《（江蘇專用）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.2 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 3.2.1 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)學(xué)案 蘇教版選修1-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.2 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 3.2.1 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)學(xué)案 蘇教版選修1-1（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 3.2.1　常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的導(dǎo)數(shù)．　2.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(重點(diǎn)、難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知] 基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 (kx＋b)′＝k C′＝0(C為常數(shù)) (xα)′＝αxα－1(α為常數(shù)) (ax)′＝axln_a(a＞0，且a≠1) (logax)′＝logae＝(a＞0，且a≠1) (ex)′＝ex (ln x)′＝ (sin x)′＝cos_x (cos x)′＝－sin_x [基礎(chǔ)自測] 1．判斷正誤： (1)(log3π)′＝

2、.(　　) (2)若f(x)＝，則f′(x)＝ln x．(　　) (3)因?yàn)?sin x)′＝cos x，所以(sin π)′＝cos π＝－1.(　　) (4)f(x)＝a3(a為常數(shù))，f′(x)＝3a2.(　　) 【解析】　(1)×.(log3π)′＝0. (2)×.若f(x)＝，則f′(x)＝－. (3)×.(sin π)′＝0. (4)×.∵a是常數(shù)，∴f(x)＝a3是常數(shù)，故f′(x)＝0. 【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．函數(shù)y＝ln x在x＝2處的切線的斜率為________． 【解析】　k＝y(tǒng)′|x＝2＝(ln x)′|x＝2＝|x＝

3、2＝. 【答案】　 [合 作 探 究·攻 重 難] 利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝x2·；(2)y＝2cos2－1；(3)y＝log2x； (4)y＝；(5)y＝；(6)y＝. 【導(dǎo)學(xué)號：95902195】 [思路探究]　(3)可直接利用公式求導(dǎo)；(1)(2)(4)(5)(6)需變形之后利用公式求導(dǎo)． 【自主解答】　(1) (2)∵y＝2cos2－1＝cos x， ∴y′＝(cos x)′＝－sin x. (3)y′＝(log2x)′＝. [規(guī)律方法]　利用求導(dǎo)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的兩個關(guān)注點(diǎn) (1)直接用公式：若所求函

4、數(shù)符合基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，則直接利用公式求解. (2)變形用公式：對于不能直接利用公式的類型，關(guān)鍵是利用代數(shù)恒等變換對函數(shù)解析式進(jìn)行化簡或變形，合理轉(zhuǎn)化為可以直接應(yīng)用公式的基本函數(shù)的模式，如根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式等. [跟蹤訓(xùn)練] 1．求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)： (1)y＝2x； (2)y＝； (3)y＝2sin cos . 利用導(dǎo)數(shù)求切線方程 　(1)曲線y＝x3在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為________． (2)過點(diǎn)(3,5)且與曲線y＝x2相切的切線方程為__________． [思路探究]　(1)可直接利用k＝f′(x0)求切線的斜率． (2)點(diǎn)(3,5)

5、不在曲線上，故解答本題需先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率，進(jìn)而求出切點(diǎn)坐標(biāo)，得到切線的方程． 【自主解答】　(1)∵y′＝3x2，∴k＝3×12＝3，故切線方程為y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0. (2)∵點(diǎn)(3,5)不在曲線y＝x2上， ∴可設(shè)過點(diǎn)(3,5)與曲線y＝x2相切的直線與曲線的切點(diǎn)為(x0，y0)． ∵y′＝2x，∴當(dāng)x＝x0時，y′＝2x0，故切線方程為y－x＝2x0(x－x0)． 又∵直線過(3,5)點(diǎn)，∴5－x＝2x0(3－x0)， 即x－6x0＋5＝0，解得x0＝1或x0＝5. 故切線方程為2x－y－1＝0或10x－y－25＝0. 【答

6、案】　(1)3x－y－2＝0　(2)2x－y－1＝0或10x－y－25＝0 [規(guī)律方法]　 1．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決切線問題的兩種情況 (1)若已知點(diǎn)是切點(diǎn)，則在該點(diǎn)處的切線斜率就是該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)． (2)如果已知點(diǎn)不是切點(diǎn)，則應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)，再借助兩點(diǎn)連線的斜率公式進(jìn)行求解． 2．求過點(diǎn)P與曲線相切的直線方程的三個步驟 [跟蹤訓(xùn)練] 2．設(shè)P(x0，y0)是曲線y＝cos x上的點(diǎn)，在點(diǎn)P處的切線與直線x＋2y－1＝0平行，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為________. 【導(dǎo)學(xué)號：95902196】 【解析】　∵點(diǎn)P處的切線與x＋2y－1＝0平行， ∴切線斜率k＝－， ∴y′＝－

7、sin x0＝－，∴sin x0＝. 又∵x0∈，∴x0＝， ∴y0＝cos ＝，∴P點(diǎn)為. 【答案】　 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 [探究問題] 1．函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，f′(x0)的幾何意義是什么？ 【提示】　f′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處切線的斜率． 2．在涉及曲線的切線問題時，若切點(diǎn)坐標(biāo)沒有作為條件給出，應(yīng)如何處理？ 【提示】　應(yīng)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用k＝f′(x0)，y0＝f(x0)等條件構(gòu)建方程組求解． 3．設(shè)某物體運(yùn)動的位移為y＝f(t)，那么f′(t0)的實(shí)際意義是什么？ 【提示】　f′(t0)是物體在t＝t0時刻的

8、瞬時速度． 　(1)曲線y＝x3上一點(diǎn)B處的切線l交x軸于點(diǎn)A，△OAB(O是原點(diǎn))是以A為頂點(diǎn)的等腰三角形，則切線l的傾斜角為________． (2)某質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的方程為y＝2x，則在x＝3時的瞬時速度為________. 【導(dǎo)學(xué)號：95902197】 [思路探究]　(1)設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)，由已知條件求出切點(diǎn)坐標(biāo)，并求出斜率從而得出l的傾斜角． (2)求x＝3時的導(dǎo)數(shù)． 【自主解答】　(1)設(shè)切點(diǎn)為B(x0，y0)，傾斜角為α，則k＝y(tǒng)′|＝3x， ∴切線方程為y－y0＝3x(x－x0)， 即y－x＝3x·x－3x，令y＝0得x＝x0， 依題意得|x0|＝， ∴x＝，∴x

9、＝， ∴k＝3×＝，∴tan α＝，α＝60°. (2)y′＝2xln 2，當(dāng)x＝3時瞬時速度為23ln 2＝8ln 2. 【答案】　(1)60°　(2)8ln 2 [規(guī)律方法]　導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用的解題策略 (1)導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用非常廣泛，如運(yùn)動物體在某一時刻的瞬時速度等，解決此類問題的關(guān)鍵是正確理解導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義，準(zhǔn)確求出導(dǎo)數(shù). (2)利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以解決一些與距離、面積相關(guān)的最值問題，解題的關(guān)鍵是正確確定切線的斜率，進(jìn)而求出切點(diǎn)坐標(biāo). [跟蹤訓(xùn)練] 3．求曲線y＝和y＝x2在它們交點(diǎn)處的兩條切線與x軸所圍成的三角形的面積． 【解】　由解

10、得交點(diǎn)為(1,1)． ∵y′＝＝－，∴k1＝－1， ∴曲線y＝在(1,1)處的切線方程為y－1＝－x＋1， 即y＝－x＋2. ∵y′＝(x2)′＝2x，∴k2＝2， ∴曲線y＝x2在(1,1)處的切線方程為y－1＝2(x－1)， 即y＝2x－1. y＝－x＋2與y＝2x－1和x軸的交點(diǎn)分別為(2,0)，. ∴所求面積S＝×1×＝. [構(gòu)建·體系] [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基] 1．f(x)＝，f′(x)＝________. 【答案】　 2．函數(shù)f(x)＝cos x，則f′()＋f()＝________. 【導(dǎo)學(xué)號：95902198】 【解析】　f′(

11、x)＝(cos x)′＝－sin x， ∴f′＋f＝－sin ＋cos ＝－1＋＝－. 【答案】?。? 3．曲線f(x)＝ln x在(2，ln 2)處切線的斜率是________． 【解析】　∵f′(x)＝，∴k＝f′(2)＝. 【答案】　 4．過點(diǎn)P(－1,2)且與曲線y＝3x2在點(diǎn)M(1,3)處的切線平行的直線方程是__________. 【導(dǎo)學(xué)號：95902199】 【解析】　y′＝6x，∴曲線y＝3x2在點(diǎn)M(1,3)處切線的斜率為6×1＝6，∴所求直線方程為y－2＝6(x＋1)，即6x－y＋8＝0. 【答案】　6x－y＋8＝0 5．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝cos； (2)y＝log22x－1. 【解】　(1)∵y＝cos＝sin x，∴y′＝cos x. (2)∵y＝log22x－1＝log2x，∴y′＝. 7