.答案：5(2018·湖州五校聯(lián)考)已知實(shí)數(shù)x，y滿足x22y2x(2y1)，則x_，y_，2xlog2y_.解析：法一：由已知得2x24y24xy2x10，即(x1)2(x2y)20，所以解得x1，y，2xlog2y2log2211.法二：由已知得，關(guān)于x的不等式x2(2y1)x2y20(*)有解，所以(2y1)240，即(2y1)20，所以2y10，即y，此時(shí)不等式(*)可化為x22x10，即(x1)20，所以x1,2xlog2y2log2211.答案：11二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1已知不等式x22x30的解集為A，不等式x2x60的解集為B，不等式x2axb0的解集為AB，則ab等于()A3B1C1 D3解析：選A由題意得，Ax|1x3，Bx|3x2，ABx|1x2，由根與系數(shù)的關(guān)系可知，a1，b2，則ab3.2(2018·麗水五校聯(lián)考)不等式x2的解集是()A(1,0)(1，)B(，1)(0,1)C(1,0)(0,1) D(，1)(1，)解析：選A法一：x2x200x(x1)(x1)0 1x0或x1.故原不等式的解集為(1,0)(1，)法二：驗(yàn)證，x2，不滿足不等式，排除B、C、D.3(2018·麗水五校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)若f(4)f(0)，f(2)0，則關(guān)于x的不等式f(x)1的解集為()A(，31，) B.3，1C3，1(0，) D3，)解析：選C因?yàn)閒(4)f(0)，所以當(dāng)x0時(shí)，f(x)的對(duì)稱軸為x2，又f(2)0，則f(x)不等式f(x)1的解為3，1(0，)，故選C.4(2018·寧波四校聯(lián)考)設(shè)二次函數(shù)f(x)x2xa(a>0)，若f(m)<0，則f(m1)的值為()A正數(shù)B負(fù)數(shù)C非負(fù)數(shù)D正數(shù)、負(fù)數(shù)和零都有可能解析：選A設(shè)f(x)x2xa0的兩個(gè)根為，由f(m)<0，則<m<，由于二次函數(shù)f(x)x2xa的對(duì)稱軸為x，且f(0)a>0，則|<1，f(m1)>0，故選A.5若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，則a的取值范圍是()A4,1 B.4,3C1,3 D1,3解析：選B原不等式為(xa)(x1)0，當(dāng)a<1時(shí)，不等式的解集為a,1，此時(shí)只要a4即可，即4a<1；當(dāng)a1時(shí)，不等式的解為x1，此時(shí)符合要求；當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解集為1，a，此時(shí)只要a3即可，即1<a3.綜上可得4a3.6不等式x2ax4<0的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：不等式x2ax4<0的解集不是空集，a24×4>0，即a2>16.a>4或a<4.答案：(，4)(4，)7若關(guān)于x的不等式axb的解集為，則關(guān)于x的不等式ax2bxa0的解集為_解析：由已知axb的解集為，可知a0，且，將不等式ax2bxa0兩邊同除以a，得x2x0，即x2x0，即5x2x40，解得1x，故所求解集為.答案：8(2018·蕭山月考)不等式x2axb>0(a，bR)的解集為，若關(guān)于x的不等式x2axb<c的解集為(m，m6)，則實(shí)數(shù)c的值為_解析：因?yàn)椴坏仁絰2axb>0(a，bR)的解集為，所以x2axb20，那么不等式x2axbc，即2<c，所以c0，所以<x<，又m<x<m6，m6m，即26，所以c9.答案：99已知f(x)3x2a(6a)x6.(1)解關(guān)于a的不等式f(1)>0；(2)若不等式f(x)>b的解集為(1,3)，求實(shí)數(shù)a，b的值解：(1)f(x)3x2a(6a)x6，f(1)3a(6a)6a26a3，原不等式可化為a26a3<0，解得32<a<32.原不等式的解集為a|32<a<32(2)f(x)>b的解集為(1,3)等價(jià)于方程3x2a(6a)x6b0的兩根為1,3，等價(jià)于解得10關(guān)于x的不等式的整數(shù)解的集合為2，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解：由x2x20可得x1或x2.的整數(shù)解為x2，又方程2x2(2k5)x5k0的兩根為k和.若k，則不等式組的整數(shù)解集合就不可能為2；若k，則應(yīng)有2k3.3k2.綜上，所求k的取值范圍為3,2)三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1若關(guān)于x的不等式x24x2a>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，2) B.(2，)C(6，) D(，6)解析：選A不等式x24x2a>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解等價(jià)于a<(x24x2)max，令g(x)x24x2，x(1,4)，g(x)<g(4)2，a<2.2設(shè)f(x)ax2bxc，若f(1)，問(wèn)是否存在a，b，cR，使得不等式x2f(x)2x22x對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，證明你的結(jié)論解：由f(1)，得abc.令x22x22x，解得x1.由f(x)2x22x推得f(1)，由f(x)x2推得f(1)，f(1).abc.故ac且b1.f(x)ax2xa.依題意ax2xax2對(duì)一切xR都成立，即(a1)x2x2a0對(duì)一切xR都成立a1且14(a1)(2a)0.即(2a3)20，(2a3)20，由a10得a.f(x) x2x1.證明如下：x2x12x22xx2x(x1)20.x2x12x22x對(duì)xR都成立x2x1x2x2x(x1)20，x2x2x1對(duì)xR都成立存在實(shí)數(shù)a，b1，c1，使得不等式x2f(x)2x22x對(duì)一切xR都成立第三節(jié)絕對(duì)值不等式1絕對(duì)值三角不等式定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)，等號(hào)成立定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0時(shí)，等號(hào)成立2絕對(duì)值不等式的解法(1)含絕對(duì)值不等式|x|<a與|x|>a的解法：不等式a>0a0a<0|x|<a|x|>a(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c>0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.小題體驗(yàn)1不等式|2x1|3的解集為_答案：x|x1或x22不等式|x1|x2|1的解集為_答案：3函數(shù)y|x4|x4|的最小值為_解析：|x4|x4|(x4)(x4)|8，即函數(shù)y的最小值為8.答案：81對(duì)形如|f(x)|>a或|f(x)|<a型的不等式求其解集時(shí)，易忽視a的符號(hào)直接等價(jià)轉(zhuǎn)化造成失誤2絕對(duì)值不等式|a|b|a±b|a|b|中易忽視等號(hào)成立的條件如|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)等號(hào)成立，其他類似推導(dǎo)小題糾偏1設(shè)a，b為滿足ab<0的實(shí)數(shù)，那么()A|ab|>|ab|B|ab|<|ab|C|ab|a|b| D|ab|<|a|b|解析：選Bab<0，|ab|a|b|>|ab|.2若存在實(shí)數(shù)x使|xa|x1|3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.答案：2,4題組練透1若不等式|kx4|2的解集為x|1x3，則實(shí)數(shù)k_.解析：由|kx4|22kx6.不等式的解集為x|1x3，k2.答案：22解不等式|2x1|2x1|6.解：法一：當(dāng)x>時(shí)，原不等式轉(zhuǎn)化為4x6<x；當(dāng)x時(shí)，原不等式轉(zhuǎn)化為26，恒成立；當(dāng)x<時(shí)，原不等式轉(zhuǎn)化為4x6x<.綜上知，原不等式的解集為.法二：原不等式可化為3，其幾何意義為數(shù)軸上到，兩點(diǎn)的距離之和不超過(guò)3的點(diǎn)的集合，數(shù)形結(jié)合知，當(dāng)x或x時(shí)，到，兩點(diǎn)的距離之和恰好為3，故當(dāng)x時(shí)，滿足題意，則原不等式的解集為.3已知函數(shù)f(x)|x1|2x3|.(1)畫出yf(x)的圖象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集解：(1)由題意得f(x)故yf(x)的圖象如圖所示(2)由f(x)的函數(shù)表達(dá)式及圖象可知，當(dāng)f(x)1時(shí)，可得x1或x3；當(dāng)f(x)1時(shí)，可得x或x5.故f(x)>1的解集為x|1<x<3，f(x)<1的解集為.所以|f(x)|>1的解集為.謹(jǐn)記通法解絕對(duì)值不等式的基本方法(1)利用絕對(duì)值的定義，通過(guò)分類討論轉(zhuǎn)化為解不含絕對(duì)值符號(hào)的普通不等式；(2)當(dāng)不等式兩端均為正號(hào)時(shí)，可通過(guò)兩邊平方的方法，轉(zhuǎn)化為解不含絕對(duì)值符號(hào)的普通不等式；(3)利用絕對(duì)值的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解典例引領(lǐng)已知函數(shù)f(x)，M為不等式f(x)<2的解集(1)求M；(2)證明：當(dāng)a，bM時(shí)，|ab|<|1ab|.解：(1)f(x)當(dāng)x時(shí)，由f(x)<2得2x<2，解得x>1；當(dāng)<x<時(shí)，f(x)<2恒成立；當(dāng)x時(shí)，由f(x)<2得2x<2，解得x<1.所以f(x)<2的解集Mx|1<x<1(2)證明：由(1)知，當(dāng)a，bM時(shí)，1<a<1，1<b<1，從而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)·(1b2)<0.因此|ab|<|1ab|.由題悟法證明絕對(duì)值不等式主要的3種方法(1)利用絕對(duì)值的定義去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為普通不等式再證明(2)利用三角不等式|a|b|a±b|a|b|進(jìn)行證明(3)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行證明即時(shí)應(yīng)用已知x，yR，且|xy|，|xy|，求證：|x5y|1.證明：|x5y|3(xy)2(xy)|.由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|3×2×1.即|x5y|1.典例引領(lǐng)已知函數(shù)f(x)|2xa|a.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)6的解集；(2)設(shè)函數(shù)g(x)|2x1|.當(dāng)xR時(shí)，f(x)g(x)3，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26得1x3.因此f(x)6的解集為x|1x3(2)當(dāng)xR時(shí)，f(x)g(x)|2xa|a|12x|3，即.又min，所以，解得a2.所以a的取值范圍是2，)由題悟法(1)研究含有絕對(duì)值的函數(shù)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)絕對(duì)值的定義，分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題，這是常用的思想方法(2)f(x)a恒成立f(x)maxa.f(x)>a恒成立f(x)mina.即時(shí)應(yīng)用(2018·浙江七校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)|3x2|.(1)解不等式f(x)<4|x1|；(2)已知mn1(m，n>0)，若|xa|f(x)(a>0)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)不等式f(x)<4|x1|，即|3x2|x1|<4.當(dāng)x<時(shí)，即3x2x1<4，解得<x<；當(dāng)x1時(shí)，即3x2x1<4，解得x<；當(dāng)x>1時(shí)，即3x2x1<4，無(wú)解綜上所述，x.(2)(mn)114，當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)等號(hào)成立令g(x)|xa|f(x)|xa|3x2|x時(shí)，g(x)maxa，要使不等式恒成立，只需g(x)maxa4，即0<a.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1若不等式|ax2|6的解集為(1,2)，則實(shí)數(shù)a等于()A8B2C4 D8解析：選C因?yàn)椴坏仁絴ax2|6的解集為(1,2)，所以1,2是方程|ax2|6，代入得解得a4，故選C.2若|xa|<h，|ya|<h，則下列不等式一定成立的是()A|xy|<h B.|xy|<2hC|xy|>h D|xy| >2h解析：選B2h>|xa|ya|xa(ya)|xy|，故選B.3不等式|x2|>的解集是()A(3，2) B.(2,0)C(0,2) D(，3)(2，)解析：選D不等式即為5(x2)>3x14或5(x2)<(3x14)，解得x>2或x<3，故選D.4不等式|x1|x5|<2的解集為_解析：不等式|x1|x5|<2等價(jià)于或或即或或故原不等式的解集為x|x<1x|1x<4x|x<4答案：x|x<45不等式|x(x2)|>x(x2)的解集為_解析：不等式|x(x2)|>x(x2)的解集即x(x2)<0的解集，解得0<x<2.答案：x|0<x<2二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1(2018·臺(tái)州聯(lián)考)不等式(1x)(1|x|)0的解集是()Ax|0x1 B.x|x0且x1Cx|1x1 Dx|x<1且x1解析：選D不等式等價(jià)于或解得0x<1或x<0且x1.故選D.2如果x，y是實(shí)數(shù)，那么“xy0”是“|xy|x|y|”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件 解析：選A因?yàn)椤皒y0”可以推出“|xy|x|y|”成立，反過(guò)來(lái)若“|xy|x|y|”成立，但是xy有可能等于0，所以“xy0”是“|xy|x|y|”的充分不必要條件，故選A.3不等式|x5|x3|10的解集是()A5,7 B.4,6C. (，57，) D (，46，)解析：選D當(dāng)x3時(shí)，|x5|x3|5xx322x10，即x4，x4.當(dāng)3<x<5時(shí)，|x5|x3|5xx3810，不成立，無(wú)解當(dāng)x5時(shí)，|x5|x3|x5x32x210，即x6，x6.綜上可知，不等式的解集為(，46，)4不等式x2|x1|10的解集為()Ax|2x1 B.x|1x2Cx|1x2 Dx|1x1解析：選A當(dāng)x10時(shí)，原不等式化為x2x0，解得0x1.x1；當(dāng)x10時(shí)，原不等式化為x2x20，解得2x1.2x1.綜上，2x1.所以原不等式的解集為x|2x1，故選A.5(2018·長(zhǎng)沙六校聯(lián)考)設(shè)f(x)x2bxc，不等式f(x)0的解集是(1,3)，若f(7|t|)f(1t2)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為()A(3,1) B.(3,3)C(1,3) D(1,1)解析：選Bf(x)0的解集是(1,3)，a0，f(x)的對(duì)稱軸是x1，且ab2.f(x)在1，)上單調(diào)遞增又7|t|7,1t21，由f(7|t|)f(1t2)，得7|t|1t2.|t|2|t|60，解得3t3. 故選B.6(2018·溫州模擬)不等式|x1|x2|<a恒成立，則a的取值范圍為_解析：不等式|x1|x2|<a恒成立，只需a>(|x1|x2|)max.因?yàn)閨x1|x2|x1(x2)|1，故a>1.故a的取值范圍為(1，)答案：(1，)7設(shè)|x2|<a時(shí)，不等式|x24|<1成立，則正數(shù)a的取值范圍為_解析：由|x2|<a得2a<x<a2，由|x24|<1，得3<x2<5，所以<x<或<x<.因?yàn)閍>0，所以由題意得解得 0<a2，故正數(shù)a的取值范圍為(0，2答案：(0，28(2018·杭州五校聯(lián)考)已知不等式|x24xa|x3|5的x的最大值為3，則實(shí)數(shù)a的值是_解析：x3，|x3|3x.若x24xa0，則原不等式化為x23xa20.此不等式的解集不可能是集合x|x3的子集，x24xa0不成立于是，x24xa0，則原不等式化為x25xa20.x3，令x25xa2(x3)(xm)x2(m3)x3m，比較系數(shù)，得m2，a8.答案：89已知|2x3|1的解集為m，n(1)求mn的值；(2)若|xa|m，求證：|x|a|1.解：(1)不等式|2x3|1可化為12x31，解得1x2，所以m1，n2，mn3.(2)證明：若|xa|1，則|x|xaa|xa|a|a|1.即|x|a|1.10(2018·杭州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)|x4|xa|(aR)的最小值為a.(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)解不等式f(x)5.解：(1)f(x)|x4|xa|a4|a，從而解得a2.(2)由(1)知，f(x)|x4|x2|故當(dāng)x2時(shí)，令2x65，得x2，當(dāng)2<x4時(shí)，顯然不等式成立，當(dāng)x>4時(shí)，令2x65，得4<x，故不等式f(x)5的解集為.三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1(2018·金麗衢十二校聯(lián)考)設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則“|ab2|ba2|1”是“22”的()A充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A22a2ab2ba2ab2b1b2aa2b1，令b2ax，a2by，則|x|y|xy|xy，所以|x|y|1xy1，故充分性成立，必要性不成立，故選A.2(2018·寧波質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)|2x1|x2|.(1)解不等式f(x)0；(2)若存在實(shí)數(shù)x0，使得f(x0)2m24m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)不等式f(x)0，即|2x1|x2|，即4x24x1x24x4，3x28x30，解得x或x3，所以不等式f(x)0的解集為.(2)f(x)|2x1|x2|故f(x)的最小值為f.因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)x0，使得f(x0)2m24m，所以4m2m2，解得m.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.第四節(jié)二元一次不等式(組)及簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題1一元二次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域AxByC0直線AxByC0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域不包括邊界直線AxByC0包括邊界直線不等式組各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的公共部分2線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的不等式(組)線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組)目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的函數(shù)解析式，如z2x3y等線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問(wèn)題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題小題體驗(yàn)1下列各點(diǎn)中，不在xy10表示的平面區(qū)域內(nèi)的是()A(0,0)B(1,1)C(1,3) D(2，3)答案：C2(教材習(xí)題改編)不等式組表示的平面區(qū)域是()答案：B3(2018·杭高、效實(shí)中學(xué)、嘉興一中聯(lián)考)已知變量x，y滿足約束條件則z3xy的最小值為()A12 B.11C8 D1解析：選C依題意，在平面直角坐標(biāo)平面內(nèi)畫出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，當(dāng)動(dòng)直線z3xy經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,2)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z取得最小值，zmin2×328，故選C.1畫出平面區(qū)域避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式化為axbyc>0(a>0)2線性規(guī)劃問(wèn)題中的最優(yōu)解不一定是唯一的，即可