2．2.2　反證法 學習目標　1.了解反證法是間接證明的一種基本方法.2.理解反證法的思考過程，會用反證法證明數學問題． 知識點　反證法 王戎小時候，愛和小朋友在路上玩耍．一天，他們發(fā)現路邊的一棵樹上結滿了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，獨有王戎沒動，等到小朋友們摘了李子一嘗，原來是苦的！他們都問王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結滿了李子，所以李子一定是苦的．” 思考　本故事中王戎運用了什么論證思想？ 答案　運用了反證法思想． 梳理　(1)定義：假設原命題不成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法． (2)反證法常見的矛盾類型 反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾．這個矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾等． 1．反證法屬于間接證明問題的方法．(　√　) 2．反證法的證明過程既可以是合情推理也可以是一種演繹推理．(　×　) 3．反證法的實質是否定結論導出矛盾．(　√　) 類型一　用反證法證明否定性命題 例1　已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求證：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1. 考點　反證法及應用 題點　反證法的應用 證明　假設a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1. 因為ad－bc＝1， 所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0， 即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0. 所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0， 則a＝b＝c＝d＝0， 這與已知條件ad－bc＝1矛盾，故假設不成立． 所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1. 反思與感悟　(1)用反證法證明否定性命題的適用類型： 結論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語的命題稱為否定性命題，此類問題的正面比較模糊，而反面比較具體，適合使用反證法． (2)用反證法證明數學命題的步驟 跟蹤訓練1　已知三個正數a，b，c成等比數列但不成等差數列，求證：，，不成等差數列． 考點　反證法及應用 題點　反證法的應用 證明　假設，，成等差數列， 則2＝＋， ∴4b＝a＋c＋2.① ∵a，b，c成等比數列，∴b2＝ac，② 由②得b＝，代入①式， 得a＋c－2＝(－)2＝0， ∴a＝c，從而a＝b＝c. 這與已知a，b，c不成等差數列相矛盾， ∴假設不成立．故，，不成等差數列． 類型二　用反證法證明“至多、至少”類問題 例2　a，b，c∈(0,2)，求證：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1. 考點　反證法及應用 題點　反證法的應用 證明　假設(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a都大于1. 因為a，b，c∈(0,2)， 所以2－a>0,2－b>0,2－c>0. 所以≥>1. 同理≥>1， ≥>1. 三式相加，得 ＋＋>3， 即3>3，矛盾． 所以(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1. 引申探究　 已知a，b，c∈(0,1)，求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于. 證明　假設(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于. ∵a，b，c都是小于1的正數， ∴1－a,1－b,1－c都是正數． ∴≥>＝. 同理，>，>. 三式相加，得＋＋>， 即>，顯然不成立． ∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于. 反思與感悟　應用反證法常見的“結論詞”與“反設詞” 當命題中出現“至多”“至少”等詞語時，直接證明不易入手且討論較復雜．這時，可用反證法證明，證明時常見的“結論詞”與“反設詞”如： 結論詞 反設詞 結論詞 反設詞 至少有一個 一個也沒有 對所有x成立 存在某個x0不成立 至多有一個 至少有兩個 對任意x不成立 存在某個x0成立 至少有n個 至多有n－1個 p或q 綈p且綈q 至多有n個 至少有n＋1個 p且q 綈p或綈q 跟蹤訓練2　已知a，b，c是互不相等的實數，求證：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個不同的交點． 考點　反證法及應用 題點　反證法的應用 證明　假設題設中的函數確定的三條拋物線都不與x軸有兩個不同的交點， 由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a，y3＝cx2＋2ax＋b， 得Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0， 且Δ3＝4a2－4bc≤0. 同向不等式求和，得 4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0， 所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0， 所以(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0，所以a＝b＝c. 這與題設a，b，c互不相等矛盾， 因此假設不成立，從而命題得證． 類型三　用反證法證明唯一性命題 例3　求證：方程2x＝3有且只有一個根． 考點　反證法及應用 題點　反證法的應用 證明　∵2x＝3，∴x＝log23. 這說明方程2x＝3有根． 下面用反證法證明方程2x＝3的根是唯一的． 假設方程2x＝3至少有兩個根b1，b2(b1≠b2)， 則＝3, ＝3，兩式相除得＝1， ∴b1－b2＝0，則b1＝b2，這與b1≠b2矛盾． ∴假設不成立，從而原命題得證． 反思與感悟　用反證法證明唯一性命題的一般思路：證明“有且只有一個”的問題，需要證明兩個命題，即存在性和唯一性．當證明結論是以“有且只有”“只有一個”“唯一存在”等形式出現的命題時，可先證“存在性”，由于假設“唯一性”結論不成立易導出矛盾，因此可用反證法證其唯一性． 跟蹤訓練3　若函數f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數，求證：方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至多有一個實根． 考點　反證法及應用 題點　反證法的應用 證明　假設方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至少有兩個實根，設α，β為其中的兩個實根．因為α≠β ，不妨設α<β，又因為函數f(x)在[a，b]上是增函數，所以f(α)<f(β)．這與假設f(α)＝0＝f(β)矛盾，所以方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至多有一個實根． 1．證明“在△ABC中至多有一個直角或鈍角”，第一步應假設(　　) A．三角形中至少有一個直角或鈍角 B．三角形中至少有兩個直角或鈍角 C．三角形中沒有直角或鈍角 D．三角形中三個角都是直角或鈍角 考點　反證法及應用 題點　如何正確進行反設 答案　B 2．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么直線c與b的位置關系為(　　) A．一定是異面直線 B．一定是相交直線 C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線 答案　C 解析　假設c∥b，而由c∥a，可得a∥b，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線． 3．用反證法證明“在三角形中至少有一個內角不小于60°”，應先假設這個三角形中(　　) A．有一個內角小于60° B．每一個內角都小于60° C．有一個內角大于60° D．每一個內角都大于60° 考點　反證法及應用 題點　如何正確進行反設 答案　B 4．用反證法證明“在同一平面內，若a⊥c，b⊥c，則a∥b”時，應假設(　　) A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c C．a⊥b D．a與b相交 考點　反證法及應用 題點　如何正確進行反設 答案　D 5．用反證法證明：關于x的方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，當a≤－或a≥－1時，至少有一個方程有實數根． 考點　反證法及應用 題點　反證法的應用 證明　假設三個方程都沒有實數根，則由判別式都小于零，得 則解得－<a<－1， 與a≤－或a≥－1矛盾，故原命題成立． 用反證法證題要把握三點 (1)必須先否定結論，對于結論的反面出現的多種可能，要逐一論證，缺少任何一種可能，證明都是不全面的； (2)反證法必須從否定結論進行推理，且必須根據這一條件進行論證，否則，僅否定結論，不從結論的反面出發(fā)進行論證，就不是反證法； (3)反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個矛盾可以與已知矛盾，或與假設矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾，但推導出的矛盾必須是明顯的． 一、選擇題 1．反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個矛盾可以是 ①與已知條件矛盾；②與假設矛盾；③與定義、公理、定理矛盾；④與事實矛盾． 其中正確的為(　　) A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④ 考點　反證法及應用 題點　反證法的應用 答案　D 2．用反證法證明命題：“若直線AB，CD是異面直線，則直線AC，BD也是異面直線”的過程歸納為以下三個步驟： ①則A，B，C，D四點共面，所以AB，CD共面，這與AB，CD是異面直線矛盾； ②所以假設錯誤，即直線AC，BD也是異面直線； ③假設直線AC，BD是共面直線． 則正確的序號順序為(　　) A．①②③ B．③①② C．①③② D．②③① 考點　反證法及應用 題點　反證法的應用 答案　B 解析　根據反證法的三個基本步驟“反設—歸謬—結論”可知順序應為③①②. 3．否定“自然數a，b，c中恰有一個偶數”時，正確的反設為(　　) A．a，b，c都是偶數 B．a，b，c都是奇數 C．a，b，c中至少有兩個偶數 D．a，b，c中都是奇數或至少有兩個偶數 考點　反證法及應用 題點　如何正確進行反設 答案　D 解析　自然數a，b，c的奇偶性共有四種情形：3個都是奇數，1個偶數2個奇數，2個偶數1個奇數，3個都是偶數，所以否定“自然數a，b，c中恰有一個偶數”時，正確的反設為“a，b，c中都是奇數或至少有兩個偶數”． 4．有下列敘述： ①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y(tǒng)”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形內”；④“三角形最多有一個鈍角”的反面是“三角形沒有鈍角”．其中正確的敘述有(　　) A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 考點　反證法及應用 題點　如何正確進行反設 答案　B 解析?、馘e，應為a≤b；②對；③錯，應為三角形的外心在三角形內或在三角形的邊上；④錯，應為三角形至少有2個鈍角． 5．用反證法證明命題：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除”時，假設的內容應為(　　) A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除 C．a，b不都能被5整除 D．a不能被5整除 考點　反證法及應用 題點　如何正確進行反設 答案　B 解析　“至少有一個”的否定是“一個也沒有”，即“a，b都不能被5整除”． 6．①已知p3＋q3＝2，證明：p＋q≤2.用反證法證明時，可假設p＋q≥2； ②若a，b∈R，|a|＋|b|<1，求證：方程x2＋ax＋b＝0的兩根的絕對值都小于1.用反證法證明時可假設方程有一根x1的絕對值大于或等于1，即假設|x1|≥1. 以下結論正確的是(　　) A．①與②的假設都錯誤 B．①的假設正確；②的假設錯誤 C．①與②的假設都正確 D．①的假設錯誤；②的假設正確 考點　反證法及應用 題點　如何正確進行反設 答案　D 解析　對于①，結論的否定是p＋q>2，故①中的假設錯誤；對于②，其假設正確，故選D. 7．設a，b，c都是正數，則三個數a＋，b＋，c＋(　　) A．都大于2 B．至少有一個大于2 C．至少有一個不小于2 D．至少有一個不大于2 考點　反證法及應用 題點　反證法的應用 答案　C 解析　假設a＋<2，b＋<2，c＋<2， 則＋＋<6. 又＋＋ ＝＋＋≥2＋2＋2＝6， 這與假設得到的不等式相矛盾，從而假設不正確，所以這三個數至少有一個不小于2. 二、填空題 8．用反證法證明命題“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，則x≠a且x≠b”時，應假設________． 考點　反證法及應用 題點　如何正確進行反設 答案　x＝a或x＝b 9．設a，b是兩個實數，給出下列條件： ①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一個大于1”的條件是______．(填序號) 考點　反證法及應用 題點　反證法的應用 答案　③ 10．某珠寶店丟了一件珍貴珠寶，以下四人中只有一人說真話，只有一人偷了珠寶．甲：我沒有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我沒有偷． 根據以上條件，可以判斷偷珠寶的人是_______． 考點　反證法及應用 題點　反證法的應用 答案　甲 解析　假如甲：我沒有偷是真的，則乙：丙是小偷；丙：丁是小偷是假的；?。何覜]有偷就是真的，與他們四人中有一人說真話矛盾． 假如甲：我沒有偷是假的，則丁：我沒有偷就是真的， 乙：丙是小偷，丙：丁是小偷是假的，成立． ∴可以判斷偷珠寶的人是甲． 11．若下列兩個方程x2＋(a－2)x＋a2＝0，x2＋ax－2a＝0中至少有一個方程有實根，則實數a的取值范圍是____________________． 考點　反證法及應用 題點　反證法的應用 答案　(－∞，－8]∪[－2，＋∞) 解析　若兩方程均無實根， 則Δ1＝(a－2)2－4a2＝(3a－2)(－a－2)<0， ∴a<－2或a>. Δ2＝a2＋8a＝a(a＋8)<0， ∴－8<a<0，故－8<a<－2. 若兩個方程至少有一個方程有實根， 則a≤－8或a≥－2. 三、解答題 12．若a，b，c均為實數，且a＝x2－2y＋，b＝y(tǒng)2－2z＋，c＝z2－2x＋.求證a，b，c中至少有一個是大于0的． 考點　反證法及應用 題點　反證法的應用 證明　假設a，b，c都不大于0， 則a≤0，b≤0，c≤0， ∴a＋b＋c≤0， 而a＋b＋c＝＋＋＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3， ∴a＋b＋c>0.這與a＋b＋c≤0矛盾， ∴假設不成立， 故a，b，c中至少有一個是大于0的． 13．已知f(x)＝ax＋(a>1)，求證：方程f(x)＝0沒有負數根． 考點　反證法及應用 題點　反證法的應用 證明　假設x0是f(x)＝0的負數根， 則x0<0且x0≠－1，且ax0＝－， ∴0<ax0<1，∴0<－<1， 解得<x0<2，這與x0<0矛盾， 故方程f(x)＝0沒有負數根． 四、探究與拓展 14．若a，b，c，d都是有理數，，都是無理數，且a＋＝b＋，則a與b，c與d之間的數量關系為________． 考點　反證法及應用 題點　反證法的應用 答案　a＝b，c＝d 解析　假設a≠b，令a＝b＋m(m是不等于零的有理數)， 于是b＋m＋＝b＋， 所以m＋＝，兩邊平方整理得＝. 左邊是無理數，右邊是有理數，矛盾， 因此a＝b，從而c＝d. 15．設{an}是公比為q的等比數列． (1)推導數列{an}的前n項和公式； (2)設q≠1，證明數列{an＋1}不是等比數列． 考點　反證法及應用 題點　反證法的應用 (1)解　設數列{an}的前n項和為Sn， 當q＝1時，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1； 當q≠1時，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，① qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，② 由①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn， 所以Sn＝， 綜上所述，Sn＝ (2)證明　假設{an＋1}是等比數列，則對任意的k∈N*， (ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)， a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1， aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1， 因為a1≠0， 所以2qk＝qk－1＋qk＋1. 因為q≠0，所以q2－2q＋1＝0， 所以q＝1，這與已知矛盾． 所以假設不成立，故數列{an＋1}不是等比數列． 11