2022高中數(shù)學 初高中銜接讀本 專題2.1 一元二次方程根的判別式精講深剖學案現(xiàn)行初中數(shù)學教材主要要求學生掌握一元二次方程的概念、解法及應用，而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關系，在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著重要應用本專題將對一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關系等進行講述?！局R梳理】一元二次方程的根的判別式一元二次方程，用配方法將其變形為：(1) 當時，右端是正數(shù)因此，方程有兩個不相等的實數(shù)根：(2) 當時，右端是零因此，方程有兩個相等的實數(shù)根：(3) 當時，右端是負數(shù)因此，方程沒有實數(shù)根由于可以用的取值情況來判定一元二次方程的根的情況因此，把叫做一元二次方程的根的判別式，表示為：【精講深剖】一元二次方程根的判別式即是判定方程根的情況的充分條件，也是求解方程根的一般方法?！镜淅馕觥?.判定下列關于x的方程的根的情況（其中a為常數(shù)），如果方程有實數(shù)根，寫出方程的實數(shù)根（1）x23x30； （2）x2ax10； （3） x2ax(a1)0； （4）x22xa0【解析】（1）324×1×330，方程沒有實數(shù)根（2）該方程的根的判別式a24×1×(1)a240，所以方程一定有兩個不等的實數(shù)根;， （3）由于該方程的根的判別式為a24×1×(a1)a24a4(a2)2，所以，當a2時，0，所以方程有兩個相等的實數(shù)根：x1x21；當a2時，0， 所以方程有兩個不相等的實數(shù)根： x11，x2a1【解題反思】在第3，4小題中，方程的根的判別式的符號隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題過程中，需要對a的取值情況進行討論，這一方法叫做分類討論分類討論這一思想方法是高中數(shù)學中一個非常重要的方法，在今后的解題中會經(jīng)常地運用這一方法來解決問題【變式訓練】1.已知關于的一元二次方程，根據(jù)下列條件，分別求出的范圍：(1) 方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2) 方程有兩個相等的實數(shù)根；(3)方程有實數(shù)根；(4) 方程無實數(shù)根【解析】(1) ；(2) ；(3)； (4) 【點評】本題已知根的情況，運用根的判別式，求方程中參數(shù)的取值范圍。需要逆向思考，體現(xiàn)了思維的靈活性。2.（1）判斷直線與拋物線的交點個數(shù)；（2）若直線與拋物線有兩個不同的交點，求的范圍?！痉治觥坑蓄}意，曲線交點個數(shù)可轉化為對應方程組的解的個數(shù)，可借助根的判別式進行解決；（2）由，代入消元得；，整理得；，由題意可得；，解得，即當時，直線與拋物線有兩個不同的交點?！军c評】判斷兩曲線交點個數(shù)問題時，基本方法為直接求解法，判別式法即圖像法。而判別式法在解決二次曲線交點個數(shù)問題時更為高效。3已知關于x的一元二次方程.（1）求證：不管為何值，方程總有實數(shù)根；（2）若等腰三角形ABC的一邊長,另兩邊長恰好是這個方程的兩個根，求此三角形的周長.【答案】（1）；（2）16或22.【分析】（1）計算出“根的判別式的值”，然后通過配方可知無論k去何值，的值恒大于或等于0，由此可得結論；（2）因為題目中沒有告訴等腰ABC中邊是腰還是底，故要分兩種情況討論：當為腰時，則中有一邊為腰，即原方程有一根為6，代入方程可解得k的值，進一步可求得方程的另一根，從而可求ABC的周長；當為底時，則都為腰，此時原方程有兩個相等的實數(shù)根，則=0，由此可求出k的值，代入原方程求解，從而可求ABC的周長.【解析】(1)在方程 中，=，無論k為何值，0 ，不管k為何值，原方程總有實數(shù)根；當為底時，則兩邊均為腰，即原方程有兩個相等的實數(shù)根，所以，解得，此時原方程為：，解得：即兩邊均為2，因為，此時三邊圍不成三角形，此種情況不成立；綜合可得的周長為16或22【點評】問題從一元二次根的判別式“”入手，通過化簡、配方法等將“”表達式轉化為可判斷其符號的形式，從而就可以判斷原一元二次方程根的情況了；（2）這類問題通常要分“已知邊是等腰三角形的腰和底”兩種情況分別討論，同時要特別注意在涉及三角形三邊的問題中，求出三邊后，一定要用三角形三邊間的關系進行檢驗，看能否圍成三角形.