2022高中數(shù)學(xué) 第2章 平面解析幾何初步 第一節(jié) 直線的方程5 距離問(wèn)題（兩點(diǎn)間距離，點(diǎn)到直線的距離）學(xué)案 蘇教版必修2一、考點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)課標(biāo)要求題型說(shuō)明距離問(wèn)題（兩點(diǎn)間距離，點(diǎn)到直線的距離）1. 理解兩點(diǎn)間的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。2. 掌握中點(diǎn)坐標(biāo)公式。3. 會(huì)求兩條平行直線間的距離。選擇題填空題解答題1. 通過(guò)兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)，能更充分地體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)越性。2. 通過(guò)探索點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)過(guò)程，滲透算法的思想、滲透數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化（或化歸）等數(shù)學(xué)思想以及特殊與一般的方法。二、重難點(diǎn)提示重點(diǎn)：兩點(diǎn)間的距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)及應(yīng)用、用坐標(biāo)法證明簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題。難點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)思路、用坐標(biāo)法證明簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題。考點(diǎn)一：平面上兩點(diǎn)間的距離公式平面上P1（x1，y1），P2（x2，y2）兩點(diǎn)間的距離公式P1P2考點(diǎn)二：中點(diǎn)坐標(biāo)公式對(duì)于平面上兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），線段P1P2的中點(diǎn)是M（x0，y0），則考點(diǎn)三：點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)P（x0，y0）到直線l：AxByC0的距離為d【要點(diǎn)詮釋】（1）應(yīng)用點(diǎn)P（x0，y0）到直線AxByC0（A、B不同時(shí)為零）的距離公式d的前提是直線方程為一般式。特別地，當(dāng)A0或B0時(shí)，上述公式也適用，且可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想求解。（2）點(diǎn)P（x0，y0）到平行于軸的距離為；當(dāng)P（x0，y0）在直線上時(shí)，點(diǎn)P到直線的距離為0；點(diǎn)P（x0，y0）到軸的距離為；點(diǎn)P（x0，y0）到軸的距離為；點(diǎn)P（x0，y0）到平行于軸的直線的距離為。考點(diǎn)四：兩條平行直線的距離已知兩條平行直線l1和l2的一般式方程為l1：AxByC10，l2：AxByC20，則l1與l2的距離為d?！疽c(diǎn)詮釋】1. 在求兩條平行直線間的距離時(shí)，一定要將兩平行直線方程化為一般式，同時(shí)利用等式性質(zhì)將的系數(shù)化為相同的值。2. 對(duì)于兩條平行線間的距離，其求解方法可以直接套用公式，也可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離求解?？键c(diǎn)五：對(duì)稱問(wèn)題（1）求某點(diǎn)關(guān)于已知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為（2）求直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線設(shè)直線的方程為，已知點(diǎn)，求關(guān)于對(duì)稱的直線方程。設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，它關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，代入得，即為所求的對(duì)稱直線的方程。（3）求某點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)設(shè)，：，若關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則是的垂直平分線，即且的中點(diǎn)在上。解方程組可得點(diǎn)的坐標(biāo)。（4）求某直線關(guān)于已知直線的對(duì)稱直線求直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線：若直線、相交，先求出交點(diǎn)。在直線上取一特殊點(diǎn)，求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，直線即直線。若直線、平行，根據(jù)平行設(shè)出所求直線方程的一般式形式，再利用兩平行線間的距離公式求出待定系數(shù)?！疽?guī)律總結(jié)】1. 設(shè)直線：關(guān)于軸對(duì)稱的直線是：；關(guān)于軸對(duì)稱的直線是：；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線是：；關(guān)于對(duì)稱的直線是：；關(guān)于對(duì)稱的直線是：。2. 點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)；點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)；點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)；點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)；點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)；點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)；點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)；點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)。例題1 （點(diǎn)到直線的距離公式及其應(yīng)用）求點(diǎn)P（1,2）到下列直線的距離：（1）l1：yx3；（2）l2：y1；（3）y軸。思路分析：點(diǎn)的坐標(biāo)直線方程化成一般式點(diǎn)到直線的距離。答案：（1）將直線方程化為一般式為：xy30，如圖，由點(diǎn)到直線的距離公式得d12。（2）方法一 直線方程化為一般式為：y10，由點(diǎn)到直線的距離公式得d23。方法二y1平行于x軸，如圖，d2|12|3。（3）方法一y軸的方程為x0，由點(diǎn)到直線的距離公式得d31.方法二如圖可知，d3|10|1。技巧點(diǎn)撥：應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)注意的三個(gè)問(wèn)題：1. 直線方程應(yīng)為一般式，若給出其他形式應(yīng)化為一般式。2. 點(diǎn)P在直線l上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為0，公式仍然適用。3. 直線方程AxByC0中，A0或B0時(shí)公式也成立，但由于直線是特殊直線（與坐標(biāo)軸垂直），故也可用數(shù)形結(jié)合思想求解。例題2 （兩條平行直線間的距離）求兩條平行直線l1：6x8y20和l2：3x4y150的距離。思路分析：解答本題可先在直線l1上任取一點(diǎn)A（2,1），然后再求點(diǎn)A到直線l2的距離即為兩條平行直線間的距離；或者直接應(yīng)用兩條平行線間的距離公式d求解。答案：方法一若在直線l1上任取一點(diǎn)A（2,1），則點(diǎn)A到直線l2的距離即為所求的平行線間的距離，則d1.方法二l1：3x4y100，l2：3x4y150，故d1.技巧點(diǎn)撥：針對(duì)這種類型的題目一般有兩種思路：1. 利用“化歸”思想將兩平行直線的距離轉(zhuǎn)化為求其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離。2. 直接應(yīng)用公式d，但要注意兩直線方程中x、y的系數(shù)必須分別相同。對(duì)稱在求最值中的應(yīng)用【滿分訓(xùn)練】在直線：上，（1）求一點(diǎn)，使到和的距離之差最大；（2）求一點(diǎn)，使到和的距離之和最小。思路分析：設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，與的交點(diǎn)滿足（1）；設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，與的交點(diǎn)滿足（2）。事實(shí)上，對(duì)于（1），若是異于的點(diǎn)，則；對(duì)于（2），若是異于的點(diǎn)，則。答案：（1）如圖所示，設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，即， 又由于的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且在直線上，即 解式得于是所在直線的方程為，即解與組成的方程組得即與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，為所求。（2）如圖，設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，同（1）中方法求出的坐標(biāo)為，所在直線的方程為，聯(lián)立和的方程，解出其交點(diǎn)坐標(biāo)為為所求。技巧點(diǎn)撥：本題屬于求最值問(wèn)題，它利用幾何中的對(duì)稱方法解決，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。