22.2反證法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解反證法是間接證明的一種基本方法.2.理解反證法的思考過程，會用反證法證明數(shù)學(xué)問題知識點反證法王戎小時候，愛和小朋友在路上玩耍一天，他們發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹上結(jié)滿了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，獨有王戎沒動，等到小朋友們摘了李子一嘗，原來是苦的！他們都問王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結(jié)滿了李子，所以李子一定是苦的”思考本故事中王戎運用了什么論證思想？答案運用了反證法思想梳理(1)定義：假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法(2)反證法常見的矛盾類型反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾這個矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾等1反證法屬于間接證明問題的方法()2反證法的證明過程既可以是合情推理也可以是一種演繹推理(×)3反證法的實質(zhì)是否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾()類型一用反證法證明否定性命題例1已知a，b，c，dR，且adbc1，求證：a2b2c2d2abcd1.考點反證法及應(yīng)用題點反證法的應(yīng)用證明假設(shè)a2b2c2d2abcd1.因為adbc1，所以a2b2c2d2abcdbcad0，即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20.所以ab0，cd0，ad0，bc0，則abcd0，這與已知條件adbc1矛盾，故假設(shè)不成立所以a2b2c2d2abcd1.反思與感悟(1)用反證法證明否定性命題的適用類型：結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語的命題稱為否定性命題，此類問題的正面比較模糊，而反面比較具體，適合使用反證法(2)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟跟蹤訓(xùn)練1已知三個正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列但不成等差數(shù)列，求證：，不成等差數(shù)列考點反證法及應(yīng)用題點反證法的應(yīng)用證明假設(shè)，成等差數(shù)列，則2，4bac2.a，b，c成等比數(shù)列，b2ac，由得b，代入式，得ac2()20，ac，從而abc.這與已知a，b，c不成等差數(shù)列相矛盾，假設(shè)不成立故，不成等差數(shù)列類型二用反證法證明“至多、至少”類問題例2a，b，c(0,2)，求證：(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.考點反證法及應(yīng)用題點反證法的應(yīng)用證明假設(shè)(2a)b，(2b)c，(2c)a都大于1.因為a，b，c(0,2)，所以2a>0,2b>0,2c>0.所以>1.同理>1，>1.三式相加，得>3，即3>3，矛盾所以(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.引申探究已知a，b，c(0,1)，求證：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于.證明假設(shè)(1a)b，(1b)c，(1c)a都大于.a，b，c都是小于1的正數(shù)，1a,1b,1c都是正數(shù)>.同理，>，>.三式相加，得>，即>，顯然不成立(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于.反思與感悟應(yīng)用反證法常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”當(dāng)命題中出現(xiàn)“至多”“至少”等詞語時，直接證明不易入手且討論較復(fù)雜這時，可用反證法證明，證明時常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”如：結(jié)論詞反設(shè)詞結(jié)論詞反設(shè)詞至少有一個一個也沒有對所有x成立存在某個x0不成立至多有一個至少有兩個對任意x不成立存在某個x0成立至少有n個至多有n1個p或q綈p且綈q至多有n個至少有n1個p且q綈p或綈q跟蹤訓(xùn)練2已知a，b，c是互不相等的實數(shù)，求證：由y1ax22bxc，y2bx22cxa和y3cx22axb確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個不同的交點考點反證法及應(yīng)用題點反證法的應(yīng)用證明假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個不同的交點，由y1ax22bxc，y2bx22cxa，y3cx22axb，得14b24ac0，24c24ab0，且34a24bc0.同向不等式求和，得4b24c24a24ac4ab4bc0，所以2a22b22c22ab2bc2ac0，所以(ab)2(bc)2(ac)20，所以abc.這與題設(shè)a，b，c互不相等矛盾，因此假設(shè)不成立，從而命題得證類型三用反證法證明唯一性命題例3求證：方程2x3有且只有一個根考點反證法及應(yīng)用題點反證法的應(yīng)用證明2x3，xlog23.這說明方程2x3有根下面用反證法證明方程2x3的根是唯一的假設(shè)方程2x3至少有兩個根b1，b2(b1b2)，則3, 3，兩式相除得1，b1b20，則b1b2，這與b1b2矛盾假設(shè)不成立，從而原命題得證反思與感悟用反證法證明唯一性命題的一般思路：證明“有且只有一個”的問題，需要證明兩個命題，即存在性和唯一性當(dāng)證明結(jié)論是以“有且只有”“只有一個”“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時，可先證“存在性”，由于假設(shè)“唯一性”結(jié)論不成立易導(dǎo)出矛盾，因此可用反證法證其唯一性跟蹤訓(xùn)練3若函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，求證：方程f(x)0在區(qū)間a，b上至多有一個實根考點反證法及應(yīng)用題點反證法的應(yīng)用證明假設(shè)方程f(x)0在區(qū)間a，b上至少有兩個實根，設(shè)，為其中的兩個實根因為 ，不妨設(shè)<，又因為函數(shù)f(x)在a，b上是增函數(shù)，所以f()<f()這與假設(shè)f()0f()矛盾，所以方程f(x)0在區(qū)間a，b上至多有一個實根1證明“在ABC中至多有一個直角或鈍角”，第一步應(yīng)假設(shè)()A三角形中至少有一個直角或鈍角B三角形中至少有兩個直角或鈍角C三角形中沒有直角或鈍角D三角形中三個角都是直角或鈍角考點反證法及應(yīng)用題點如何正確進(jìn)行反設(shè)答案B2已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么直線c與b的位置關(guān)系為()A一定是異面直線 B一定是相交直線C不可能是平行直線 D不可能是相交直線答案C解析假設(shè)cb，而由ca，可得ab，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線3用反證法證明“在三角形中至少有一個內(nèi)角不小于60°”，應(yīng)先假設(shè)這個三角形中()A有一個內(nèi)角小于60° B每一個內(nèi)角都小于60°C有一個內(nèi)角大于60° D每一個內(nèi)角都大于60°考點反證法及應(yīng)用題點如何正確進(jìn)行反設(shè)答案B4用反證法證明“在同一平面內(nèi)，若ac，bc，則ab”時，應(yīng)假設(shè)()Aa不垂直于c Ba，b都不垂直于cCab Da與b相交考點反證法及應(yīng)用題點如何正確進(jìn)行反設(shè)答案D5用反證法證明：關(guān)于x的方程x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0，當(dāng)a或a1時，至少有一個方程有實數(shù)根考點反證法及應(yīng)用題點反證法的應(yīng)用證明假設(shè)三個方程都沒有實數(shù)根，則由判別式都小于零，得則解得<a<1，與a或a1矛盾，故原命題成立用反證法證題要把握三點(1)必須先否定結(jié)論，對于結(jié)論的反面出現(xiàn)的多種可能，要逐一論證，缺少任何一種可能，證明都是不全面的；(2)反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行論證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行論證，就不是反證法；(3)反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個矛盾可以與已知矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾，但推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的一、選擇題1反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個矛盾可以是與已知條件矛盾；與假設(shè)矛盾；與定義、公理、定理矛盾；與事實矛盾其中正確的為()A BC D考點反證法及應(yīng)用題點反證法的應(yīng)用答案D2用反證法證明命題：“若直線AB，CD是異面直線，則直線AC，BD也是異面直線”的過程歸納為以下三個步驟：則A，B，C，D四點共面，所以AB，CD共面，這與AB，CD是異面直線矛盾；所以假設(shè)錯誤，即直線AC，BD也是異面直線；假設(shè)直線AC，BD是共面直線則正確的序號順序為()A BC D考點反證法及應(yīng)用題點反證法的應(yīng)用答案B解析根據(jù)反證法的三個基本步驟“反設(shè)歸謬結(jié)論”可知順序應(yīng)為.3否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”時，正確的反設(shè)為()Aa，b，c都是偶數(shù)Ba，b，c都是奇數(shù)Ca，b，c中至少有兩個偶數(shù)Da，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)考點反證法及應(yīng)用題點如何正確進(jìn)行反設(shè)答案D解析自然數(shù)a，b，c的奇偶性共有四種情形：3個都是奇數(shù)，1個偶數(shù)2個奇數(shù)，2個偶數(shù)1個奇數(shù)，3個都是偶數(shù)，所以否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”時，正確的反設(shè)為“a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)”4有下列敘述：“a>b”的反面是“a<b”；“xy”的反面是“x>y或x<y”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形內(nèi)”；“三角形最多有一個鈍角”的反面是“三角形沒有鈍角”其中正確的敘述有()A0個 B1個 C2個 D3個考點反證法及應(yīng)用題點如何正確進(jìn)行反設(shè)答案B解析錯，應(yīng)為ab；對；錯，應(yīng)為三角形的外心在三角形內(nèi)或在三角形的邊上；錯，應(yīng)為三角形至少有2個鈍角5用反證法證明命題：“a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除”時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為()Aa，b都能被5整除Ba，b都不能被5整除Ca，b不都能被5整除Da不能被5整除考點反證法及應(yīng)用題點如何正確進(jìn)行反設(shè)答案B解析“至少有一個”的否定是“一個也沒有”，即“a，b都不能被5整除”6已知p3q32，證明：pq2.用反證法證明時，可假設(shè)pq2；若a，bR，|a|b|<1，求證：方程x2axb0的兩根的絕對值都小于1.用反證法證明時可假設(shè)方程有一根x1的絕對值大于或等于1，即假設(shè)|x1|1.以下結(jié)論正確的是()A與的假設(shè)都錯誤B的假設(shè)正確；的假設(shè)錯誤C與的假設(shè)都正確D的假設(shè)錯誤；的假設(shè)正確考點反證法及應(yīng)用題點如何正確進(jìn)行反設(shè)答案D解析對于，結(jié)論的否定是pq>2，故中的假設(shè)錯誤；對于，其假設(shè)正確，故選D.7設(shè)a，b，c都是正數(shù)，則三個數(shù)a，b，c()A都大于2B至少有一個大于2C至少有一個不小于2D至少有一個不大于2考點反證法及應(yīng)用題點反證法的應(yīng)用答案C解析假設(shè)a<2，b<2，c<2，則<6.又2226，這與假設(shè)得到的不等式相矛盾，從而假設(shè)不正確，所以這三個數(shù)至少有一個不小于2.二、填空題8用反證法證明命題“若x2(ab)xab0，則xa且xb”時，應(yīng)假設(shè)_考點反證法及應(yīng)用題點如何正確進(jìn)行反設(shè)答案xa或xb9設(shè)a，b是兩個實數(shù)，給出下列條件：ab1；ab2；ab>2；a2b2>2.其中能推出“a，b中至少有一個大于1”的條件是_(填序號)考點反證法及應(yīng)用題點反證法的應(yīng)用答案10某珠寶店丟了一件珍貴珠寶，以下四人中只有一人說真話，只有一人偷了珠寶甲：我沒有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我沒有偷根據(jù)以上條件，可以判斷偷珠寶的人是_考點反證法及應(yīng)用題點反證法的應(yīng)用答案甲解析假如甲：我沒有偷是真的，則乙：丙是小偷；丙：丁是小偷是假的；?。何覜]有偷就是真的，與他們四人中有一人說真話矛盾假如甲：我沒有偷是假的，則?。何覜]有偷就是真的，乙：丙是小偷，丙：丁是小偷是假的，成立可以判斷偷珠寶的人是甲11若下列兩個方程x2(a2)xa20，x2ax2a0中至少有一個方程有實根，則實數(shù)a的取值范圍是_考點反證法及應(yīng)用題點反證法的應(yīng)用答案(，82，)解析若兩方程均無實根，則1(a2)24a2(3a2)(a2)<0，a<2或a>.2a28aa(a8)<0，8<a<0，故8<a<2.若兩個方程至少有一個方程有實根，則a8或a2.三、解答題12若a，b，c均為實數(shù)，且ax22y，by22z，cz22x.求證a，b，c中至少有一個是大于0的考點反證法及應(yīng)用題點反證法的應(yīng)用證明假設(shè)a，b，c都不大于0，則a0，b0，c0，abc0，而abc(x22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)2(z1)23，abc>0.這與abc0矛盾，假設(shè)不成立，故a，b，c中至少有一個是大于0的13已知f(x)ax(a>1)，求證：方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根考點反證法及應(yīng)用題點反證法的應(yīng)用證明假設(shè)x0是f(x)0的負(fù)數(shù)根，則x0<0且x01，且ax0，0<ax0<1，0<<1，解得<x0<2，這與x0<0矛盾，故方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根四、探究與拓展14若a，b，c，d都是有理數(shù)，都是無理數(shù)，且ab，則a與b，c與d之間的數(shù)量關(guān)系為_考點反證法及應(yīng)用題點反證法的應(yīng)用答案ab，cd解析假設(shè)ab，令abm(m是不等于零的有理數(shù))，于是bmb，所以m，兩邊平方整理得.左邊是無理數(shù)，右邊是有理數(shù)，矛盾，因此ab，從而cd.15設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列(1)推導(dǎo)數(shù)列an的前n項和公式；(2)設(shè)q1，證明數(shù)列an1不是等比數(shù)列考點反證法及應(yīng)用題點反證法的應(yīng)用(1)解設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，當(dāng)q1時，Sna1a1a1na1；當(dāng)q1時，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，由得，(1q)Sna1a1qn，所以Sn，綜上所述，Sn(2)證明假設(shè)an1是等比數(shù)列，則對任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1·a1qk1a1qk1a1qk1，因為a10，所以2qkqk1qk1.因為q0，所以q22q10，所以q1，這與已知矛盾所以假設(shè)不成立，故數(shù)列an1不是等比數(shù)列11