2022高中數(shù)學 第三章 直線與方程 3.2 直線的方程（第3課時）直線的一般式方程講義（含解析）新人教A版必修21預習教材，問題導入根據(jù)以下提綱，預習教材P97P99，回答下列問題：(1)平面直角坐標系中的每一條直線都可以用一個關(guān)于x，y的二元一次方程表示嗎？為什么？提示：都可以，原因如下：(1)直線和y軸相交于點(0，b)時：此時傾斜角，直線的斜率k存在直線可表示成ykxb，可轉(zhuǎn)化為kx(1)yb0，這是關(guān)于x，y的二元一次方程(2)直線和y軸平行(包含重合)時：此時傾斜角，直線的斜率k不存在，不能用ykxb表示，而只能表示成xa0，它可以認為是關(guān)于x，y的二元一次方程，此時方程中y的系數(shù)為0.(2)每一個關(guān)于x，y的二元一次方程AxByC0(A，B不同時為零)都能表示一條直線嗎？為什么？提示：能表示一條直線，原因如下：當B0時，方程AxByC0可變形為yx，它表示過點，斜率為的直線當B0時，方程AxByC0變成AxC0.即x，它表示與y軸平行或重合的一條直線(3)在方程AxByC0(A，B不同時為零)中，A，B，C為何值時，方程表示的直線平行于x軸；平行于y軸；與x軸重合；與y軸重合提示：當A0，B0時，方程變?yōu)閥，當C0時表示的直線平行于x軸，當C0時與x軸重合；當A0，B0時，方程變?yōu)閤，當C0時表示的直線平行于y軸，當C0時與y軸重合2歸納總結(jié)，核心必記直線的一般式方程(1)定義：關(guān)于x，y的二元一次方程AxByC0(其中A，B不同時為0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式(2)適用范圍：平面直角坐標系中，任何一條直線都可用一般式表示(3)系數(shù)的幾何意義：當B0時，則k(斜率)，b(y軸上的截距)；當B0，A0時，則a(x軸上的截距)，此時不存在斜率問題思考當A0，或B0，或C0時，方程AxByC0分別表示什么樣的直線？提示：(1)若A0，則y，表示與y軸垂直的一條直線(2)若B0，則x，表示與x軸垂直的一條直線(3)若C0，則AxBy0，表示過原點的一條直線課前反思通過以上預習，必須掌握的幾個知識點(1)直線方程的一般式的形式是什么？；(2)直線方程的一般式的適用范圍是什么？；(3)直線方程的一般式中各系數(shù)的幾何意義是什么？.觀察下列直線方程直線l1：y23(x1)；直線l2：y3x2；直線l3：；直線l4：1.思考1上述形式的直線方程能化成二元一次方程AxByC0的形式嗎？提示：能思考2二元一次方程AxByC0都能表示直線嗎？提示：能思考3怎樣認識直線方程的一般式？名師指津：解讀直線方程的一般式：(1)方程是關(guān)于x，y的二元一次方程(2)方程中等號的左側(cè)自左向右一般按x，y，常數(shù)的先后順序排列(3)x的系數(shù)一般不為分數(shù)和負數(shù)(4)雖然直線方程的一般式有三個參數(shù)，但只需兩個獨立的條件即可求得直線的方程思考4二元一次方程與直線的關(guān)系是什么？名師指津：二元一次方程與直線的關(guān)系：(1)二元一次方程的每一組解都可以看成平面直角坐標系中一個點的坐標，這個方程的全體解組成的集合，就是坐標滿足二元一次方程的全體點的集合，這些點的集合就組成了一條直線(2)二元一次方程與平面直角坐標系中的直線是一一對應的，因此直線的一般式方程可以表示坐標平面內(nèi)的任意一條直線講一講1根據(jù)下列各條件寫出直線的方程，并且化成一般式(鏈接教材P98例5)(1)斜率是，經(jīng)過點A(8，2)；(2)經(jīng)過點B(4,2)，平行于x軸；(3)在x軸和y軸上的截距分別是、3；(4)經(jīng)過兩點P1(3，2)，P2(5，4)嘗試解答選擇合適的直線方程形式(1)由點斜式得y(2)(x8)，即x2y40.(2)由斜截式得y2，即y20.(3)由截距式得1，即2xy30.(4)由兩點式得，即xy10.求直線一般式方程的策略(1)當A0時，方程可化為xy0，只需求，的值；若B0，則方程化為xy0，只需確定，的值因此，只要給出兩個條件，就可以求出直線方程(2)在求直線方程時，設(shè)一般式方程有時并不簡單，常用的還是根據(jù)給定條件選用四種特殊形式之一求方程，然后可以轉(zhuǎn)化為一般式練一練1根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程(1)斜率是且經(jīng)過點A(5,3)；(2)經(jīng)過A(1,5)，B(2，1)兩點；(3)在x，y軸上的截距分別是3，1.解：(1)由點斜式方程得y3(x5)，整理得xy350.(2)由兩點式方程得，整理得2xy30.(3)由截距式方程得1，整理得x3y30.講一講2已知直線l：5ax5ya30.(1)求證：不論a為何值，直線l總經(jīng)過第一象限；(2)為使直線不經(jīng)過第二象限，求a的取值范圍思路點撥(1)當直線恒過第一象限內(nèi)的一定點時，必然可得該直線總經(jīng)過第一象限；(2)直線不過第二象限，即斜率大于0且與y軸的截距不大于0.嘗試解答(1)法一：將直線l的方程整理為ya，直線l的斜率為a，且過定點A，而點A在第一象限內(nèi)，故不論a為何值，l恒過第一象限法二：直線l的方程可化為(5x1)a(5y3)0.上式對任意的a總成立，必有即即l過定點A.以下同法一(2)直線OA的斜率為k3.如圖所示，要使l不經(jīng)過第二象限，需斜率akOA3，a的取值范圍為3，)含有一個參數(shù)的直線方程，一般是過定點的，這里對一般式靈活變形后發(fā)現(xiàn)問題是解決問題的關(guān)鍵，在變形后特點還不明顯的情況，可采用法二的解法練一練2已知(k1)x(k1)y2k0為直線l的方程，求證：不論k取何實數(shù)，直線l必過定點，并求出這個定點的坐標解：整理直線l的方程得(xy)k(xy2)0.無論k取何值，該式恒成立，所以解得所以直線l經(jīng)過定點M(1，1)講一講3(1)已知直線l1：2x(m1)y40與直線l2：mx3y20平行，求m的值；(2)當a為何值時，直線l1：(a2)x(1a)y10與直線l2：(a1)x(2a3)y20互相垂直？思路點撥由平行或垂直可得到兩直線斜率的關(guān)系式，然后可列方程求解，注意斜率不存在的情況嘗試解答(1)法一：若m10，即m1時，直線l1：x20與直線l2：x3y20顯然不平行若m10，即m1時，直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，若l1l2時，k1k2，即，解得m2或m3，經(jīng)驗證，m2或3符合條件，所以m的值為2或3.法二：令2×3m(m1)，解得m3或m2.當m3時，l1：xy20，l2：3x3y20，顯然l1與l2不重合，l1l2.同理當m2時，l1：2x3y40，l2：2x3y20，l1與l2不重合，l1l2，m的值為2或3.(2)法一：由題意，直線l1l2，若1a0，即a1時，直線l1：3x10與直線l2：5y20，顯然垂直若2a30，即a時，直線l1：x5y20與直線l2：5x40不垂直若1a0，且2a30，則直線l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1，k2，當l1l2時，k1·k21，即·1，所以a1.綜上可知，當a1或a1時，直線l1l2.法二：由直線l1l2，所以(a2)(a1)(1a)(2a3)0，解得a±1.將a±1代入方程，均滿足題意故當a1或a1時，直線l1l2.(1)利用一般式解決直線平行與垂直問題的策略直線l1：A1xB1yC10，直線l2：A2xB2yC20，若l1l2A1B2A2B10且B1C2B2C10(或A1C2A2C10)若l1l2A1A2B1B20.(2)與已知直線平行(垂直)的直線方程的求法與直線AxByC0平行的直線方程可設(shè)為AxBym0，(mC)與直線AxByC0垂直的直線方程可設(shè)為BxAym0.練一練3已知直線l的方程為3x4y120，求直線l的一般式方程，l滿足：(1)過點(1,3)，且與l平行；(2)過點(1,3)，且與l垂直解：法一：由題設(shè)l的方程可化為yx3，l的斜率為.(1)由l與l平行，l的斜率為.又l過(1,3)，由點斜式知方程為y3(x1)，即3x4y90.(2)由l與l垂直，l的斜率為，又過(1,3)，由點斜式可得方程為y3(x1)，即4x3y130.法二：(1)由l與l平行，可設(shè)l方程為3x4ym0.將點(1,3)代入上式得m9.所求直線方程為3x4y90.(2)由l與l垂直，可設(shè)其方程為4x3yn0.將(1,3)代入上式得n13.所求直線方程為4x3y130.課堂歸納·感悟提升1本節(jié)課的重點是了解二元一次方程與直線的對應關(guān)系，掌握直線方程的一般式，能根據(jù)所給條件求直線方程，并能在幾種形式間相互轉(zhuǎn)化難點是能根據(jù)所給條件求直線方程并能在幾種形式間相互轉(zhuǎn)化2本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法(1)求直線一般式方程的策略，見講1.(2)求參數(shù)的值或范圍的方法，見講2.(3)由一般式解決平行與垂直問題的策略及與已知直線平行或垂直的直線方程的求法，見講33本節(jié)課的易錯點是利用一般式求解平行或垂直問題中求參數(shù)的值或范圍中易忽視討論，如講3.課下能力提升(十九)學業(yè)水平達標練題組1直線的一般式方程1直線xy10的傾斜角為()A30° B60°C120° D150°解析：選A由直線的一般式方程，得它的斜率為，從而傾斜角為30°.2斜率為2，且經(jīng)過點A(1,3)的直線的一般式方程為_解析：由直線點斜式方程可得y32(x1)，化成一般式為2xy10.答案：2xy103若方程AxByC0表示直線，則A、B應滿足的條件為_解析：由二元一次方程表示直線的條件知A、B至少有一個不為零即A2B20.答案：A2B204已知直線l的傾斜角為60°，在y軸上的截距為4，則直線l的點斜式方程為_；截距式方程為_；斜截式方程為_；一般式方程為_解析：點斜式方程： y4(x0)，截距式方程：1，斜截式方程： yx4，一般式方程：xy40.答案：y4(x0)1yx4xy40題組2由含參一般式求參數(shù)的值或取值范圍5(2016· 臨沂高一檢測)已知過點A(5，m2)和B(2m，3)的直線與直線x3y10平行，則m的值為()A4 B4C10 D10解析：選AkAB，直線x3y10的斜率為k，由題意得，解得m4.6直線(m2)x(m22m3)y2m在x軸上的截距為3，則實數(shù)m的值為()A. B6C D6解析：選B令y0，則直線在x軸上的截距是x，3，m6.7直線(2m1)x(m3)y(m11)0恒過的定點坐標是_解析：原方程可化為m(2xy1)(x3y11)0.對任意mR，方程恒成立，解得直線恒過定點(2,3)答案：(2,3)8已知直線l1的斜率為k1，直線l2經(jīng)過點A(3a，2)，B(0，a21)，且l1l2，求實數(shù)a的值解：l1l2，k1·k21，即×1，解得a1，或a3，a1，或a3時，l1l2.題組3一般式形式下的平行與垂直問題的策略9若直線l1：ax(1a)y3與l2：(a1)x(2a3)y2互相垂直，則實數(shù)a_.解析：因為兩直線垂直，所以a(a1)(1a)(2a3)0，即a22a30，解得a1，或a3.答案：1或310求與直線3x4y10平行，且在兩坐標軸上的截距之和為的直線l的方程解：法一：由題意，設(shè)直線l的方程為3x4ym0(m1)，令x0，得y；令y0，得x，所以，解得m4.所以直線l的方程為3x4y40.法二：由題意，直線l不過原點，則在兩坐標軸上的截距都不為0.可設(shè)l的方程為1(a0，b0)，則有解得所以直線l的方程為3x4y40.能力提升綜合練1如果axbyc0表示的直線是y軸，則系數(shù)a，b，c滿足條件()Abc0 Ba0Cbc0且a0 Da0且bc0解析：選Dy軸方程表示為x0，所以a，b，c滿足條件為a0且bc0.2兩直線mxyn0與xmy10互相平行的條件是()Am1 Bm±1C. D.或解析：選D根據(jù)兩直線平行可得，所以m±1，又兩直線不可重合，所以m1時，n1; m1時，n1.3設(shè)A，B是x軸上的兩點，點P的橫坐標為2，且|PA|PB|，若直線PA的方程為xy10，則直線PB的方程是()A2yx40 B2xy10Cxy50 D2xy70解析：選C由xy10得A(1，0)，又P的橫坐標為2，且|PA|PB|，P為線段AB中垂線上的點，且B(5,0)PB的傾斜角與PA的傾斜角互補，則斜率互為相反數(shù)，故PB的斜率kPB1，則方程為y(x5)，即xy50.4若方程(2m2m3)x(m2m)y4m10表示一條直線，則實數(shù)m滿足_解析：當2m2m30時，m1或m；當m2m0時，m0或m1.要使方程(2m2m3)x(m2m)y4m10表示一條直線，則2m2m3，m2m不能同時為0，m1.答案：m15已知直線l的斜率是直線2x3y120的斜率的，l在y軸上的截距是直線2x3y120在y軸上的截距的2倍，則直線l的方程為_解析：由2x3y120知，斜率為，在y軸上截距為4.根據(jù)題意，直線l的斜率為，在y軸上截距為8，所以直線l的方程為x3y240.答案：x3y2406設(shè)直線l的方程為(m22m3)x(2m2m1)y2m6，根據(jù)下列條件分別求m的值(1)在x軸上的截距為1；(2)斜率為1；(3)經(jīng)過定點P(1，1)解：(1)直線過點P(1,0)，m22m32m6.解得m3或m1.又m3時，直線l的方程為y0，不符合題意，m1.(2)由斜率為1，得解得m.(3)直線過定點P(1，1)，則(m22m3)(2m2m1)2m6，解得m，或m2.7一河流同側(cè)有兩個村莊A、B，兩村莊計劃在河上共建一水電站供兩村使用，已知A、B兩村到河邊的垂直距離分別為300 m和700 m，且兩村相距500 m，問：水電站建于何處送電到兩村的電線用料最??？解：如圖，以河流所在直線為x軸，y軸通過點A，建立直角坐標系，則點A(0,300)，B(x,700)，設(shè)B點在y軸上的射影為H，則x|BH|300，故點B(300,700)，設(shè)點A關(guān)于x軸的對稱點A(0，300)，則直線AB的斜率k，直線AB的方程為yx300.令y0得x90，得點P(90,0)，故水電站建在河邊P(90,0)處電線用料最省