§1.7定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)應(yīng)用定積分求兩條或多條曲線圍成的圖形的面積.2.能利用定積分解決物理中的變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、變力做功問題學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)工具解決物理問題，進(jìn)一步體會(huì)定積分的價(jià)值知識(shí)點(diǎn)一定積分在幾何中的應(yīng)用思考怎樣利用定積分求不分割型圖形的面積？答案求由曲線圍成的面積，要根據(jù)圖形，確定積分上、下限，用定積分來表示面積，然后計(jì)算定積分即可梳理(1)當(dāng)xa，b時(shí)，若f(x)>0，由直線xa，xb(ab)，y0和曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積Sf(x)dx.(2)當(dāng)xa，b時(shí)，若f(x)<0，由直線xa，xb(ab)，y0和曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積Sf(x)dx.(3)當(dāng)xa，b時(shí)，若f(x)>g(x)>0，由直線xa，xb (ab)和曲線yf(x)，yg(x)所圍成的平面圖形的面積Sf(x)g(x)dx.(如圖)知識(shí)點(diǎn)二變速直線運(yùn)動(dòng)的路程思考變速直線運(yùn)動(dòng)的路程和位移相同嗎？答案不同路程是標(biāo)量，位移是矢量，路程和位移是兩個(gè)不同的概念梳理(1)當(dāng)v(t)0時(shí)，求某一時(shí)間段內(nèi)的路程和位移均用dt求解(2)當(dāng)v(t)<0時(shí)，求某一時(shí)間段內(nèi)的位移用dt求解，這一時(shí)段的路程是位移的相反數(shù)，即路程為dt.做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)vv(t)(v(t)0)在時(shí)間區(qū)間a，b上的定積分，即sv(t)dt.知識(shí)點(diǎn)三變力做功問題思考恒力F沿與F相同的方向移動(dòng)了s，力F做的功為WFs，那么變力做功問題怎樣解決？答案與求曲邊梯形的面積一樣，物體在變力F(x)作用下運(yùn)動(dòng)，沿與F相同的方向從xa到xb(a<b)，可以利用定積分得到WF(x)dx.梳理如果物體在變力F(x)的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，并且物體沿著與F(x)相同的方向從xa移動(dòng)到xb(a<b)，那么變力F(x)所做的功為F(x)dx.1曲線yx3與直線xy2，y0圍成的圖形面積為x3dx(2x)dx.()2在求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程時(shí)，物體運(yùn)動(dòng)的速度一定為正(×)3在計(jì)算變力做功時(shí)，不用考慮力與位移的方向(×)類型一利用定積分求面積例1由曲線y2x，yx2所圍圖形的面積S_.考點(diǎn)利用定積分求曲線所圍成圖形面積題點(diǎn)不需分割的圖形的面積求解答案解析由得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0及x1.因此，所求圖形的面積為SS曲邊梯形OABCS曲邊梯形OABDdxx2dx.反思與感悟求由曲線圍成圖形面積的一般步驟(1)根據(jù)題意畫出圖形(2)找出范圍，確定積分上、下限(3)確定被積函數(shù)(4)將面積用定積分表示(5)用微積分基本定理計(jì)算定積分，求出結(jié)果跟蹤訓(xùn)練1求由拋物線yx24與直線yx2所圍成的圖形的面積考點(diǎn)利用定積分求曲線所圍成圖形面積題點(diǎn)不需分割的圖形的面積求解解由得或所以直線yx2與拋物線yx24的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,5)和(2,0)，設(shè)所求圖形面積為S，根據(jù)圖形可得，S(x2)dx(x24)dx.例2求由曲線y，y2x，yx所圍成的圖形的面積考點(diǎn)利用定積分求曲線所圍成圖形面積題點(diǎn)需分割的圖形的面積求解解畫出圖形，如圖所示解方程組得交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,1)，(0,0)，(3，1)，所以Sdxdxdxdx6×92.反思與感悟兩條或兩條以上的曲線圍成的圖形，一定要確定圖形范圍，通過解方程組求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，定出積分上、下限，若積分變量選x運(yùn)算較煩瑣，則積分變量可選y，同時(shí)要更換積分上、下限跟蹤訓(xùn)練2求由曲線yx2，直線y2x和yx所圍成的圖形的面積考點(diǎn)利用定積分求曲線所圍成圖形面積題點(diǎn)需分割的圖形的面積求解解由和解出O，A，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是0,1,2.故所求的面積S(2xx)dx(2xx2)dx0.類型二定積分在物理中的應(yīng)用例3一點(diǎn)在直線上從時(shí)刻t0 s開始以速度vt24t3(v的單位：m/s)運(yùn)動(dòng)，求：(1)該點(diǎn)在t4 s時(shí)的位置；(2)該點(diǎn)前4 s走過的路程考點(diǎn)利用定積分求路程問題題點(diǎn)利用定積分求路程問題解(1)在t4 s時(shí)，該點(diǎn)的位移為(t24t3)dt，即在t4 s時(shí)，該點(diǎn)與出發(fā)點(diǎn)的距離為 m.(2)因?yàn)関(t)t24t3(t1)(t3)，所以在區(qū)間0,1及3,4上，v(t)0，在區(qū)間1,3上，v(t)0，所以走過的路程s(t24t3)dt(t24t3)dt(t24t3)dt(t24t3)dt(t24t3)dt4(m)，即前4 s走過的路程為4 m.反思與感悟(1)求變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的路程(位移)方法用定積分計(jì)算做直線運(yùn)動(dòng)物體的路程，要先判斷速度v(t)在時(shí)間區(qū)間內(nèi)是否為正值，若v(t)>0，則運(yùn)動(dòng)物體的路程為sv(t)dt；若v(t)<0，則運(yùn)動(dòng)物體的路程為s|v(t)|dtv(t)dt；注意路程與位移的區(qū)別(2)求變力做功的方法步驟首先要明確變力的函數(shù)式F(x)，確定物體在力的方向上的位移；利用變力做功的公式WF(x)dx計(jì)算；注意必須將力與位移的單位換算為牛頓與米，功的單位才為焦耳跟蹤訓(xùn)練3一彈簧在彈性限度內(nèi)，拉伸彈簧所用的力與彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度成正比若20 N的力能使彈簧伸長(zhǎng)3 cm，則把彈簧從平衡位置拉長(zhǎng)13 cm(在彈性限度內(nèi))時(shí)所做的功W為()A. J B5 JC. J D6 J考點(diǎn)利用定積分求變力做功問題題點(diǎn)定積分在彈力做功中的應(yīng)用答案A解析設(shè)拉伸彈簧所用的力為F N，彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度為x m，則Fkx.由題意知200.03k，得k，所以Fx.由變力做功公式，得Wxdx(J)，故把彈簧從平衡位置拉長(zhǎng)13 cm時(shí)所做的功為 J.1由曲線yx2與直線y2x所圍成的平面圖形的面積為()A. B.C. D.考點(diǎn)利用定積分求曲線所圍成圖形面積題點(diǎn)不需分割的圖形的面積求解答案A解析如圖，畫出曲線yx2和直線y2x的圖象，則所求面積S為圖中陰影部分的面積解方程組得所以A(2,4)，O(0,0)所以S2xdxx2dxx24.2一物體在力F(x)3x22x5(力的單位：N，位移單位：m)的作用下沿與力F(x)相同的方向由x5 m運(yùn)動(dòng)到x10 m，則F(x)做的功為()A925 J B850 JC825 J D800 J考點(diǎn)利用定積分求變力做功問題題點(diǎn)定積分在彈力做功中的應(yīng)用答案C解析依題意F(x)做的功是WF(x)dx(3x22x5)dx(x3x25x)|825(J)3由曲線y與直線x1，x2，y1所圍成的封閉圖形的面積為_考點(diǎn)利用定積分求曲線所圍成圖形面積題點(diǎn)不需分割的圖形的面積求解答案1ln 2解析因?yàn)楹瘮?shù)y在1,2上的積分為S2dxln x|ln 2，所以圍成的封閉圖形的面積S1等于四邊形ABCD的面積減去S2的面積，即S11ln 2.4一輛汽車的速度時(shí)間曲線如圖所示，則汽車在1分鐘內(nèi)行駛的路程為_ m.考點(diǎn)利用定積分求路程問題題點(diǎn)利用定積分求路程問題答案900解析由速度時(shí)間曲線得v(t)所以汽車在1分鐘內(nèi)行駛的路程為3tdt150750900 m.5求由拋物線yx21，直線x2，y0所圍成的圖形的面積考點(diǎn)利用定積分求曲線所圍成圖形面積題點(diǎn)需分割的圖形的面積求解解作出草圖如圖所示，所求圖形的面積為圖中陰影部分的面積由x210，得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0)和(1,0)，因此所求圖形的面積為S|x21|dx(x21)dx(1x2)dx(x21)dx.對(duì)于簡(jiǎn)單圖形的面積求解，我們可直接運(yùn)用定積分的幾何意義，此時(shí)(1)確定積分上、下限，一般為兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(2)確定被積函數(shù)，一般是上曲線與下曲線對(duì)應(yīng)函數(shù)的差這樣所求的面積問題就轉(zhuǎn)化為運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分了注意區(qū)別定積分與利用定積分計(jì)算曲線所圍圖形的面積：定積分可正、可負(fù)或?yàn)榱?；而平面圖形的面積總是非負(fù)的一、選擇題1.用S表示圖中陰影部分的面積，則S的值是()Af(x)dxB|f(x)dx|Cf(x)dxf(x)dxDf(x)dxf(x)dx考點(diǎn)利用定積分求曲線所圍成圖形面積題點(diǎn)需分割的圖形的面積求解答案D解析xa，b時(shí)，f(x)<0，xb，c時(shí)，f(x)>0，陰影部分的面積Sf(x)dxf(x)dx.2一物體以速度v(3t22t)m/s做直線運(yùn)動(dòng)，則它在t0 s到t3 s時(shí)間段內(nèi)的位移是()A31 m B36 mC38 m D40 m考點(diǎn)利用定積分求路程問題題點(diǎn)利用定積分求路程問題答案B解析S(3t22t)dt(t3t2)|333236(m)，故選B.3一物體在力F(x)4x1(單位：N)的作用下，沿著與力F相同的方向，從x1運(yùn)動(dòng)到x3處(單位：m)，則力F(x)所做的功為()A8 J B10 J C12 J D14 J考點(diǎn)利用定積分求變力做功問題題點(diǎn)定積分在彈力做功中的應(yīng)用答案D解析由變力做功公式有W(4x1)dx(2x2x)|14(J)，故選D.4由直線x0，x，y0與曲線y2sin x所圍成的圖形的面積等于()A3 B. C1 D.考點(diǎn)利用定積分求曲線所圍成圖形面積題點(diǎn)不需分割的圖形的面積求解答案A解析直線x0，x，y0與曲線y2sin x所圍成的圖形如圖所示，其面積為S2cos x2cos (2cos 0)123，故選A.5由yx2，yx2及x1圍成的圖形的面積S等于()A. B.C. D1考點(diǎn)利用定積分求曲線所圍成圖形面積題點(diǎn)不需分割的圖形的面積求解答案C解析yx2，yx2，x1所圍成的圖形如圖所示，Sx2dxx2dxx2dx.6由直線yx，曲線yx3圍成的封閉圖形的面積為()A. B.C. D.考點(diǎn)利用定積分求曲線所圍成圖形面積題點(diǎn)需分割的圖形的面積求解答案C解析由直線yx，曲線yx3圍成的封閉圖形如圖，所以由直線yx，曲線yx3圍成的封閉圖形的面積為2(xx3)dx，故選C.7由曲線y與直線y2x1及x軸所圍成的封閉圖形的面積為()A. B.C. D.考點(diǎn)利用定積分求曲線所圍成圖形面積題點(diǎn)需分割的圖形的面積求解答案D解析聯(lián)立曲線y與直線y2x1，構(gòu)成方程組解得聯(lián)立直線y2x1，y0構(gòu)成方程組，解得曲線y與直線y2x1及x軸所圍成的封閉圖形的面積為Sdx.二、填空題8一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t)73t(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離(單位：m)是_考點(diǎn)利用定積分求路程問題題點(diǎn)利用定積分求路程問題答案425ln 5解析由v(t)73t0，可得t4，因此汽車從剎車到停止一共行駛了4 s，此期間行駛的距離為v(t)dtdt425ln 5.9由曲線yex，yex及x1所圍成的圖形的面積為_考點(diǎn)利用定積分求曲線所圍成圖形面積題點(diǎn)不需分割的圖形的面積求解答案e2解析如圖，所圍成的圖形的面積為(exex)dx(exex)|ee12e2.10.如圖，已知點(diǎn)A，點(diǎn)P(x0，y0)(x0>0)在曲線yx2上，若陰影部分的面積與OAP的面積相等，則x0_.考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)與積分幾何意義的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)與積分幾何定義的應(yīng)用答案解析由題意知×x0×即x0x，解得x0或x0或x00.x0>0，x0.11若兩曲線yx2與ycx3(c>0)圍成圖形的面積是，則c_.考點(diǎn)利用定積分求曲線所圍成圖形的面積題點(diǎn)已知曲線所圍成圖形的面積求參數(shù)答案解析由得x0或x.當(dāng)0<x<時(shí)，x2>cx3，S.c3，c.三、解答題12求由拋物線y28x(y>0)與直線xy60及y0所圍成圖形的面積考點(diǎn)利用定積分求曲線所圍成圖形的面積題點(diǎn)需分割的圖形的面積求解解如圖所示，由得所以拋物線y28x(y>0)與直線xy60的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4)方法一(選y為積分變量)Sdy248×64.方法二(選x為積分變量)S()dx(6x)dx.13.已知函數(shù)f(x)x3ax2bx(a，bR)的圖象如圖所示，它與直線y0在原點(diǎn)處相切，此切線與函數(shù)圖象所圍區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為，求a的值考點(diǎn)利用定積分求曲線所圍成圖形面積題點(diǎn)已知曲線所圍成圖形的面積求參數(shù)解由題圖知方程f(x)0有兩個(gè)實(shí)根，其中有一個(gè)實(shí)根為0，于是b0，所以f(x)x2(xa)有0(x3ax2)dx，所以a±3.又a>0，即a<0，所以a3.四、探究與拓展14.如圖，在邊長(zhǎng)為e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落在陰影部分的概率為_考點(diǎn)利用定積分求曲線所圍成圖形面積題點(diǎn)不需分割的圖形的面積求解答案解析S陰2(eex)dx2(exex)|2，S正方形e2，P.15.已知S1為直線x0，y4t2及y4x2所圍成圖形的面積，S2為直線x2，y4t2及曲線y4x2所圍成圖形的面積(t為常數(shù))(1)若t，求S2；(2)若t(0,2)，求S1S2的最小值考點(diǎn)利用定積分求曲線所圍成圖形面積題點(diǎn)需分割的圖形的面積求解解(1)當(dāng)t時(shí)，S2(1)(2)當(dāng)t(0,2)時(shí)，S1(4x2)(4t2)dxt3.S2(4t2)(4x2)dx2t2t3.所以SS1S2t32t2.S4t24t4t(t1)，令S0，得t0(舍去)或t1，當(dāng)0<t<1時(shí)，S<0，S單調(diào)遞減，當(dāng)1<t<2時(shí)，S>0，S單調(diào)遞增，所以當(dāng)t1時(shí)，Smin2.14