2022高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3.2 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值學(xué)案 新人教B版選修2-21理解函數(shù)極值、極值點(diǎn)的有關(guān)概念，掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的方法2注意結(jié)合函數(shù)的圖象理解用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值(最值)的方法，逐步養(yǎng)成用數(shù)形結(jié)合的思想方法去分析問題和解決問題的思維習(xí)慣1函數(shù)的極值與最值(1)已知函數(shù)yf(x)，設(shè)x0是定義域內(nèi)任一點(diǎn)，如果對(duì)x0附近的所有點(diǎn)x，都有_f(x0)，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取極大值，記作y極大f(x0)，并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個(gè)_如果在x0附近都有_，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取極小值，記作y極小f(x0)，并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個(gè)_(2)極大值與極小值統(tǒng)稱為_，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為_(3)函數(shù)f(x)的最大(小)值是函數(shù)在指定區(qū)間上的最大(小)的值(1)極值是一個(gè)局部概念由定義，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)最大或最小(2)函數(shù)的極值不是唯一的，即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè)(3)極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系，即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值如圖所示，x1是極大值點(diǎn)，x4是極小值點(diǎn)，而f(x4)f(x1)(4)函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能是區(qū)間的端點(diǎn)【做一做11】下列說法中正確的是()A若f(x)f(x0)，則f(x0)為f(x)的極小值B若f(x)f(x0)，則f(x0)為f(x)的極大值C若f(x0)為f(x)的極大值，則f(x)f(x0)D以上都不對(duì)【做一做12】若函數(shù)在閉區(qū)間上有唯一的極大值和極小值，則()A極大值一定是最大值，且極小值一定是最小值B極大值一定是最大值，或極小值一定是最小值C極大值不一定是最大值，極小值也不一定是最小值D極大值必大于極小值2求函數(shù)yf(x)極值的步驟第1步：求_；第2步：求方程_的所有實(shí)數(shù)根；第3步：考察在每個(gè)根x0附近，從左到右，導(dǎo)函數(shù)f(x)的符號(hào)如何變化如果f(x)的符號(hào)由正變負(fù)，則f(x0)是_；如果由負(fù)變正，則f(x0)是_如果在f(x)0的根xx0的左、右側(cè)，f(x)的符號(hào)不變，則f(x0)不是極值可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必須是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，如f(x)x3在x0處導(dǎo)數(shù)f(0)0，但x0不是它的極值點(diǎn)，即可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)0是該函數(shù)在x0處取得極值的必要不充分條件【做一做21】函數(shù)yx2x1的極小值是()A1 B C D不存在【做一做22】若函數(shù)y2x33x2a的極大值是6，則a_.3求函數(shù)yf(x)在a，b上的最大(小)值的步驟第1步：求f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)所有使f(x)0的點(diǎn)第2步：計(jì)算函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)使f(x)0的所有點(diǎn)和端點(diǎn)的_，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值利用導(dǎo)數(shù)法求最值，實(shí)質(zhì)是比較某些特殊點(diǎn)的函數(shù)值來得到最值因此，我們可以在導(dǎo)數(shù)法求最值的基礎(chǔ)上進(jìn)行變通，令f(x)0得到方程的根x1，x2，直接求得函數(shù)值f(x1)，f(x2)，然后再與端點(diǎn)的函數(shù)值比較就可以了，省略了判斷極值的過程當(dāng)然導(dǎo)數(shù)法與函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合，也可以求最值【做一做3】函數(shù)f(x)x3x2x在區(qū)間2,1上的最大值為_，最小值為_函數(shù)的極值與最值有何關(guān)系？剖析：如果函數(shù)在某些點(diǎn)處不可導(dǎo)，也需要考慮這些點(diǎn)是否是極值點(diǎn)、函數(shù)的最大值和最小值點(diǎn)觀察下圖中一個(gè)定義在區(qū)間a，b上的函數(shù)f(x)的圖象圖中f(x1)與f(x3)是極小值，f(x2)是極大值函數(shù)f(x)在a，b上的最大值是f(b)，最小值是f(x3)一般地，在區(qū)間a，b上如果函數(shù)f(x)的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線，那么該函數(shù)在a，b上必有最大值與最小值注意：(1)在區(qū)間(a，b)內(nèi)函數(shù)f(x)的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線，則該函數(shù)不一定有最大值與最小值，如函數(shù)f(x)在(0，)內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值(2)函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出的(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線，是f(x)在區(qū)間a，b上有最大值與最小值的充分而不必要條件(4)函數(shù)在其定義域上的最大值、最小值最多各有一個(gè)，而函數(shù)的極值可能不止一個(gè)，也可能一個(gè)也沒有題型一 求函數(shù)的極值【例題1】求下列各函數(shù)的極值：(1)f(x)x2·ex；(2)y.分析：按照求極值的方法，首先從方程f(x)0入手，求出函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)所有可解的極值點(diǎn)，然后按極值的定義判斷并求值反思：函數(shù)的極值研究是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，可加深對(duì)函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)關(guān)系的理解，yf(x)的導(dǎo)數(shù)存在時(shí)，f(x0)0是yf(x)在xx0處有極值的必要條件，只有再加上x0兩側(cè)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)相反，才能斷定yf(x)在xx0處取得極值題型二 求函數(shù)在區(qū)間a，b上的最值【例題2】已知函數(shù)f(x)x，求函數(shù)f(x)的最大值分析：求出f(x)的極值及定義域區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較得到最大值反思：如果在區(qū)間a，b上函數(shù)yf(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在區(qū)間a，b上的最值可簡(jiǎn)化過程，即直接將極值點(diǎn)的函數(shù)值與端點(diǎn)的函數(shù)值比較，即可判定最大(或最小)的函數(shù)值，就是最大(或最小)值題型三 由函數(shù)的最值求參數(shù)的值【例題3】已知函數(shù)f(x)ax36ax2b，問是否存在實(shí)數(shù)a，b使f(x)在區(qū)間1,2上取得最大值3，最小值29，若存在，求出a，b的值；若不存在，請(qǐng)說明理由分析：利用求最值的方法確定a，b的值，注意對(duì)a的討論反思：此類題目屬于逆向思維題，但仍可根據(jù)求函數(shù)最值的步驟來求解，借助于待定系數(shù)法求其參數(shù)值題型四 易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，因此已知函數(shù)的極值點(diǎn)求某些參變量的值時(shí)，應(yīng)驗(yàn)證所得結(jié)果是否符合題意【例題4】已知f(x)x33ax2bxa2在x1處有極值0，求常數(shù)a，b的值錯(cuò)解：因?yàn)閒(x)在x1處有極值0，且f(x)3x26axb，所以即解得或綜上所述，a1，b3或a2，b9.1下列結(jié)論中，正確的是()A導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)B如果在x0附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，那么f(x0)是極大值C如果在x0附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，那么f(x0)是極小值D如果在x0附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，那么f(x0)是極大值2下列說法正確的是()A函數(shù)在其定義域內(nèi)若有最值與極值，則其極大值便是最大值，極小值便是最小值B閉區(qū)間上圖象連續(xù)不斷的函數(shù)一定有最值，也一定有極值C若函數(shù)在其定義域上有最值，則一定有極值，反之，若有極值則一定有最值D若函數(shù)在給定區(qū)間上有最值，則最多有一個(gè)最大值，一個(gè)最小值；但若有極值，則可有多個(gè)極值甚至無窮多個(gè)3函數(shù)f(x)2x33x212x5在0,3上的最大值和最小值分別是()A5，15 B5，4C4，15 D5，164函數(shù)f(x)2x36x218x7的極大值為_，極小值為_5函數(shù)y2x36x2m(m為常數(shù))，在區(qū)間2,2上有最大值3，那么它在區(qū)間2,2上的最小值為_答案：基礎(chǔ)知識(shí)·梳理1(1)f(x)極大值點(diǎn)f(x)f(x0)極小值點(diǎn)(2)極值極值點(diǎn)【做一做11】D【做一做12】C2導(dǎo)數(shù)f(x)f(x)0極大值極小值【做一做21】B【做一做22】6y6x26x6x(x1)，當(dāng)x(，0)或x(1，)時(shí)，y0，原函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)x(0,1)時(shí)，y0，原函數(shù)為減函數(shù)，故當(dāng)x0時(shí)，y極大值a6.3函數(shù)值【做一做3】12f(x)3x22x1，令f(x)0，得x11，x2，又f(1)1，f()，f(2)2，f(1)1，故函數(shù)的最大值為1，最小值為2.典型例題·領(lǐng)悟【例題1】解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x)2xexx2ex(x)x(2x)ex，令f(x)0，得x0或x2，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)極小值0極大值4e2從表中可以看出，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)有極小值，且f(0)0；當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)有極大值，且f(2)4e2.(2)y，令y0，得x，當(dāng)x在R上取值時(shí)，y，y的變化情況如下表：xy0y極大值當(dāng)x時(shí)，函數(shù)取得極大值，且f().【例題2】解：f(x)1，令f(x)0，得x21ln x，顯然x1是方程的解令g(x)x2ln x1，x(0，)，則g(x)2x0，函數(shù)g(x)在(0，)上單調(diào)，x1是方程f(x)0的唯一解當(dāng)0x1時(shí)，f(x)10，當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1，)內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)有最大值f(x)maxf(1)1.【例題3】解：顯然a0，f(x)3ax212ax3ax(x4)，令f(x)0，解得x10，x24(舍去)(1)當(dāng)a0，x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化狀態(tài)如下表：x1,000,2f(x)0f(x)極大值所以當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得最大值所以b3.又f(2)16a3，f(1)7a3，f(1)f(2)，所以當(dāng)x2時(shí)，f(x)取得最小值，所以16a329，即a2.(2)當(dāng)a0，x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化狀態(tài)如下表：x1,000,2f(x)0f(x)極小值所以當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得最小值所以b29.又f(2)16a29，f(1)7a29，f(2)f(1)，所以當(dāng)x2時(shí)，f(x)取得最大值，所以16a293，即a2.綜上所述，a2，b3或a2，b29.【例題4】錯(cuò)因分析：根據(jù)極值定義，函數(shù)先減后增為極小值，函數(shù)先增后減為極大值，錯(cuò)解中未驗(yàn)證x1兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性，故求錯(cuò)正解：因?yàn)閒(x)在x1處有極值0，且f(x)3x26axb，所以即解得或當(dāng)a1，b3時(shí)f(x)3x26x33(x1)20，所以f(x)在R上為增函數(shù)，無極值，故舍去，當(dāng)a2，b9時(shí)，f(x)3x212x93(x1)(x3)，當(dāng)x(3，1)時(shí)，f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x1，)時(shí)，f(x)為增函數(shù)所以f(x)在x1處取得極小值，因此a2，b9.隨堂練習(xí)·鞏固1B2D3A由f(x)6x26x126(x1)(x2)0，得x1或x2.因?yàn)閒(0)5，f(2)15，f(3)4，所以f(2)f(3)f(0)所以f(x)maxf(0)5，f(x)minf(2)15.41747由f(x)6x212x186(x1)(x3)0，得x1或x3，當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)0，當(dāng)x(1,3)時(shí)，f(x)0，當(dāng)x(3，)時(shí)，f(x)0，所以極大值為f(1)17，極小值為f(3)47.537y6x212x6x(x2)，在(2,2)上，只有x0是f(x)的極值點(diǎn)，且為極大值點(diǎn)f(x)極大值f(0)m，又f(2)1624mm40，f(2)1624mm8.容易判斷m40m8m，m3.f(x)minm4037.