2022高考數(shù)學一本策略復習 專題五 解析幾何 第三講 第二課時 圓錐曲線的定點、定值、存在性問題課后訓練 文
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2022高考數(shù)學一本策略復習 專題五 解析幾何 第三講 第二課時 圓錐曲線的定點、定值、存在性問題課后訓練 文
2022高考數(shù)學一本策略復習 專題五 解析幾何 第三講 第二課時 圓錐曲線的定點、定值、存在性問題課后訓練 文1(2018·云南師大附中質(zhì)檢)已知橢圓C的焦點在x軸上,離心率等于,且過點.(1)求橢圓C的標準方程;(2)過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A,B兩點,交y軸于M點,若1,2,求證:12為定值解析:(1)設(shè)橢圓C的方程為1(ab0),則a25,b21,橢圓C的標準方程為y21.(2)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0) ,又易知F點的坐標為(2,0)顯然直線l存在斜率,設(shè)直線l的斜率為k,則直線l的方程是yk(x2),將直線l的方程代入橢圓C的方程中,消去y并整理得(15k2)x220k2x20k250,x1x2,x1x2.又1,2,將各點坐標代入得1,2,1210,即12為定值2(2018·貴陽一模)過拋物線C:y24x的焦點F且斜率為k的直線l交拋物線C于A,B兩點,且|AB|8.(1)求l的方程;(2)若A關(guān)于x軸的對稱點為D,求證:直線BD恒過定點,并求出該點的坐標解析:(1)易知點F的坐標為(1,0),則直線l的方程為yk(x1),代入拋物線方程y24x得k2x2(2k24)xk20,由題意知k0,且(2k24)24k2·k216(k21)0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,x1x21,由拋物線的定義知|AB|x1x228,6,k21,即k±1,直線l的方程為y±(x1)(2)由拋物線的對稱性知,D點的坐標為(x1,y1),直線BD的斜率kBD,直線BD的方程為yy1(xx1),即(y2y1)yy2y1y4x4x1,y4x1,y4x2,x1x21,(y1y2)216x1x216,即y1y24(y1,y2異號),直線BD的方程為4(x1)(y1y2)y0,恒過點(1,0)3(2018·南寧模擬)已知拋物線C:y2ax(a0)上一點P(t,)到焦點F的距離為2t.(1)求拋物線C的方程;(2)拋物線C上一點A的縱坐標為1,過點Q(3,1)的直線與拋物線C交于M,N兩個不同的點(均與點A不重合),設(shè)直線AM,AN的斜率分別為k1,k2,求證:k1k2為定值解析:(1)由拋物線的定義可知|PF|t2t,則a4t,由點P(t,)在拋物線上,得at,a×,則a21,由a0,得a1,拋物線C的方程為y2x.(2)點A在拋物線C上,且yA1,xA1.A(1,1),設(shè)過點Q(3,1)的直線的方程為x3m(y1),即xmym3,代入y2x得y2mym30.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則y1y2m,y1y2m3,k1k2·,k1k2為定值4(2018·福州四校聯(lián)考)已知橢圓C:1(ab0)的兩個焦點分別為F1,F(xiàn)2,短軸的一個端點為P,PF1F2內(nèi)切圓的半徑為,設(shè)過點F2的直線l被橢圓C截得的線段為RS,當lx軸時,|RS|3.(1)求橢圓C的標準方程;(2)在x軸上是否存在一點T,使得當l變化時,總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱?若存在,請求出點T的坐標;若不存在,請說明理由解析:(1)由內(nèi)切圓的性質(zhì),得×2c×b×(2a2c)×,得.將xc代入1,得y±,所以3.又a2b2c2,所以a2,b,故橢圓C的標準方程為1.(2)當直線l垂直于x軸時,顯然x軸上任意一點T都滿足TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱當直線l不垂直于x軸時,假設(shè)存在T(t,0)滿足條件,設(shè)l的方程為yk(x1),R(x1,y1),S(x2,y2)聯(lián)立方程,得得(34k2)x28k2x4k2120,由根與系數(shù)的關(guān)系得,其中0恒成立,由TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱,得kTSkTR0(顯然TS,TR的斜率存在),即0.因為R,S兩點在直線yk(x1)上,所以y1k(x11),y2k(x21),代入得0,即2x1x2(t1)(x1x2)2t0,將代入得0,則t4,綜上所述,存在T(4,0),使得當l變化時,總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱