2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題4 立體幾何 第6講 空間幾何體的三視圖、表面積和體積學(xué)案 文熱點(diǎn)題型真題統(tǒng)計(jì)命題規(guī)律題型1：空間幾何體的三視圖與表面積或體積2018全國卷T9；2018全國卷T3；2017全國卷T62016全國卷T7；2016全國卷T10；2015全國卷T112015全國卷T6；2014全國卷T8；2014全國卷T61.高考對(duì)此內(nèi)容的考查，常以“二小一大”或“一小一大”的形式呈現(xiàn).2.小題重點(diǎn)考查幾何體的三視圖或表面積與體積或球與幾何體的切接問題.3.幾何體的體積或點(diǎn)到平面的距離.題型2：根據(jù)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征計(jì)算表面積或體積2018全國卷T5；2018全國卷T18；2018全國卷T102018全國卷T16；2018全國卷T12；2017全國卷T182017全國卷T18；2017全國卷T19；2016全國卷T182016全國卷T19；2016全國卷T19；2015全國卷T62015全國卷T18；2015全國卷T19；2014全國卷T192014全國卷T7；2014全國卷T18題型3：球與幾何體的切接問題2017全國卷T16；2017全國卷T15；2017全國卷T92016全國卷T7；2016全國卷T4；2016全國卷T112015全國卷T101柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積公式(1)S柱側(cè)ch(c為底面周長，h為高)；(2)S錐側(cè)ch(c為底面周長，h為斜高)；(3)S臺(tái)側(cè)(cc)h(c，c分別為上下底面的周長，h為斜高)2柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式(1)V柱體Sh(S為底面面積，h為高)；(2)V錐體Sh(S為底面面積，h為高)；(3)V臺(tái)(SS)h(不要求記憶)3球的表面積和體積公式(1)S球表4R2(其中R為球的半徑)；(2)V球R3(其中R為球的半徑)高考考法示例·角度一空間幾何體的三視圖【例11】(1)(2018·全國卷)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭若如圖2­4­1擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()圖2­4­1A由題意可知，咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件如圖所示，其俯視圖為選項(xiàng)A中的圖形角度二根據(jù)三視圖計(jì)算空間幾何體的表面積或體積【例12】(1)(2018·黃山模擬)一個(gè)幾何體的三視圖如圖2­4­2所示，則該幾何體的體積為()圖2­4­2A4B4C4D.(2)(2018·廣州模擬)如圖2­4­3，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為()圖2­4­3A1836 B5418C90 D81(1)C(2)B(1)由三視圖可知該幾何體為四棱錐P­ABCD，其中PA底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，ADBC，AD2，BC4，ADAB，AP2，AB2，該幾何體的體積V××2×24.故選C.(2)由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱，其中有兩個(gè)側(cè)面為矩形，另兩個(gè)側(cè)面為平行四邊形，則表面積為(3×33×63×3)×25418.故選B.方法歸納根據(jù)幾何體的三視圖求其表面積與體積的三個(gè)步驟(1)根據(jù)給出的三視圖還原該幾何體的直觀圖(2)由三視圖中的大小標(biāo)示確定該幾何體的各個(gè)度量(3)套用相應(yīng)的面積公式與體積公式計(jì)算求解對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練·1(2018·煙臺(tái)模擬)將一個(gè)長方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截去一個(gè)棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖2­4­4所示，則該幾何體的側(cè)視圖為 ()圖2­4­4B先根據(jù)正視圖和俯視圖還原出幾何體，再作其側(cè)視圖由幾何體的正視圖和俯視圖可知該幾何體如圖所示，故其側(cè)視圖如圖所示故選B.2(2018·江西七校聯(lián)考)若某空間幾何體的三視圖如圖2­4­5所示，則該幾何體的表面積是()圖2­4­5A48B48C482 D482A該幾何體是正四棱柱中挖去了一個(gè)半球，正四棱柱的底面是正方形(邊長為2)，高為5，半球的半徑是1，那么該幾何體的表面積為S2×2×22×4×5×122×1248，故選A.題型2根據(jù)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征計(jì)算表面積或體積全國卷考查解答題多設(shè)兩問，第(1)問考查位置關(guān)系的證明，第(2)問考查空間幾何體體積的求法或點(diǎn)到平面距離的求法高考考法示例·【例2】(1)(2018·全國卷)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A12B12C8 D10B因?yàn)檫^直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2，底面圓的直徑為2，所以該圓柱的表面積為2××()22××212. (2)(2016·全國卷)如圖2­4­6，四棱錐P­ABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM2MD，N為PC的中點(diǎn)圖2­4­6證明MN平面PAB；求四面體N­BCM的體積思路點(diǎn)撥解證明：由已知得AMAD2.如圖，取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN，由N為PC的中點(diǎn)知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TNAM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MNAT.因?yàn)锳T平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.因?yàn)镻A平面ABCD，N為PC的中點(diǎn)，所以N到平面ABCD的距離為PA.如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接AE.由ABAC3得AEBC，AE.由AMBC得M到BC的距離為，故SBCM×4×2.所以四面體N­BCM的體積VN­BCM×SBCM×.方法歸納求解幾何體的表面積及體積的技巧1求幾何體的表面積及體積問題， 可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關(guān)鍵所在求三棱錐的體積，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上2求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解(教師備選)(2017·全國卷)如圖2­4­7，在四棱錐P­ABCD中，ABCD，且BAPCDP90°.(1)證明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90°，且四棱錐P­ABCD的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積圖2­4­7解(1)證明：由已知BAPCDP90°，得ABAP，CDPD.由于ABCD，故ABPD，從而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)如圖，在平面PAD內(nèi)作PEAD，垂足為E.由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，ABAD，可得PE平面ABCD.設(shè)ABx，則由已知可得ADx，PEx.故四棱錐P­ABCD的體積VP­ABCDAB·AD·PEx3.由題設(shè)得x3，故x2.從而結(jié)合已知可得PAPDABDC2，ADBC2，PBPC2.可得四棱錐P­ABCD的側(cè)面積為PA·PDPA·ABPD·DCBC2sin 60°62.對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練·1(2018·全國卷)在長方體ABCD­A1B1C1D1中，ABBC2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長方體的體積為()A8B6C8D8C如圖，連接BC1，因?yàn)锳B平面BB1C1C，所以AC1B30°，ABBC1，所以ABC1為直角三角形又AB2，所以BC12.又B1C12，所以BB12，故該長方體的體積V2×2×28.2(2018·沈陽模擬)在如圖2­4­8所示的幾何體ABCDEF中，平面ABCD平面ABEF，四邊形ABCD和四邊形ABEF都是正方形，且邊長為2，Q是AD的中點(diǎn)圖2­4­8(1)求證：直線AE平面FQC；(2)求點(diǎn)E到平面FQC的距離解(1)四邊形ABCD和四邊形ABEF都是正方形，EFABDC且EFABDC，四邊形DCEF是平行四邊形連接DE交FC于P，連接PQ，則P是DE中點(diǎn)Q是AD的中點(diǎn)，PQ是AED的中位線，PQAE，又AE在平面FQC外，PQ在平面FQC內(nèi)，直線AE平面FQC，(2)由(1)知直線AE平面FQC，故E，A到平面FQC等距離，下面求A到平面FQC的距離，設(shè)這個(gè)距離是x.由平面ABCD平面ABEF，F(xiàn)AAB，知FA平面ABCD，考慮三棱錐F­AQC的體積：VF­AQCVA­FQC.因正方形邊長為2，所以VF­AQC·FA·SAQC×2×1.在RtDQC中求得QC；在RtAQF中求得FQ，在RtFAC中求得FC2.于是可得FQC的面積為，由VF­AQCVA­FQC得，×x，解得x.故點(diǎn)E到平面FQC的距離為.題型3球與幾何體的切接問題核心知識(shí)儲(chǔ)備·1多面體與球接、切問題求解策略(1)截面法：過球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系(2)補(bǔ)形法： “補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長方體，則利用4R2a2b2c2求解2球的切、接問題的常用結(jié)論(1)長、寬、高分別為a，b，c的長方體的體對(duì)角線長等于外接球的直徑，即2R.(2)若直棱柱(或有一條棱垂直于一個(gè)面的棱錐)的高為h，底面外接圓半徑為x，則該幾何體外接球半徑R滿足R2x2.(3)外接球的球心在幾何體底面上的投影，即為底面外接圓的圓心(4)球(半徑為R)與正方體(棱長為a)有以下三種特殊情形：一是球內(nèi)切于正方體，此時(shí)2Ra；二是球與正方體的十二條棱相切，此時(shí)2Ra；三是球外接于正方體，此時(shí)2Ra.高考考法示例·【例3】(1)(2018·南昌模擬)一個(gè)幾何體的三視圖如圖2­4­9所示，其中正視圖是正三角形，則該幾何體的外接球的表面積為()圖2­4­9A.B.C.D.(2)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB3，AC1，BAC60°，AA12，則該三棱柱的外接球的體積為()A. B. C. D20(3)(2018·全國卷)設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐D­ABC體積的最大值為()A12 B18 C24 D54(1)D(2)B(3)B(1)由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的三棱錐S­ABC，其中HS是三棱錐的高，由三視圖可知HS2，HAHBHC2，故H為ABC外接圓的圓心，該圓的半徑為2.由幾何體的對(duì)稱性可知三棱錐S­ABC外接球的球心O在直線HS上，連接OB.設(shè)球的半徑為R，則球心O到ABC外接圓的距離為OH|SHOS|2R|，由球的截面性質(zhì)可得ROB，解得R，所以所求外接球的表面積為4R24×.故選D.(2)設(shè)A1B1C1的外心為O1，ABC的外心為O2，連接O1O2，O2B，OB，如圖所示由題意可得外接球的球心O為O1O2的中點(diǎn)在ABC 中， 由余弦定理可得BC2AB2AC22AB×ACcosBAC32122×3×1×cos 60°7，所以BC.由正弦定理可得ABC外接圓的直徑2r2O2B，所以r.而球心O到截面ABC的距離dOO2AA11，設(shè)直三棱柱ABC­A1B1C1的外接球半徑為R，由球的截面性質(zhì)可得R2d2r212，故R，所以該三棱柱的外接球的體積為VR3.故選B.(3)如圖，E是AC中點(diǎn)，M是ABC的重心，O為球心，連接BE，OM，OD，BO.因?yàn)镾ABCAB29，所以AB6，BMBE2.易知OM平面ABC，所以在RtOBM中，OM2，所以當(dāng)D，O，M三點(diǎn)共線且DMODOM時(shí)，三棱錐D­ABC的體積取得最大值，且最大值VmaxSABC×(4OM)×9×618.故選B.方法歸納1求解與幾何體外接球球心有關(guān)問題的常用方法構(gòu)造法(1)正四面體、三條側(cè)棱兩兩垂直的正三棱錐、四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐，可將三棱錐補(bǔ)形成長方體或正方體；(2)同一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對(duì)的棱相等的三棱錐，可將三棱錐補(bǔ)形成長方體或正方體；(3)若已知棱錐含有線面垂直關(guān)系，則可將棱錐補(bǔ)形成長方體或正方體；(4)若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，則可將三棱錐補(bǔ)形成長方體或正方體2空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的常用方法截面法立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想，如利用球心O與截面圓圓心O的連線垂直于截面圓及球心O與弦中點(diǎn)的連線垂直于弦的性質(zhì)，確定球心對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練·1(2018·張家口模擬)體積為8的正方體ABCD­A1B1C1D1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，則V的最大值為()A8B4C.D.D要使球的體積V最大，則球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，正方體的體積為8，正方體的棱長為2，內(nèi)切球的半徑為1，體積為×13，故選D.2(2018·江西七校聯(lián)考)如圖2­4­10，ABCD是邊長為2的正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點(diǎn)，將ABE，ECF，F(xiàn)DA分別沿AE，EF，F(xiàn)A折起，使B，C，D三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，若四面體PAEF的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積是()圖2­4­10A6 B12 C18 D9C因?yàn)锳PEEPFAPF90°，所以可將四面體補(bǔ)成一個(gè)長方體(PA，PE，PF是從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱)，則四面體和補(bǔ)全的長方體有相同的外接球，設(shè)其半徑為R，由題意知2R3，故該球的表面積S4R24218，故選C.3(2018·湖北七市聯(lián)考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖2­4­11所示，則該幾何體外接球的表面積為()圖2­4­11A36 B. C32 D28B根據(jù)三視圖，可知該幾何體是一個(gè)四棱錐，其底面是一個(gè)邊長為4的正方形，高是2.將該四棱錐還原成一個(gè)三棱柱，如圖所示，該三棱柱的底面是邊長為4的正三角形，高是4，其中心到三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)的距離即為該四棱錐外接球的半徑三棱柱的底面是邊長為4的正三角形，底面三角形的中心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離為×2，其外接球的半徑R，則外接球的表面積S4R24×，故選B.1(2018·全國卷)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30°.若SAB的面積為8，則該圓錐的體積為_8由題意畫出圖形，如圖，設(shè)AC是底面圓O的直徑，連接SO，則SO是圓錐的高設(shè)圓錐的母線長為l，則由SASB，SAB的面積為8，得l28，得l4.在RtASO中，由題意知SAO30°，所以SOl2，AOl2.故該圓錐的體積V×AO2×SO×(2)2×28.2(2018·全國卷)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖2­4­12.圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為()圖2­4­12A2B2C3 D2B設(shè)過點(diǎn)M的高與圓柱的下底面交于點(diǎn)O，將圓柱沿MO剪開，則M，N的位置如圖所示，連接MN，易知OM2，ON4，則從M到N的最短路徑為2.3(2016·全國卷)在封閉的直三棱柱ABC­A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是()A4 B.C6 D.B設(shè)球的半徑為R，ABBC，AB6，BC8，AC10.當(dāng)球與直三棱柱的三個(gè)側(cè)面相切時(shí)，有(6810)×R×6×8，此時(shí)R2；當(dāng)球與直三棱柱兩底面相切時(shí)，有2R3，此時(shí)R.所以在封閉的直三棱柱中，球的最大半徑只能為，故最大體積V3.4(2015·全國卷)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)若三棱錐O­ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A36 B64C144 D256C如圖，設(shè)球的半徑為R，AOB90°，SAOBR2.VO­ABCVC­AOB，而AOB面積為定值，當(dāng)點(diǎn)C到平面AOB的距離最大時(shí)，VO­ABC最大，當(dāng)C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點(diǎn)時(shí)，體積VO­ABC最大值為×R2×R36，R6，球O的表面積為4R24×62144.故選C.