第1講集合與常用邏輯用語 2019考向?qū)Ш娇键c(diǎn)掃描三年考情考向預(yù)測2019201820171集合間的關(guān)系及運(yùn)算第1題第1題第1題江蘇高考對集合的考查一般包含兩個(gè)方面：一是集合的運(yùn)算，二是集合間的關(guān)系試題難度為容易題，若以集合為載體與其他知識交匯，則可能為中檔題邏輯知識是高考冷點(diǎn)，復(fù)習(xí)時(shí)要抓住基本概念2四種命題及其真假判斷3充分條件與必要條件4邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞和存在量詞1必記的概念與定理(1)四種命題中原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假，遇到復(fù)雜問題正面解決困難的，采用轉(zhuǎn)化為反面情況處理(2)充分條件與必要條件若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若pq，則p，q互為充要條件2記住幾個(gè)常用的公式與結(jié)論(1)(AB)(AB)；(2)ABABA；ABABB；(3)集合與集合之間的關(guān)系：AB，BCAC，空集是任何集合的子集，含有n個(gè)元素的集合的子集數(shù)為2n，真子集數(shù)為2n1，非空真子集數(shù)為2n2；(4)集合的運(yùn)算：U(AB)(UA)(UB)，U(AB)(UA)(UB)，U(UA)A3需要關(guān)注的易錯(cuò)易混點(diǎn)(1)集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性，求解含參數(shù)的集合問題時(shí)要根據(jù)互異性進(jìn)行檢驗(yàn)(2)有些全稱命題并不含有全稱量詞，這時(shí)我們要根據(jù)命題涉及的意義去判斷對命題的否定，首先弄清楚是全稱命題還是存在性命題，再針對不同形式加以否定(3)“p是q的充分不必要條件”與“p的一個(gè)充分不必要條件是q”兩者不同，前者是“pq但qp”而后者是“qp，p q” 集合間的關(guān)系及運(yùn)算典型例題 (1)(2019·高考江蘇卷)已知集合A1，0，1，6，Bx|x>0，xR，則AB_(2)已知集合A1，2，Ba，a23若AB1，則實(shí)數(shù)a的值為_(3)(2019·蘇州第二次質(zhì)量預(yù)測)已知集合Px|y，xN，Qx|ln x1，則PQ_【解析】(1)由交集定義可得AB1，6(2)因?yàn)閍233，所以由AB1，得a1，即實(shí)數(shù)a的值為1(3)由x2x20，得1x2，因?yàn)閤N，所以P0，1，2因?yàn)閘n x1，所以0xe，所以Q(0，e)，則PQ1，2【答案】(1)1，6(2)1(3)1，2解集合運(yùn)算問題應(yīng)注意以下兩點(diǎn)(1)看元素組成集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問題的關(guān)鍵(2)對集合化簡有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問題簡單明了、易于解決對點(diǎn)訓(xùn)練1(2018·高考江蘇卷)已知集合A0，1，2，8，B1，1，6，8，那么AB_解析 由集合的交運(yùn)算可得AB1，8答案 1，82(2019·江蘇省名校高三入學(xué)摸底)已知集合A1，3，m2，集合B3，2m1，若BA，則實(shí)數(shù)m_解析 因?yàn)锽A，所以m22m1或12m1，解得m1或m0，經(jīng)檢驗(yàn)均滿足題意，故m1或0答案 1或0四種命題及其真假判斷典型例題 (1)(2019·蘇州第一次質(zhì)量預(yù)測)下列說法正確的是_“若a1，則a21”的否命題是“若a1，則a21”；“若am2bm2，則ab”的逆命題為真命題；存在x0(0，)，使3x04x0成立；“若sin ，則”是真命題(2)給出命題：若函數(shù)yf(x)是冪函數(shù)，則函數(shù)yf(x)的圖象不過第四象限在它的逆命題、否命題、逆否命題三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是_【解析】(1)對于，“若a1，則a21”的否命題是“若a1，則a21”，故錯(cuò)誤；對于，“若am2bm2，則ab”的逆命題為“若ab，則am2bm2”，因?yàn)楫?dāng)m0時(shí)，am2bm2，所以其逆命題為假命題，故錯(cuò)誤；對于，由指數(shù)函數(shù)的圖象知，對任意的x(0，)，都有4x3x，故錯(cuò)誤；對于，“若sin ，則”的逆否命題為“若，則sin ”，且其逆否命題為真命題，所以原命題為真命題，故正確(2)易知原命題是真命題，則其逆否命題也是真命題，而逆命題、否命題是假命題，故它的逆命題、否命題、逆否命題三個(gè)命題中，真命題只有一個(gè)【答案】(1)(2)1一個(gè)命題的否命題、逆命題、逆否命題是根據(jù)原命題適當(dāng)變更條件和結(jié)論后得到的形式上的命題，解這類試 題時(shí)要注意對于一些關(guān)鍵詞的否定，等于的否定是不等于，而不是單純的大于、也不是單純的小于“都是”的否定是“不都是”，“不都是”包含“都不是”，“至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)都沒有”，“所有的”的否定是“某些”，“任意的”的否定是“某個(gè)”，“至多有一個(gè)”的否定是“至少有兩個(gè)”，“至多有n個(gè)”的否定是“至少有n1個(gè)”，“任意兩個(gè)”的否定是“某兩個(gè)”像這類否定同學(xué)們不妨探究一下對點(diǎn)訓(xùn)練3已知命題“若函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是增函數(shù)，則m1”，則下列結(jié)論正確的是_(只填序號)否命題“若函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是減函數(shù)，則m>1”是真命題逆命題“若m1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是增函數(shù)”是假命題逆否命題“若m>1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是減函數(shù)”是真命題逆否命題“若m>1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上不是增函數(shù)”是真命題解析 命題“若函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是增函數(shù)，則m1”是真命題，所以其逆否命題“若m>1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上不是增函數(shù)”是真命題答案 4命題“面積相等的三角形是全等三角形”的否定為_，否命題為_答案 面積相等的三角形不是全等三角形面積不相等的三角形不是全等三角形充分條件與必要條件典型例題 (1)若a，bR，則“a(ab)<0”是“>1”的_(填寫“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中的一個(gè))(2)已知條件p：1x21，q：xa，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【解析】(1)因?yàn)?gt;11>0>0a(ab)<0，所以“a(ab)<0”是“>1”的充要條件(2)因?yàn)閜是q的充分不必要條件，故pq，但qp，即不等式1x21的解集是x|xa的真子集，從而a3【答案】(1)充要條件(2)(，3判斷充要條件的方法，一是結(jié)合充要條件的定義；二是在以否定形式給出的充要條件判斷中可以使用命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法對點(diǎn)訓(xùn)練5(2019·湖南湘東五校聯(lián)考)“不等式x2xm0在R上恒成立”的一個(gè)必要不充分條件是_m；0m1；m0；m1解析 若不等式x2xm0在R上恒成立，則(1)24m0，解得m，因此當(dāng)不等式x2xm0在R上恒成立時(shí)，必有m0，但當(dāng)m0時(shí)，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分條件可以是m0答案 6(2019·徐州模擬)若a2x，blogx，則“a>b”是“x>1”的_條件解析 如圖所示，當(dāng)xx0時(shí)，ab若ab，則得到xx0，且x01，所以由ab不一定得到x1，所以“ab”不是“x1”的充分條件；若x1，則由圖象得到ab，所以“ab”是“x1”的必要條件故“ab”是“x1”的必要不充分條件答案 必要不充分邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞和存在量詞典型例題 (1)命題“x0(0，)，ln x0x01”的否定，下列正確的是_x0(0，)，ln x0x01x0(0，)，ln x0x01x(0，)，ln xx1x(0，)，ln xx1(2)已知命題p：x0，1，a2x；命題q：xR，使得x24xa0若命題“pq”是真命題，“pq”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_【解析】(1)改變原命題中的兩個(gè)地方即可得其否定，改為，否定結(jié)論，即ln xx1(2)命題p為真，則a2x(x0，1)恒成立，因?yàn)閥2x在0，1上單調(diào)遞增，所以2x212，故a2，即命題p為真時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值集合為Pa|a2若命題q為真，則方程x24xa0有解，所以424×1×a0，解得a4故命題q為真時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值集合為Qa|a4若命題“pq”是真命題，那么命題p，q至少有一個(gè)是真命題；由“pq”是假命題，可得p與q至少有一個(gè)是假命題若p為真命題，則p為假命題，q可真可假，此時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍為2，)；若p為假命題，則q必為真命題，此時(shí)，“pq”為真命題，不合題意綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為2，)【答案】(1)(2)2，)全稱命題(存在性命題)的否定是其全稱量詞改為存在量詞(存在量詞改為全稱量詞)，并把結(jié)論否定，而命題的否定則是直接否定結(jié)論 對點(diǎn)訓(xùn)練7(2019·無錫市高三上學(xué)期期末考試)命題“x2，x24”的否定是“_，x24”解析 由全稱命題的否定是存在性命題得，命題“x2，x24”的否定是“x2，x24”，故填x2答案 x28下列四個(gè)命題：xR，使sin xcos x2；對xR，sin x2；對x，tan x2；xR，使sin xcos x其中正確命題的序號為_解析 因?yàn)閟in xcos xsin， ；故xR，使sin xcos x2錯(cuò)誤；xR，使sin xcos x正確；因?yàn)閟in x2或sin x2，故對xR，sin x2錯(cuò)誤；對x，tan x>0，>0，由基本不等式可得tan x2正確答案 1(2019·江蘇名校高三入學(xué)摸底)設(shè)集合A2，2，Bx|x23x40，則A(RB)_解析 由Bx|x23x40x|x1或x4，得RBx|1<x<4，又A2，2，所以A(RB)2答案 22命題“存在一個(gè)無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是_答案 任意一個(gè)無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)3已知a，b，cR，命題“若abc3，則a2b2c23”的否命題是_解析 命題的否命題是原命題的條件與結(jié)論分別否定后組成的命題，所以應(yīng)填“若abc3，則a2b2c2<3”答案 若abc3，則a2b2c2<34(2019·無錫模擬)下列命題中真命題的序號是_xR，x2；xR，sin x1；xR，x2>0；xR，2x>0解析 對于x1成立，對于x成立，對于x0時(shí)顯然不成立，對于，根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)顯然成立答案 5已知UR，A1，a，Ba22a2，aR，若(UA)B，則a_解析 由題意知BA，所以a22a21或a22a2a當(dāng)a22a21時(shí)，解得a1；當(dāng)a22a2a時(shí)，解得a1或a2當(dāng)a1時(shí)，不滿足集合中元素的互異性，舍去；當(dāng)a2時(shí)，滿足題意所以a2答案 26若命題“ax22ax3>0不成立”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析 ax22ax30恒成立，當(dāng)a0時(shí)，30成立；當(dāng)a0時(shí)，得3a<0；所以3a0答案 3a07(2019·南京調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)lg(1x2)，集合Ax|yf(x)，By|yf(x)，則圖中陰影部分表示的集合為_解析 因?yàn)锳x|yf(x)x|1x2>0x|1<x<1(1，1)，RA(，11，)，則u1x2(0，1，所以By|yf(x)y|y0(，0，RB(0，)，所以題圖陰影部分表示的集合為(ARB)(BRA)(0，1)(，1答案 (0，1)(，18(2019·江蘇省名校高三入學(xué)摸底卷)已知集合Px|xa，Q，若PQQ，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析 由Q，得Q1，2，又PQQ，所以a2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是2，)答案 2，)9若R，使sin 1成立，則cos的值為_解析 由題意得sin 10又1sin 1，所以sin 1所以2k(kZ)故cos答案 10(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考信息卷(八)已知x0，xR，則“<1”是“3x>9”的_條件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析 由<1得x>2或x<0由3x>9得x>2，所以由“3x>9”可以得“<1”，反之卻無法得到，所以“<1”是“3x>9”的必要不充分條件答案 必要不充分11給出以下三個(gè)命題：若ab0，則a0或b0；在ABC中，若sin Asin B，則AB；在一元二次方程ax2bxc0中，若b24ac<0，則方程有實(shí)數(shù)根其中原命題、逆命題、否命題、逆否命題全都是真命題的是_(填序號)解析 在ABC中，由正弦定理得sin Asin BabAB故填答案 12(2019·南京高三模擬)下列說法正確的序號是_命題“若x21，則x1”的否命題為“若x21，則x1”；“x1”是“x25x60”的必要不充分條件；命題“若xy，則sin xsin y”的逆否命題為真命題；命題“x0R，xx01<0”的否定是“xR，x2x10”解析 命題“若x21，則x1”的否命題為“若x21，則x1”，所以不正確由x1，能夠得到x25x60，反之，由x25x60，得到x1或x6，所以“x1”是“x25x60”的充分不必要條件，所以不正確命題“若xy，則sin xsin y”為真命題，所以其逆否命題也為真命題，所以正確命題“x0R，xx010”的否定是“xR，x2x10”，所以不正確答案 13若命題“x1，1，12xa·4x<0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的最小值為 _解析 變形得a<，令t，則a<，因?yàn)閤1，1，所以t，所以f(t)在上是減函數(shù)，所以f(t)minf(2)6，又因?yàn)樵撁}為假命題，所以a6，故實(shí)數(shù)a的最小值為6答案 614(2019·江蘇四星級學(xué)校高三聯(lián)考)設(shè)P，Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合P*Qz|zab，aP，bQ，若P1，2，Q1，0，1，則集合P*Q中元素的個(gè)數(shù)為_解析 法一(列舉法)：當(dāng)b0時(shí)，無論a取何值，zab1；當(dāng)a1時(shí)，無論b取何值，ab1；當(dāng)a2，b1時(shí)，z21；當(dāng)a2，b1時(shí)，z212故P*Q，該集合中共有3個(gè)元素法二(列表法)：因?yàn)閍P，bQ，所以a的取值只能為1，2；b的取值只能為1，0，1zab的不同運(yùn)算結(jié)果如下表所示：ba1011111212由上表可知P*Q，顯然該集合中共有3個(gè)元素答案 3- 10 -