2022高中數(shù)學(xué) 第2章 平面解析幾何初步 第二節(jié) 圓與方程2 直線與圓的位置關(guān)系學(xué)案 蘇教版必修2一、考點突破知識點課標要求題型說明直線與圓的位置關(guān)系1. 掌握直線與圓的位置關(guān)系的兩種判定方法；2. 能利用圓心到直線的距離、半弦長、圓的半徑三者之間的關(guān)系，解有關(guān)弦長的問題；3. 理解一元二次方程根的判定及根與系數(shù)關(guān)系，并能利用它們解一些簡單的直線與圓的關(guān)系問題選擇題填空題本節(jié)課的核心是“如何用數(shù)的關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系”，學(xué)會從不同角度分析思考問題，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。為此，可類比直線與直線的交點坐標的求法，讓學(xué)生認識到用解析法解決平面幾何問題的優(yōu)越性；同時滲透了“數(shù)形結(jié)合”的思想方法二、重難點提示重點：掌握用幾何法和解析法判斷直線與圓的位置關(guān)系；能用直線與圓的方程解決一些簡單的實際問題。難點：靈活地運用“數(shù)形結(jié)合”、解析法來解決直線與圓的相關(guān)問題?？键c一：直線與圓的位置關(guān)系及判斷方法直線AxByC0（A2B20）與圓（xa）2（yb）2r2（r0）的位置關(guān)系及判斷方法。位置關(guān)系相交相切相離公共點個數(shù)兩個一個零個幾何法：設(shè)圓心到直線的距離ddrdrdr代數(shù)法：由消元得到一元二次方程，判別式為000圖形考點二：直線與圓相交時弦長的求法設(shè)直線與圓C交于兩點，設(shè)弦心距為，圓半徑為，弦長為，則有，即?？键c三：直線與圓相切時切線的求法1. 求斜率為（為常數(shù)）的切線方程設(shè)切線的方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑列出方程求。2. 求過一點的圓的切線方程首先判斷這點與圓的位置關(guān)系，看點在圓外還是圓上。 若點在圓上，則連接圓心和該點的直線與切線垂直，利用垂直關(guān)系確定切線的斜率，從而確定切線方程；若切線的斜率不存在，其切線方程也確定了。 若點在圓外，求切線時常用以下方法：A. 設(shè)切線斜率，寫出切線方程，利用判別式等于零求斜率；B. 設(shè)切線斜率，利用圓心到直線的距離等于半徑求斜率；C. 設(shè)切點坐標，則利用切線方程來求解。例題1 （直線與圓位置關(guān)系的判斷）如圖所示，已知直線l：ykx5與圓C：（x1）2y21。（1）當k為何值時，直線l與圓C相交？（2）當k為何值時，直線l與圓C相切？（3）當k為何值時，直線l與圓C相離？思路分析：思路一：聯(lián)立l及C的方程一元二次方程直線與圓的關(guān)系；思路二：求圓心到直線l的距離d比較d與半徑1的大小下結(jié)論。答案：方法一由，消去y，得（x1）2（kx5）21，即（k21）x2（10k2）x250，則（10k2）24×25（k21）9640k。（1）當>0，即k<時，直線l與圓C相交。（2）當0，即k時，直線l與圓C相切。（3）當<0，即k>時，直線l與圓C相離。方法二圓C的圓心C（1，0），半徑r1，由點到直線的距離公式得圓心C到直線l的距離d。（1）當<1，即k<時，直線l與圓C相交。（2）當1，即k時，直線l與圓C相切。（3）當>1，即k>時，直線l與圓C相離。 技巧點撥：直線與圓位置關(guān)系判斷的三種方法（1）幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷。（2）代數(shù)法：根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的個數(shù)來判斷。（3）直線系法：若直線恒過定點，可通過判斷點與圓的位置關(guān)系判斷，但有一定的局限性，必須是過定點的直線系。例題2 （直線與圓的相交弦問題）求直線l：3xy60被圓C：x2y22y40截得的弦長。思路分析：方程組解出交點坐標兩點間距離即弦長或方程組得x1x2與x1·x2弦長公式求弦長或圓心到直線的距離構(gòu)造直角三角形求弦長。答案：方法一由，得交點A（1，3），B（2，0），弦AB的長為AB。方法二由 消去y得x23x20。設(shè)兩交點A、B的坐標分別為A（x1，y1）、B（x2，y2）則由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x23，x1·x22。|AB|，即弦AB的長為。方法三圓C：x2y22y40可化為x2（y1）25，其圓心坐標（0，1），半徑r，點（0，1）到直線l的距離為d，所以半弦長為 ，所以弦長AB。技巧點撥：對于弦長問題，常利用第三種方法，即利用半弦長、弦心距、半徑構(gòu)成的直角三角形，通過數(shù)形結(jié)合，利用勾股定理來求解。忽略直線斜率不存在的情況致誤例題 已知圓M：（x1）2（y1）24，直線a過點P（2，3）且與圓M交于A，B兩點，且AB2，求直線a的方程?！惧e解】設(shè)直線a的方程為y3k（x2），即kxy32k0。如圖所示，作MCAB于C，在直角三角形MBC中，BC，MB2，MC1，由點到直線的距離公式得點M（1，1）到直線a的距離為1，解得k，所以直線a的方程為3x4y60?！惧e因分析】錯解忽略了直線a的斜率不存在的情況。【防范措施】點斜式方程并不能表示出斜率不存在的情況，故在求直線方程時，若設(shè)點斜式方程，根據(jù)條件求得斜率后，應(yīng)注意驗證斜率不存在的情況是否滿足題意。本題就是忽略了斜率不存在的特殊情況而出錯的?！菊狻慨斨本€a的斜率存在時，設(shè)直線a的方程為y3k（x2），即kxy32k0。如圖所示，作MCAB于C，在直角三角形MBC中，BC，MB2，MC1，由點到直線的距離公式得點M（1，1）到直線a的距離為1，解得k，所以直線a的方程為3x4y60。當直線a的斜率不存在時，其方程為x2，圓心到此直線的距離也是1，所以符合題意。綜上，直線a的方程為3x4y60或x2。