第5節(jié)古典概型最新考綱1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式；2.會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所包含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.知 識(shí) 梳 理1.基本事件的特點(diǎn)(1)任何兩個(gè)基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2.古典概型具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱(chēng)為古典概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)古典概型.(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè).(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.3.如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是；如果某個(gè)事件A包括的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率P(A).4.古典概型的概率公式P(A).常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.古典概型中的基本事件都是互斥的，確定基本事件的方法主要有列舉法、列表法與樹(shù)狀圖法.2.概率的一般加法公式P(AB)P(A)P(B)P(AB)中，易忽視只有當(dāng)AB，即A，B互斥時(shí)，P(AB)P(A)P(B)，此時(shí)P(AB)0.診 斷 自 測(cè)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“×”)(1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀(guān)察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”.()(2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”、“一正一反”、“兩個(gè)反面”，這三個(gè)事件是等可能事件.()(3)從3，2，1，0，1，2中任取一數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同.()(4)利用古典概型可求：“從長(zhǎng)度為1的線(xiàn)段AB上任取一點(diǎn)C，求滿(mǎn)足|AC|的概率”是古典概型.()答案(1)×(2)×(3)(4)×2.(必修3P133A1改編)袋中裝有6個(gè)白球，5個(gè)黃球，4個(gè)紅球，從中任取一球抽到白球的概率為()A. B. C. D.非以上答案解析從袋中任取一球，有15種取法，其中抽到白球的取法有6種，則所求概率為P.答案A3.(2016·全國(guó)卷)小敏打開(kāi)計(jì)算機(jī)時(shí)，忘記了開(kāi)機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個(gè)字母，第二位是1，2，3，4，5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開(kāi)機(jī)的概率是()A. B. C. D.解析(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)，事件總數(shù)有15種.正確的開(kāi)機(jī)密碼只有1種，P.答案C4.(2018·長(zhǎng)沙模擬)在裝有相等數(shù)量的白球和黑球的口袋中放進(jìn)一個(gè)白球，此時(shí)由這個(gè)口袋中取出一個(gè)白球的概率比原來(lái)由此口袋中取出一個(gè)白球的概率大，則口袋中原有小球的個(gè)數(shù)為()A.5 B.6 C.10 D.11解析設(shè)原來(lái)口袋中白球、黑球的個(gè)數(shù)分別為n個(gè)，依題意，解得n5.所以原來(lái)口袋中小球共有2n10個(gè).答案C5.(2018·茂名調(diào)研)在1，3，5和2，4兩個(gè)集合中各取一個(gè)數(shù)組成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)數(shù)能被4整除的概率是_.解析符合條件的兩位數(shù)共有12個(gè)，其中能被4整除的兩位數(shù)為12，32，52，共3個(gè).所求事件的概率P.答案考點(diǎn)一簡(jiǎn)單古典概型的概率【例1】 (1)(2016·全國(guó)卷)為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是()A. B. C. D.(2)(2017·全國(guó)卷)從分別寫(xiě)有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()A. B. C. D.解析(1)從4種顏色的花中任選2種顏色的花種在一個(gè)花壇中，余下2種顏色的花種在另一個(gè)花壇的種數(shù)有：紅黃白紫、紅白黃紫、紅紫白黃、黃白紅紫、黃紫紅白、白紫紅黃，共6種，其中紅色和紫色的花不在同一花壇的種數(shù)有：紅黃白紫、紅白黃紫、黃紫紅白、白紫紅黃，共4種.故所求概率為P.(2)從5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張的情況如圖：基本事件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10，故所求概率P.答案(1)C(2)D規(guī)律方法1.計(jì)算古典概型事件的概率可分三步：(1)計(jì)算基本事件總個(gè)數(shù)n；(2)計(jì)算事件A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)m；(3)代入公式求出概率P.2.用列舉法寫(xiě)出所有基本事件時(shí)，可借助“樹(shù)狀圖”列舉，以便做到不重、不漏.【訓(xùn)練1】 (1)(2017·天津卷)有5支彩筆(除顏色外無(wú)差別)，顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為()A. B. C. D.(2)(2018·衡水中學(xué)質(zhì)檢)將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是_.解析(1)從5支彩筆中任取2支不同顏色彩筆的取法有紅黃、紅藍(lán)、紅綠、紅紫、黃藍(lán)、黃綠、黃紫、藍(lán)綠、藍(lán)紫、綠紫，共10種，其中取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有紅黃、紅藍(lán)、紅綠、紅紫，共4種.所以所求概率P.(2)將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，共有36種不同結(jié)果.設(shè)事件A“出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10”，其對(duì)立事件“出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和大于或等于10”， 包含的可能結(jié)果有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6種情況.由于P()，因此P(A)1P().答案(1)C(2)考點(diǎn)二應(yīng)用古典概型計(jì)算較復(fù)雜事件的概率【例2】 (2016·山東卷)某兒童樂(lè)園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng).參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤(pán)兩次，每次轉(zhuǎn)動(dòng)后，待轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y.獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：若xy3，則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè)；若xy8則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè)；其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶.假設(shè)轉(zhuǎn)盤(pán)質(zhì)地均勻，四個(gè)區(qū)域劃分均勻，小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng).(1)求小亮獲得玩具的概率；(2)請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說(shuō)明理由.解用數(shù)對(duì)(x，y)表示兒童參加活動(dòng)先后記錄的數(shù)，則基本事件空間與點(diǎn)集S(x，y)|xN，yN，1x4，1y4一一對(duì)應(yīng).得基本事件總數(shù)n16.(1)記“xy3”為事件A，則事件A包含的基本事件數(shù)共5個(gè)，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)，所以P(A)，即小亮獲得玩具的概率為.(2)記“xy8”為事件B，“3xy8”為事件C.則事件B包含的基本事件數(shù)共6個(gè).即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4).所以P(B).事件C包含的基本事件數(shù)共5個(gè)，即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1).所以P(C).因?yàn)椋孕×莲@得水杯的概率大于獲得飲料的概率.規(guī)律方法1.求古典概型的概率的關(guān)鍵是正確列舉出基本事件的總數(shù)和待求事件包含的基本事件數(shù).2.三點(diǎn)注意：(1)對(duì)于較復(fù)雜的題目，列出事件數(shù)時(shí)要正確分類(lèi)，分類(lèi)時(shí)應(yīng)不重不漏.(2)當(dāng)直接求解有困難時(shí)，可考慮轉(zhuǎn)化為互斥事件、對(duì)立事件的概率，借助概率的加法公式計(jì)算.(3)本題中的基本事件(x，y)是有序的，(1，2)與(2，1)表示不同的基本事件.【訓(xùn)練2】 設(shè)a2，4，b1，3，函數(shù)f(x)ax2bx1.(1)求f(x)在區(qū)間(，1上是減函數(shù)的概率；(2)從f(x)中隨機(jī)抽取兩個(gè)，求它們?cè)?1，f(1)處的切線(xiàn)互相平行的概率.解(1)依題意，數(shù)對(duì)(a，b)所有取值為(2，1)，(2，3)，(4，1)，(4，3)共4種情況.記“f(x)在區(qū)間(，1上是減函數(shù)”為事件A.則A發(fā)生時(shí)，x1，即ab.事件A發(fā)生時(shí)，有(2，1)，(4，1)，(4，3)共3種情況.故所求事件的概率P(A).(2)由(1)可知，函數(shù)f(x)共有4種可能，從中隨機(jī)抽取兩個(gè)，有6種抽法.函數(shù)f(x)在(1，f(1)處的切線(xiàn)的斜率為f(1)ab，這兩個(gè)函數(shù)中的a與b之和應(yīng)該相等，則只有(2，3)，(4，1)這1組滿(mǎn)足，故所求事件的概率P.考點(diǎn)三概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題【例3】 (2018·合肥質(zhì)檢)一企業(yè)從某條生產(chǎn)線(xiàn)上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，測(cè)量這些產(chǎn)品的某項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)值x，得到如下的頻率分布表：x11，13)13，15)15，17)17，19)19，21)21，23頻數(shù)2123438104(1)作出樣本的頻率分布直方圖，并估計(jì)該技術(shù)指標(biāo)值x的平均數(shù)和眾數(shù)；(2)若x<13或x21，則該產(chǎn)品不合格.現(xiàn)從不合格的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中技術(shù)指標(biāo)值小于13的產(chǎn)品恰有1件的概率.解(1)頻率分布直方圖為估計(jì)平均數(shù)為12×0.0214×0.1216×0.3418×0.3820×0.1022×0.0417.08.由頻率分布直方圖，x17，19)時(shí)，矩形面積最大，因此估計(jì)眾數(shù)為18.(2)記技術(shù)指標(biāo)值x<13的2件不合格產(chǎn)品為a1，a2，技術(shù)指標(biāo)值x21的4件不合格產(chǎn)品為b1，b2，b3，b4，則從這6件不合格產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件包含如下基本事件(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15個(gè)基本事件.記抽取的2件產(chǎn)品中技術(shù)指標(biāo)值小于13的產(chǎn)品恰有1件為事件M，則事件M包含如下基本事件(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8個(gè)基本事件.故抽取2件產(chǎn)品中技術(shù)指標(biāo)值小于13的產(chǎn)品恰有1件的概率為P.規(guī)律方法1.概率與統(tǒng)計(jì)的綜合題一般是先給出樣本數(shù)據(jù)或樣本數(shù)據(jù)的分布等，在解題中首先要處理好數(shù)據(jù)，如數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)、數(shù)據(jù)的分布規(guī)律等，即把數(shù)據(jù)分析清楚，然后再根據(jù)題目要求進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.2.在求解該類(lèi)問(wèn)題要注意兩點(diǎn)：(1)明確頻率與概率的關(guān)系，頻率可近似替代概率.(2)此類(lèi)問(wèn)題中的概率模型多是古典概型，在求解時(shí)，要明確基本事件的構(gòu)成.【訓(xùn)練3】 海關(guān)對(duì)同時(shí)從A，B，C三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測(cè)，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位：件)如表所示.工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測(cè).地區(qū)ABC數(shù)量50150100(1)求這6件樣品來(lái)自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量；(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè)，求這2件商品來(lái)自相同地區(qū)的概率.解(1)因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是，所以樣本中包含三個(gè)地區(qū)的個(gè)體數(shù)量分別是：50×1，150×3，100×2.所以A，B，C三個(gè)地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別為1，3，2.(2)設(shè)6件來(lái)自A，B，C三個(gè)地區(qū)的樣品分別為A；B1，B2，B3；C1，C2.則從6件樣品中抽取的這2件商品構(gòu)成的所有基本事件為：A，B1，A，B2，A，B3，A，C1，A，C2，B1，B2，B1，B3，B1，C1，B1，C2，B2，B3，B2，C1，B2，C2，B3，C1，B3，C2，C1，C2，共15個(gè).每個(gè)樣品被抽到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.記事件D：“抽取的這2件商品來(lái)自相同地區(qū)”，則事件D包含的基本事件有B1，B2，B1，B3，B2，B3，C1，C2，共4個(gè).所以這2件商品來(lái)自相同地區(qū)的概率P(D).基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1.(2016·北京卷)從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，則甲被選中的概率為()A. B. C. D.解析設(shè)另外三名學(xué)生分別為丙、丁、戊.從5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10種情形，其中甲被選中的有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4種情形.故甲被選中的概率P.答案B2.(2015·全國(guó)卷)如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱(chēng)這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù).從1，2，3，4，5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A. B. C. D.解析從1，2，3，4，5中任取3個(gè)不同的數(shù)共有如下10個(gè)不同的結(jié)果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股數(shù)只有(3，4，5)，所求概率為.所以3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率P.答案C3.(2018·東北四市模擬)將一枚硬幣連續(xù)拋擲n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，則n的最小值為()A.4 B.5 C.6 D.7解析依題意，得1，解得n4.答案A4.在集合A2，3中隨機(jī)取一個(gè)元素m，在集合B1，2，3中隨機(jī)取一個(gè)元素n，得到點(diǎn)P(m，n)，則點(diǎn)P在圓x2y29內(nèi)部的概率為()A. B. C. D.解析點(diǎn)P(m，n)共有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，6種情況，只有(2，1)，(2，2)這2個(gè)點(diǎn)在圓x2y29的內(nèi)部，所求概率為.答案B5.設(shè)m，n分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，則在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下，方程x2mxn0有實(shí)根的概率為()A. B. C. D.解析先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的情況有：(1，5)，(2，5)，(3，5)，(4，5)，(5，5)，(6，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共11種，其中使方程x2mxn0有實(shí)根的情況有：(5，5)，(6，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共7種.故所求事件的概率P.答案C二、填空題6.(2014·全國(guó)卷)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為_(kāi).解析甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員選擇運(yùn)動(dòng)服顏色的情況為(紅，紅)，(紅，白)，(紅，藍(lán))，(白，白)，(白，紅)，(白，藍(lán))，(藍(lán)，藍(lán))，(藍(lán)，白)，(藍(lán)，紅)，共9種.而同色的有(紅，紅)，(白，白)，(藍(lán)，藍(lán))，共3種.所以所求概率P.答案7.(2016·四川卷)從2，3，8，9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，分別記為a，b，則logab為整數(shù)的概率是_.解析從2，3，8，9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，分別記為a，b，則有(2，3)，(2，8)，(2，9)，(3，8)，(3，9)，(8，9)，(3，2)，(8，2)，(9，2)，(8，3)，(9，3)，(9，8), 共12種取法，其中l(wèi)ogab為整數(shù)的有(2，8)，(3，9)兩種，故P.答案8.將號(hào)碼分別為1，2，3，4的四個(gè)小球放入一個(gè)袋中，這些小球僅號(hào)碼不同，其余完全相同，甲從袋中摸出一個(gè)小球，其號(hào)碼為a，放回后，乙從此口袋中再摸出一個(gè)小球，其號(hào)碼為b，則使不等式a2b40成立的事件發(fā)生的概率為_(kāi).解析由題意知(a，b)的所有可能結(jié)果有16種.其中滿(mǎn)足a2b40 有(1，3)，(1，4)，(2，4)，(3，4)共4種結(jié)果.故所求事件的概率P.答案三、解答題9.(2017·山東卷)某旅游愛(ài)好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國(guó)家A1，A2，A3和3個(gè)歐洲國(guó)家B1，B2，B3中選擇2個(gè)國(guó)家去旅游.(1)若從這6個(gè)國(guó)家中任選2個(gè) ，求這2個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的概率；(2)若從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選1個(gè)，求這2個(gè)國(guó)家包括A1但不包括B1的概率.解(1)由題意知，從6個(gè)國(guó)家中任選兩個(gè)國(guó)家，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3，共15個(gè).所選兩個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的事件所包含的基本事件有A1，A2，A1，A3，A2，A3，共3個(gè).則所求事件的概率為P.(2)從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選一個(gè)，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，共9個(gè).包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有A1，B2，A1，B3，共2個(gè)，則所求事件的概率為P.10.(2018·河南名校聯(lián)考)某校高一年級(jí)學(xué)生全部參加了體育科目的達(dá)標(biāo)測(cè)試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，整理數(shù)據(jù)并按分?jǐn)?shù)段40，50)，50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100進(jìn)行分組，假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，則得到體育成績(jī)的折線(xiàn)圖(如下).(1)體育成績(jī)大于或等于70分的學(xué)生常被稱(chēng)為“體育良好”.已知該校高一年級(jí)有1 000名學(xué)生，試估計(jì)該校高一年級(jí)中“體育良好”的學(xué)生人數(shù)；(2)為分析學(xué)生平時(shí)的體育活動(dòng)情況，現(xiàn)從體育成績(jī)?cè)?0，70)和80，90)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求在抽取的2名學(xué)生中，至少有1人體育成績(jī)?cè)?0，70)的概率.解(1)由折線(xiàn)圖，知樣本中體育成績(jī)大于或等于70分的學(xué)生有1431330(人).所以該校高一年級(jí)中，“體育良好”的學(xué)生人數(shù)大約有1 000×750(人).(2)設(shè)“至少有1人體育成績(jī)?cè)?0，70)”為事件M，記體育成績(jī)?cè)?0，70)的數(shù)據(jù)為A1，A2，體育成績(jī)?cè)?0，90)的數(shù)據(jù)為B1，B2，B3，則從這兩組數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2個(gè)，所有可能的結(jié)果有10種，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3).而事件M的結(jié)果有7種，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3).因此事件M的概率P(M).能力提升題組(建議用時(shí)：20分鐘)11.(2017·衡水中學(xué)質(zhì)檢)從集合2，3，4，5中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a，從集合1，3，5中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b，則向量m(a，b)與向量n(1，1)垂直的概率為()A. B.C. D.解析由題意知，向量m共有12個(gè)，由mn，得m·n0，即ab，則滿(mǎn)足mn的m有(3，3)，(5，5)，共2個(gè)，故所求概率P.答案A12.已知函數(shù)f(x)x3ax2b2x1，若a是從1，2，3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為_(kāi).解析對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)可得f(x)x22axb2，要滿(mǎn)足題意需x22axb20有兩個(gè)不等實(shí)根，即4(a2b2)>0，即a>b.又(a，b)的取法共有9種，其中滿(mǎn)足a>b的有(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共6種，故所求的概率P.答案13.某單位N名員工參加“社區(qū)低碳你我他”活動(dòng).他們的年齡在25歲至50歲之間.按年齡分組：第1組25，30)，第2組30，35)，第3組35，40)，第4組40，45)，第5組45，50，得到的頻率分布直方圖如圖所示.下表是年齡的頻數(shù)分布表.區(qū)間25，30)30，35)35，40)40，45)45，50人數(shù)25ab(1)求正整數(shù)a，b，N的值.(2)現(xiàn)要從年齡較小的第1，2，3組中用分層抽樣的方法抽取6人，則年齡在第1，2，3組的人數(shù)分別是多少？(3)在(2)的條件下，從這6人中隨機(jī)抽取2人參加社區(qū)宣傳交流活動(dòng)，求恰有1人在第3組的概率.解(1)由題干中的頻率分布直方圖可知，a25，且b25×100，總?cè)藬?shù)N250.(2)因?yàn)榈?，2，3組共有2525100150(人)，利用分層抽樣在150人中抽取6人，每組抽取的人數(shù)分別為：第1組的人數(shù)為6×1；第2組的人數(shù)為6×1；第3組的人數(shù)為6×4，所以第1，2，3組分別抽取的人數(shù)為1，1，4.(3)由(2)可設(shè)第1組的1人為A，第2組的1人為B，第3組的4人分別為C1，C2，C3，C4，則從6人中抽取2人的所有可能結(jié)果為：(A，B)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C1，C4)，(C2，C3)，(C2，C4)，(C3，C4)，共15種.其中恰有1人在第3組的所有結(jié)果為：(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，共8種，所以恰有1人在第3組的概率為.13