2022高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.2.2 間接證明（1）學(xué)案 蘇教版選修1 -2學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解反證法是間接證明的一種基本方法.2.理解反證法的思考過程，會(huì)用反證法證明數(shù)學(xué)問題知識(shí)鏈接1有人說反證法就是通過證明逆否命題來證明原命題，這種說法對(duì)嗎？為什么？答這種說法是錯(cuò)誤的，反證法是先否定命題，然后再證明命題的否定是錯(cuò)誤的，從而肯定原命題正確，不是通過逆否命題證題命題的否定與原命題是對(duì)立的，原命題正確，其命題的否定一定不對(duì)2反證法主要適用于什么情形？答要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰；如果從正面證明，需要分成多種情形進(jìn)行分類討論，而從反面進(jìn)行證明，只要研究一種或很少的幾種情形預(yù)習(xí)導(dǎo)引1間接證明不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法稱為間接證明2反證法從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致邏輯矛盾，從而達(dá)到新的否定(即肯定原命題)3反證法步驟反證法的過程包括下面3個(gè)步驟：反設(shè)，歸謬，存真4反證法常見的矛盾類型反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等5反證法中常用的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”如下：結(jié)論詞至少有一個(gè)至多有一個(gè)至少有n個(gè)至多有n個(gè)反設(shè)詞一個(gè)也沒有(不存在)至少有兩個(gè)至多有(n1)個(gè)至少有(n1)個(gè)結(jié)論詞只有一個(gè)對(duì)所有x成立對(duì)任意x不成立反設(shè)詞沒有或至少有兩個(gè)存在某個(gè)x不成立存在某個(gè)x成立結(jié)論詞都是一定是p或qp且q反設(shè)詞不都是不一定是綈p且綈q綈p或綈q要點(diǎn)一用反證法證明“至多”“至少”型命題例1已知x，y>0，且xy>2.求證：，中至少有一個(gè)小于2.證明假設(shè)，都不小于2，即2，2.x，y>0，1x2y,1y2x.2xy2(xy)，即xy2與已知xy>2矛盾，中至少有一個(gè)小于2.規(guī)律方法對(duì)于含有“至多”、“至少”的命題適合用反證法，對(duì)于此類問題，需仔細(xì)體會(huì)“至少有一個(gè)”、“至多有一個(gè)”等字眼的含義，弄清結(jié)論的否定是什么，避免出現(xiàn)證明遺漏的錯(cuò)誤跟蹤演練1已知a，b，c，dR，且abcd1，acbd>1，求證：a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)證明假設(shè)a，b，c，d都是非負(fù)數(shù)，abcd1，(ab)(cd)1.又(ab)(cd)acbdadbcacbd，acbd1.這與已知acbd>1矛盾，a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)要點(diǎn)二用反證法證明不存在、惟一性命題例2求證對(duì)于直線l：ykx1，不存在這樣的實(shí)數(shù)k，使得l與雙曲線C：3x2y21的交點(diǎn)A、B關(guān)于直線yax(a為常數(shù))對(duì)稱證明假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得A、B關(guān)于直線yax對(duì)稱，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則有(1)直線l：ykx1與直線yax垂直；(2)點(diǎn)A、B在直線l：ykx1上；(3)線段AB的中點(diǎn)在直線yax上，所以由得(3k2)x22kx20.當(dāng)k23時(shí)，l與雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意由、得a(x1x2)k(x1x2)2，由知x1x2，代入整理得：ak3，這與矛盾所以假設(shè)不成立，故不存在實(shí)數(shù)k，使得A、B關(guān)于直線yax對(duì)稱規(guī)律方法證明“惟一性”問題的方法：“惟一性”包含“有一個(gè)”和“除了這個(gè)沒有另外一個(gè)”兩層意思證明后一層意思時(shí)，采用直接證法往往會(huì)相當(dāng)困難，因此一般情況下都采用間接證法，即用反證法(假設(shè)“有另外一個(gè)”，推出矛盾)或同一法(假設(shè)“有另外一個(gè)”，推出它就是“已知那一個(gè)”)證明，而用反證法有時(shí)比用同一法更方便跟蹤演練2求證：過一點(diǎn)只有一條直線與已知平面垂直已知：平面和一點(diǎn)P.求證：過點(diǎn)P與垂直的直線只有一條證明如圖所示，不論點(diǎn)P在內(nèi)還是在外，設(shè)PA，垂足為A(或P)假設(shè)過點(diǎn)P不止有一條直線與垂直，如還有另一條直線PB，設(shè)PA，PB確定的平面為，且a，于是在平面內(nèi)過點(diǎn)P有兩條直線PA，PB垂直于a，這與過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直相矛盾，假設(shè)不成立，原命題成立要點(diǎn)三用反證法證明否定性命題例3已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，S393.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn；(2)設(shè)bn(nN*)，求證：數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列(1)解設(shè)公差為d，由已知得d2，故an2n1，Snn(n)(2)證明由(1)得bnn.假設(shè)數(shù)列bn中存在三項(xiàng)bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比數(shù)列，則bbpbr，即(q)2(p)(r)，(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，2pr，(pr)20，pr，這與pr矛盾數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列規(guī)律方法(1)當(dāng)結(jié)論中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等詞語(yǔ)的命題時(shí)，此類問題的反面比較具體，適于應(yīng)用反證法例如證明異面直線，可以假設(shè)共面，再把假設(shè)作為已知條件推導(dǎo)出矛盾(2)反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理，就不是反證法跟蹤演練3已知f(x)ax(a>1)，證明方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根證明假設(shè)x0是f(x)0的負(fù)數(shù)根，則x0<0且x01且，由0<<10<<1，解得<x0<2，這與x0<0矛盾，所以假設(shè)不成立，故方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根1用反證法證明“在ABC中至多有一個(gè)直角或鈍角”，第一步應(yīng)假設(shè)_答案三角形中至少有兩個(gè)直角或鈍角2用反證法證明“三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°”，應(yīng)先假設(shè)這個(gè)三角形中_答案每一個(gè)內(nèi)角都小于60°3“a<b”的反面應(yīng)是_答案ab或a>b4用反證法證明命題：“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3axb0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是_答案方程x3axb0沒有實(shí)根解析方程x3axb0至少有一個(gè)實(shí)根的反面是方程x3axb0沒有實(shí)根5已知a是整數(shù)，a2是偶數(shù)，求證a也是偶數(shù)證明(反證法)假設(shè)a不是偶數(shù)，即a是奇數(shù)設(shè)a2n1(nZ)，則a24n24n1.4(n2n)是偶數(shù)，4n24n1是奇數(shù)，這與已知a2是偶數(shù)矛盾由上述矛盾可知，a一定是偶數(shù)1.反證法證明的基本步驟：(1)反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假定原結(jié)論的反面為真；(2)歸謬從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果；(3)存真由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立2用反證法證題要把握三點(diǎn)：(1)必須先否定結(jié)論，對(duì)于結(jié)論的反面出現(xiàn)的多種可能，要逐一論證，缺少任何一種可能，證明都是不全面的(2)反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行論證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行論證，就不是反證法(3)反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以與已知矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾，但推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾這個(gè)矛盾可以是_(填序號(hào))與已知條件矛盾；與假設(shè)矛盾；與定義、公理、定理矛盾；與事實(shí)矛盾答案2否定：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)正確的反設(shè)為_答案a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)解析自然數(shù)a，b，c的奇偶性共有四種情形：3個(gè)都是奇數(shù)，1個(gè)偶數(shù)2個(gè)奇數(shù)，2個(gè)偶數(shù)1個(gè)奇數(shù)，3個(gè)都是偶數(shù)，所以否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)正確的反設(shè)為“a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)”3有下列敘述：“a>b”的反面是“a<b”；“xy”的反面是“x>y或x<y”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形內(nèi)”；“三角形最多有一個(gè)鈍角”的反面是“三角形沒有鈍角”其中正確的敘述有_答案解析錯(cuò)：應(yīng)為ab；對(duì)；錯(cuò)：應(yīng)為三角形的外心在三角形內(nèi)或在三角形的邊上；錯(cuò)：應(yīng)為三角形可以有2個(gè)或2個(gè)以上的鈍角4用反證法證明命題：“a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被5整除”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為_答案a，b都不能被5整除解析“至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)也沒有”，即“a，b都不能被5整除”5用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a，b，c中存在偶數(shù)”時(shí)，否定結(jié)論應(yīng)為_答案a，b，c都不是偶數(shù)解析a，b，c中存在偶數(shù)即至少有一個(gè)偶數(shù)，其否定為a，b，c都不是偶數(shù)6“任何三角形的外角都至少有兩個(gè)鈍角”的否定應(yīng)是_答案存在一個(gè)三角形，其外角最多有一個(gè)鈍角解析“任何三角形”的否定是“存在一個(gè)三角形”，“至少有兩個(gè)”的否定是“最多有一個(gè)”7設(shè)二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)中，a、b、c均為整數(shù)，且f(0)，f(1)均為奇數(shù)求證f(x)0無整數(shù)根證明設(shè)f(x)0有一個(gè)整數(shù)根k，則ak2bkc.又f(0)c，f(1)abc均為奇數(shù)，ab為偶數(shù)，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，顯然與式矛盾；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，設(shè)k2n1(nZ)，則ak2bk(2n1)·(2naab)為偶數(shù)，也與式矛盾，故假設(shè)不成立，所以方程f(x)0無整數(shù)根二、能力提升8用反證法證明命題“若a2b20，則a，b全為0(a，b為實(shí)數(shù))”，其反設(shè)為_答案a，b不全為0解析“a，b全為0”即是“a0且b0”，因此它的反設(shè)為“a0或b0”9設(shè)a，b，c都是正數(shù)，則下面關(guān)于三個(gè)數(shù)a，b，c的說法正確的是_都大于2；至少有一個(gè)大于2；至少有一個(gè)不小于2；至少有一個(gè)不大于2.答案解析假設(shè)a<2，b<2，c<2，則(a)(b)(c)<6.又(a)(b)(c)(a)(b)(c)2226，這與假設(shè)得到的不等式相矛盾，從而假設(shè)不正確，所以這三個(gè)數(shù)至少有一個(gè)不小于2.10若下列兩個(gè)方程x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案a2或a1解析若兩方程均無實(shí)根，則1(a1)24a2(3a1)(a1)<0，a<1或a>.2(2a)28a4a(a2)<0，2<a<0，故2<a<1.若兩個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則a2或a1.11已知abc>0，abbcca>0，abc>0，求證：a>0，b>0，c>0.證明用反證法：假設(shè)a，b，c不都是正數(shù)，由abc>0可知，這三個(gè)數(shù)中必有兩個(gè)為負(fù)數(shù)，一個(gè)為正數(shù)，不妨設(shè)a<0，b<0，c>0，則由abc>0，可得c>(ab)，又ab<0，c(ab)<(ab)(ab)，abc(ab)<(ab)(ab)ab，即abbcca<a2abb2.a2>0，ab>0，b2>0，a2abb2(a2abb2)<0，即abbcca<0，這與已知abbcca>0矛盾，假設(shè)不成立a>0，b>0，c>0成立12已知a，b，c(0,1)，求證(1a)b，(1b)c，(1c)a不可能都大于.證明假設(shè)三個(gè)式子同時(shí)大于，即(1a)b>，(1b)c>，(1c)a>，三式相乘得(1a)a·(1b)b·(1c)c>，又因?yàn)?<a<1，所以0<a(1a)2.同理0<b(1b)，0<c(1c)，所以(1a)a·(1b)b·(1c)c，與矛盾，所以假設(shè)不成立，故原命題成立三、探究與創(chuàng)新13已知f(x)是R上的增函數(shù)，a，bR.證明下面兩個(gè)命題：(1)若ab0，則f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)若f(a)f(b)f(a)f(b)，則ab0.證明(1)因?yàn)閍b0，所以ab，ba，又因?yàn)閒(x)是R上的增函數(shù)，所以f(a)f(b)，f(b)f(a)，由不等式的性質(zhì)可知f(a)f(b)f(a)f(b)(2)假設(shè)ab0，則ab，ba，因?yàn)閒(x)是R上的增函數(shù)，所以f(a)f(b)，f(b)f(a)，所以f(a)f(b)f(a)f(b)，這與已知f(a)f(b)f(a)f(b)矛盾，所以假設(shè)不正確，所以原命題成立