2022高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.1.2 演繹推理學(xué)案 新人教B版選修2-21掌握演繹推理的基本模式，特別是三段論模式，并學(xué)會(huì)運(yùn)用這些推理模式進(jìn)行推理2了解合情推理、演繹推理之間的聯(lián)系和區(qū)別1演繹推理根據(jù)概念的定義或一些真命題，依照一定的邏輯規(guī)則得到正確結(jié)論的過(guò)程，叫做_它的特征是：當(dāng)前提為_(kāi)時(shí)，結(jié)論_為真演繹推理的特點(diǎn)：(1)演繹的前提是一般性原理，演繹所得的結(jié)論是蘊(yùn)涵于前提之中的個(gè)別、特殊事實(shí)，結(jié)論完全蘊(yùn)涵于前提之中(2)在演繹推理中，前提與結(jié)論之間存在必然的聯(lián)系，只要前提是真實(shí)的，推理的形式是正確的，那么結(jié)論也必定是正確的因而演繹推理是數(shù)學(xué)中嚴(yán)格證明的工具(3)演繹推理是一種收斂性的思維方法，它的創(chuàng)造性較少，但卻具有條理清晰、令人信服的論證作用，有助于科學(xué)的理論化和系統(tǒng)化【做一做1】演繹推理是()A部分到整體，個(gè)別到一般的推理B特殊到特殊的推理C一般到特殊的推理D一般到一般的推理2演繹推理的四種推理規(guī)則(1)假言推理：用符號(hào)表示這種推理規(guī)則就是“如果pq，p真，則q真”假言推理的本質(zhì)是，通過(guò)驗(yàn)證結(jié)論的充分條件為真，判斷結(jié)論為真(2)三段論推理：用符號(hào)表示這種推理規(guī)則就是“M是P，S是M，所以_”(3)傳遞性關(guān)系推理：用符號(hào)表示推理規(guī)則是“如果aRb，bRc，則_”，其中“R”表示具有傳遞性的關(guān)系。(4)完全歸納推理：把所有情況都考慮在內(nèi)的演繹推理規(guī)則叫做完全歸納推理三段論推理是演繹推理的一般模式，在數(shù)學(xué)證明中，以上四種演繹推理規(guī)則是經(jīng)常用到的，一道證明題，往往要綜合應(yīng)用這些推理規(guī)則如果違背了這些規(guī)則，那么證明就是錯(cuò)誤的【做一做21】下面幾種推理過(guò)程是演繹推理的是()A兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果A與B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則AB180°B某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人數(shù)都超過(guò)50人C由平面三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四面體的性質(zhì)D在數(shù)列an中a11，an(n2)，由此歸納出an的通項(xiàng)公式【做一做22】“因?yàn)閍，b，所以ab，又因?yàn)閎c，所以ac.”以上推理的兩個(gè)步驟分別遵循的推理規(guī)則是()A第一步遵循假言推理，第二步遵循傳遞性關(guān)系推理B第一步遵循三段論推理，第二步遵循假言推理C第一步遵循三段論推理，第二步遵循傳遞性關(guān)系推理D第一步遵循傳遞性關(guān)系推理，第二步遵循三段論推理合情推理與演繹推理有哪些區(qū)別與聯(lián)系？剖析：區(qū)別：從推理形式和推理所得結(jié)論的正確性上講，二者有差異合情推理演繹推理歸納推理類比推理推理形式由部分到整體或由個(gè)別到一般的推理由特殊到特殊的推理由一般到特殊的推理結(jié)論的正確性結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明在前提和推理形式都正確的前提下，結(jié)論正確聯(lián)系：從二者在認(rèn)識(shí)事物的過(guò)程中所發(fā)揮的作用的角度考慮，它們是緊密聯(lián)系、相輔相成的合情推理的結(jié)論需要演繹推理的驗(yàn)證，而演繹推理的內(nèi)容一般是通過(guò)合情推理獲得的在數(shù)學(xué)中，演繹推理可以驗(yàn)證合情推理的結(jié)論的正確性，合情推理可以為演繹推理提供方向和思路題型一 假言推理【例題1】設(shè)數(shù)列an為等差數(shù)列，求證：以bn為通項(xiàng)的數(shù)列bn為等差數(shù)列分析：由an為等差數(shù)列，推證bn為等差數(shù)列，只要證得bn1bnd為常數(shù)即可反思：假言推理的規(guī)則為“如果pq，p真，則q為真”題型二 三段論推理【例題2】已知A，B，C，D四點(diǎn)不共面，M，N分別是ABD和BCD的重心，求證MN平面ACD.分析：應(yīng)用線面平行的判定定理證明反思：“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：(1)大前提已知的一般原理；(2)小前提所研究的特殊情況；(3)結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷題型三 傳遞性關(guān)系推理【例題3】設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：abc.分析：應(yīng)用均值不等式找出a2b2與ab，b2c2與bc，a2c2與ac的關(guān)系，再應(yīng)用同向不等式相加法則可證明反思：傳遞性關(guān)系推理論證時(shí)必須保證各量間的關(guān)系能正確傳遞題型四 完全歸納推理【例題4】已知函數(shù)f(x)()·x3.(1)判斷f(x)的奇偶性；(2)證明f(x)0.反思：完全歸納推理必須把所有情況都考慮在內(nèi)完全歸納推理不同于歸納推理，后者僅僅證明了幾種特殊情況，它不能說(shuō)明結(jié)論的正確性，而前者則把所有情況都作了證明題型五 易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：在應(yīng)用三段論推理證明問(wèn)題時(shí)，應(yīng)明確什么是問(wèn)題中的大前提和小前提在推理的過(guò)程中，大前提、小前提和推理形式之一錯(cuò)誤，都可能導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤【例題5】如圖，在ABC中，ACBC，CD是AB邊上的高，求證：ACDBCD.錯(cuò)證：在ABC中，因?yàn)镃DAB，ACBC，所以ADBD，于是ACDBCD.1如圖，因?yàn)锳BCD，所以12，又因?yàn)?3，所以13.所用的推理規(guī)則為()A三段論推理、假言推理B三段論推理、傳遞性關(guān)系推理C三段論推理、完全歸納推理D三段論推理、三段論推理2“因指數(shù)函數(shù)yax是減函數(shù)(大前提)，且y3x是指數(shù)函數(shù)(小前提)，所以y3x是減函數(shù)(結(jié)論)”上面推理的錯(cuò)誤是()A大前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)B小前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)C推理形式錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)D大前提和小前提都錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)3下面的推理是傳遞性關(guān)系推理的是()A在同一三角形中若三角形兩邊相等，則該兩邊所對(duì)的內(nèi)角相等，在ABC中，ABAC，所以在ABC中，BCB因?yàn)?是偶數(shù)，所以2是素?cái)?shù)C因?yàn)閍b，bc，所以acD因?yàn)槭怯欣頂?shù)或無(wú)理數(shù)，且不是有理數(shù)，所以是無(wú)理數(shù)4因?yàn)楫?dāng)a0時(shí)，|a|0；當(dāng)a0時(shí)，|a|0；當(dāng)a0時(shí)，|a|0，所以當(dāng)a為實(shí)數(shù)時(shí)，|a|0.此推理過(guò)程運(yùn)用的是演繹推理中的_推理5關(guān)于函數(shù)f(x)lg(x0)，有下列命題：其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；當(dāng)x0時(shí)，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)x0時(shí)，f(x)為減函數(shù)；f(x)的最小值是lg 2；當(dāng)1x0或x1時(shí)，f(x)是增函數(shù)；f(x)無(wú)最大值，也無(wú)最小值其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_答案：基礎(chǔ)知識(shí)·梳理1演繹推理真必然【做一做1】C2(2)S是P(3)aRc【做一做21】A選項(xiàng)D是歸納推理，選項(xiàng)C是類比推理，選項(xiàng)B既不是合情推理也不是演繹推理【做一做22】C典型例題·領(lǐng)悟【例題1】證明：設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，因?yàn)閎nbn1··(n2)，而是個(gè)常數(shù)，所以數(shù)列bn為等差數(shù)列【例題2】證明：如圖，連結(jié)BM，BN，并延長(zhǎng)，分別交AD，DC于P，Q兩點(diǎn)，連結(jié)PQ.因?yàn)镸，N分別是ABD和BCD的重心，所以P，Q分別是AD，DC的中點(diǎn)，又因?yàn)?，所以MNPQ.又因?yàn)镸N平面ADC，PQ平面ADC，所以MN平面ACD.【例題3】證明：因?yàn)閍2b22ab，a，b，c為正實(shí)數(shù)，所以2(a2b2)a2b22ab(ab)2.所以a2b2.所以(ab)同理(ac).(bc)，所以有(2a2b2c)(abc)即(abc)又(abc)abc，所以abc.【例題4】(1)解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?x10，即x|x0，f(x)f(x)(x)3x3(x)3x3·x3x3x3x3x3x30.所以f(x)f(x)所以f(x)是偶函數(shù)(2)證明：因?yàn)閤0，所以當(dāng)x0時(shí)，2x1,2x10，x30，所以f(x)0；當(dāng)x0時(shí)，x0，f(x)f(x)0，所以f(x)0.【例題5】錯(cuò)因分析：錯(cuò)證中由ADBD得出ACDBCD是錯(cuò)誤的，因?yàn)橹挥性谕粋€(gè)三角形中才有大邊所對(duì)的角較大這一結(jié)論成立正確證法：在ABC中，因?yàn)镃DAB，所以ACDABCDB90°.又ACBC，所以BA，于是ACDBCD.隨堂練習(xí)·鞏固1B本題前面證12用的是三段論推理，后半部分證13用的是傳遞性關(guān)系推理2Ayax(a0，a1)的單調(diào)性與a有關(guān)，若a1，則為增函數(shù)；若0a1，則為減函數(shù)3C4完全歸納5顯然f(x)f(x)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱當(dāng)x0時(shí)，f(x)lg lg.(x)x在(0,1)上是減函數(shù)，在(1，)上是增函數(shù)，f(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1，)上是增函數(shù)f(x)minf(1)lg 2.f(x)為偶函數(shù)，f(x)在(1,0)上是增函數(shù)