2022年高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題五 空間幾何 5.2 空間中的平行與垂直練習(xí)1設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，m是直線且m，“m”是“”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析：當(dāng)m時(shí)，過(guò)m的平面與可能平行也可能相交，因而m/ ；當(dāng)時(shí)，內(nèi)任一直線與平行，因?yàn)閙，所以m.綜上知，“m”是“”的必要而不充分條件答案：B2(2018·全國(guó)卷)在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AE與CD所成角的正切值為()A. BC. D解析：如圖，因?yàn)锳BCD，所以AE與CD所成的角為EAB.在RtABE中，設(shè)AB2，則BE，則tanEAB，所以異面直線AE與CD所成角的正切值為.故選C.答案：C3已知三棱柱ABC­A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為()A. BC. D解析：如圖，取P1為底面ABC的中心，連接PP1，AP1，由底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，知底面三角形的高為，面積為，又三棱柱的體積為，則高PP1，AP11，PAP1為所求角，因?yàn)閠anPAP1，所以PAP1.答案：B4如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的兩個(gè)平面后，某學(xué)生得出下列四個(gè)結(jié)論：BDAC；BAC是等邊三角形；三棱錐D­ABC是正三棱錐；平面ADC平面ABC.其中正確的是()A BC D解析：由題意知，BD平面ADC，故BDAC，正確；AD為等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC是等邊三角形，正確；易知DADBDC，結(jié)合知正確；由知不正確故選B.答案：B5如圖，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，BAC90°，BC1AC，若P為三角形A1B1C1內(nèi)一點(diǎn)(不含邊界)，則點(diǎn)P在底面ABC的投影可能在()AABC的內(nèi)部 BABC的外部C直線AB上 D以上均有可能解析：因?yàn)锳CAB，ACBC1，所以AC平面ABC1，AC平面ABC，所以平面ABC1平面ABC，所以C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上若P為三角形A1B1C1內(nèi)一點(diǎn)(不含邊界)，則點(diǎn)P在底面ABC的投影可能在ABC的外部答案：B6若P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為O，M為PB的中點(diǎn)，給出以下四個(gè)命題：OM平面PCD；OM平面PBC；OM平面PDA；OM平面PBA.其中正確的命題是_解析：由已知可得OMPD，OM平面PCD且OM平面PAD.故正確的只有.答案：7已知a，b，l表示三條不同的直線，表示三個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：若a，b，且ab，則；若a，b相交，且都在，外，a，a，b，b，則；若，a，b，ab，則b；若a，b，la，lb，l，則l.其中正確的命題是_(填序號(hào))解析：在正方體A1B1C1D1­ABCD中，可令平面A1B1CD為，平面DCC1D1為，平面A1B1C1D1為，又平面A1B1CD平面DCC1D1CD，平面A1B1C1D1平面DCC1D1C1D1，則CD與C1D1所在的直線分別表示a，b，因?yàn)镃DC1D1，但平面A1B1CD與平面A1B1C1D1不平行，即與不平行，故錯(cuò)誤因?yàn)閍，b相交，假設(shè)其確定的平面為，根據(jù)a，b，可得.同理可得，因此，正確由兩平面垂直，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線和另一個(gè)平面垂直，易知正確當(dāng)ab時(shí)，l垂直于平面內(nèi)兩條不相交直線，不可得出l，錯(cuò)誤故填.答案：8.如圖，PA圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，E、F分別是點(diǎn)A在PB、PC上的正投影，給出的下列結(jié)論正確的是_AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC.解析：由題意知PA平面ABC，所以PABC.又ACBC，PAACA，所以BC平面PAC.所以BCAF.因?yàn)锳FPC，BCPCC，所以AF平面PBC，PB平面PBC，所以AFPB，又AEPB，AEAFA，所以PB平面AEF，所以PBEF.故正確答案：9(2018·鄭州市第一次質(zhì)量測(cè)試)如圖，在三棱錐P­ABC中，平面PAB平面ABC，AB6，BC2，AC2，D為線段AB上的點(diǎn)，且AD2DB，PDAC.(1)求證：PD平面ABC；(2)若PAB ，求點(diǎn)B到平面PAC的距離解析：(1)證明：cosABC，CD222(2)22×2×2cosABC8，CD2，CD2AD2AC2，則CDAB.平面PAB平面ABC，CD平面PAB，PD平面PAB，CDPD，PDAC，ACCDC，PD平面ABC.(2)由(1)得PDAB，PAB，PDAD4，PA4，在RtPCD中，PC2，PAC是等腰三角形，可求得SPAC8.設(shè)點(diǎn)B到平面PAC的距離為d，由VB­PACVP­ABC，得SPAC×dSABC×PD，d3.故點(diǎn)B到平面PAC的距離為3.10在如圖所示的多面體ABCDE中，已知ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面ABCD平面ABE，AEB90°，AEBE.(1)若M是DE的中點(diǎn)，試在AC上找一點(diǎn)N，使得MN平面ABE，并給出證明；(2)求多面體ABCDE的體積解析：(1)連接BD，交AC于點(diǎn)N，則點(diǎn)N即為所求，證明如下：ABCD是正方形，N是BD的中點(diǎn)，又M是DE的中點(diǎn)，MNBE，BE平面ABE，MN平面ABE，MN平面ABE.(2)取AB的中點(diǎn)F，連接EF，ABE是等腰直角三角形，且AB2，EFAB，EFAB1，平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABEAB，EF平面ABE，EF平面ABCD，即EF為四棱錐E­ABCD的高，V四棱錐E­ABCDS正方形ABCD·EF×22×1.B級(jí)1如圖，四棱錐S­ABCD的底面為正方形，SD底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是()AACSBBAB平面SCDCSA與平面 SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角DAB與SC所成的角等于DC與SA所成的角解析：易證AC平面SBD，因而ACSB，A正確；ABDC，DC平面SCD，故AB平面SCD，B正確；由于SA，SC與平面SBD的相對(duì)位置一樣，因而所成的角相同故選D.答案：D2把平面圖形M上的所有點(diǎn)在一個(gè)平面上的射影構(gòu)成的圖形M稱為圖形M在這個(gè)平面上的射影如圖，在長(zhǎng)方體ABCD­EFGH中，AB5，AD4，AE3.則EBD在平面EBC上的射影的面積是()A2 BC10 D30解析：連接HC，過(guò)D作DMHC，連接ME，MB，因?yàn)锽C平面HCD，又DM平面HCD，所以BCDM，因?yàn)锽CHCC，所以DM平面HCBE，即D在平面HCBE內(nèi)的射影為M，所以EBD在平面HCBE內(nèi)的射影為EBM，在長(zhǎng)方體中，HCBE，所以MBE的面積等于CBE的面積，所以EBD在平面EBC上的射影的面積為××42，故選A.答案：A3如圖所示，平行四邊形ABCD中，DAB60°，AB2，AD4.將CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD.(1)求證：ABDE；(2)求三棱錐E­ABD的側(cè)面積和體積解析：(1)證明：在ABD中，因?yàn)锳B2，AD4，DAB60°，所以BD2，所以AB2BD2AD2，所以ABBD.又平面EBD平面ABD，平面EBD平面ABDBD，AB平面ABD，所以AB平面EBD.又DE平面EBD，所以ABDE.(2)由(1)知ABBD.因?yàn)镃DAB，所以CDBD，從而DEBD.在RtDBE中，因?yàn)镈B2，DEDCAB2，所以SEDBBD·DE2.因?yàn)锳B平面EBD，BE平面EBD，所以ABBE.因?yàn)锽EBCAD4，所以SEABAB·BE4.因?yàn)镈EBD，平面EBD平面ABD，平面EBD平面ABDBD，所以DE平面ABD，而AD平面ABD，所以DEAD，故SEADAD·DE4.故三棱錐E­ABD的側(cè)面積SSEDBSEABSEAD82.因?yàn)镈E平面ABD，且SABDSEBD2，DE2，所以V三棱錐E­ABDSABD×DE×2×2.4如圖，四棱錐P­ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱PA底面ABCD，且PA，E是側(cè)棱PA上的動(dòng)點(diǎn)(1)求四棱錐P­ABCD的體積；(2)如果E是PA的中點(diǎn)，求證：PC平面BDE；(3)不論點(diǎn)E在側(cè)棱PA的任何位置，是否都有BDCE？證明你的結(jié)論解析：(1)因?yàn)镻A平面ABCD，所以VP­ABCDS正方形ABCD·PA×12×，即四棱錐P­ABCD的體積為.(2)證明：如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OE.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以O(shè)是AC的中點(diǎn)，又E是PA的中點(diǎn)，所以PCOE，因?yàn)镻C平面BDE，OE平面BDE，所以PC平面BDE.(3)不論點(diǎn)E在側(cè)棱PA的任何位置，都有BDCE.證明如下：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以BDAC，因?yàn)镻A底面ABCD，且BD平面ABCD，所以BDPA，又ACPAA，所以BD平面PAC.因?yàn)椴徽擖c(diǎn)E在側(cè)棱PA的任何位置，都有CE平面PAC，所以不論點(diǎn)E在側(cè)棱PA的任何位置，都有BDCE.