2022高中數(shù)學(xué) 第1章 立體幾何初步 第二節(jié) 點、直線、面的位置關(guān)系6 線面垂直的判定和性質(zhì)學(xué)案 蘇教版必修2一、考點突破知識點課標(biāo)要求題型說明線面垂直的判定和性質(zhì)1. 能正確判斷直線與平面垂直的位置關(guān)系；2. 理解直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理填空題解答題線線垂直、線面垂直關(guān)系是立體幾何中的核心內(nèi)容之一，注意線面垂直的性質(zhì)和判定、定義之間的相互轉(zhuǎn)化二、重難點提示重點：直線與平面垂直的定義、線面垂直的判定及性質(zhì)定理。難點：操作確認(rèn)并概括出直線與平面垂直的定義和判定及性質(zhì)定理。考點一：直線與平面垂直的概念如果一條直線a與一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則稱直線a與平面互相垂直，符號表示：a，圖形表示如圖：【要點詮釋】1. 作直線與平面垂直時，要注意使直線與平行四邊形橫邊垂直，加強(qiáng)直觀性。2. 定義中的“任意一條直線”和“所有直線”同義，不能改成“無窮多條直線”。因為任意一條直線，無論它是和平面平行，或是在平面內(nèi)。或是與平面相交，總能與平面內(nèi)無數(shù)多條直線垂直，但不一定和平面內(nèi)所有直線都垂直。3. 過一點有且只有一條直線與已知平面垂直。考點二：直線與平面垂直的判定定理1. 直線和平面垂直的判定定理文字語言圖形語言符號語言一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面l【要點詮釋】直線和平面垂直的判定定理可簡述為：若線線垂直，則線面垂直。定理中的關(guān)鍵詞語是“兩條相交直線”。2. 推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直這個平面。【規(guī)律總結(jié)】判定線面垂直的方法（1）線面垂直的定義：a與內(nèi)任何直線都垂直a；（2）判定定理：l；（3）推論：ab，ab；考點三：直線與平面垂直的性質(zhì)定理1. 直線和平面垂直的性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行ab2. 直線和平面垂直的性質(zhì)直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)任意直線；垂直于同一個平面的兩條直線平行?！竞诵耐黄啤?. 線面垂直的定義具有雙重性，既可以由線面垂直得出線線垂直，又可以由線線垂直得出線面垂直。2. 轉(zhuǎn)化思想：垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化在解決直線與平面垂直的問題過程中，要注意直線與平面垂直定義、判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化。3. 線面垂直的性質(zhì)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的依據(jù)。例題1 （直線和平面垂直的定義）下面敘述中：若直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線與平面垂直；若直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則這條直線與平面垂直；若直線垂直于梯形的兩腰所在的直線，則這條直線垂直于兩底邊所在的直線；若直線垂直于梯形的兩底邊所在的直線，則這條直線垂直于兩腰所在的直線，其中正確的有（）A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個思路分析：與線面垂直的定義及線面垂直的判定定理進(jìn)行對照，區(qū)分異同，分析條件變換的影響，辨析正誤。答案：中若兩條直線為平行直線，則這條直線不一定與平面垂直，所以不正確；由定義知正確；中直線與梯形的兩腰所在直線垂直，則與梯形所在平面垂直，由定義知也與兩底邊所在直線垂直，所以正確；中直線與梯形兩底邊所在直線垂直，則不一定與梯形所在平面垂直，故不一定與兩腰所在直線垂直，不正確，故選B。技巧點撥：1. 直線和平面垂直的定義是描述性定義，對直線的任意性要注意理解。實際上，“任何一條”與“所有”表達(dá)相同的含義，當(dāng)直線與平面垂直時，該直線就垂直于這個平面內(nèi)的任何直線，由此可知，如果一條直線與一個平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個平面垂直。2. 由定義可得線面垂直線線垂直，即若a，b，則ab。例題2 （直線與平面垂直的判定）在平面內(nèi)有直角BCD，AB平面，求證CD平面ABC。思路分析：要證CD平面ABC，只要證CDBC，且CDAB便可。答案：技巧點撥：1. 使用直線與平面垂直的判定定理的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到兩條相交直線都與已知直線垂直，即把線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直來解決。2. 線面垂直的定義具有雙重作用：判定和性質(zhì)，證題時常用它作為性質(zhì)使用，即“如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線就垂直于平面內(nèi)的任意一條直線”。例題3 （直線與平面垂直的性質(zhì)）已知平面，為異面直線的公垂線，。求證：。思路分析：利用直線與平面垂直的定義和性質(zhì)定理證明。答案：如圖所示，設(shè)，過作，則，又，同理，若與確定平面，則又。技巧點撥：直線與平面垂直的性質(zhì)定理是平行關(guān)系和垂直關(guān)系的完美結(jié)合，利用垂直關(guān)系可判定平行，反過來，由平行關(guān)系，也可判定垂直關(guān)系，即兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面。立體幾何中的翻折問題【滿分訓(xùn)練】（浙江）已知矩形ABCD，AB1，BC，將ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中（）A. 存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直B. 存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直C. 存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直D. 對任意位置，三對直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直思路分析：關(guān)鍵是找出圖形在翻折過程中變化的量與不變的量。答案：對于選項A，過點A作AEBD，垂足為E，過點C作CFBD，垂足為F，在圖（1）中，由邊AB，BC不相等可知點E，F(xiàn)不重合，在圖（2）中，連接CE，若直線AC與直線BD垂直，又ACAEA，BD面ACE，BDCE，與點E，F(xiàn)不重合相矛盾，故A錯誤；對于選項B，若ABCD，又ABAD，ADCDD，AB面ADC，ABAC，由AB<BC可知存在這樣的等腰直角三角形，使得直線AB與直線CD垂直，故B正確；對于選項C，若ADBC，又DCBC，ADDCD，BC面ADC，BCAC，已知BC，AB1，BC>AB，不存在這樣的直角三角形，C錯誤。由上可知D錯誤，故選B。技巧點撥：對于翻折問題，關(guān)鍵是找到題目中哪些關(guān)系改變，哪些關(guān)系沒有改變。