規(guī)范答題示例6直線與圓錐曲線的位置關(guān)系典例6(15分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，且點(diǎn)在橢圓C上(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓E：1，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線ykxm交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q.求的值；求ABQ面積的最大值審題路線圖(1)(2)規(guī) 范 解 答·分 步 得 分構(gòu) 建 答 題 模 板解(1)由題意知1.又，解得a24，b21.所以橢圓C的方程為y21.3分(2)由(1)知橢圓E的方程為1.設(shè)P(x0，y0)，由題意知Q(x0，y0)因?yàn)閥1，又1，即1，所以2，即2.7分設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)將ykxm代入橢圓E的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160，由>0，可得m2<416k2，(*)則x1x2，x1x2.所以|x1x2|.因?yàn)橹本€ykxm與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，m)，所以O(shè)AB的面積S|m|x1x2|2.11分設(shè)t，將ykxm代入橢圓C的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由0，可得m214k2.(*)由(*)(*)可知0<t1，因此S22，故0<S2，當(dāng)且僅當(dāng)t1，即m214k2時(shí)取得最大值2.由知，ABQ的面積為3S，所以ABQ面積的最大值為6.15分第一步求圓錐曲線方程：根據(jù)基本量法確定圓錐曲線的方程第二步聯(lián)立消元：將直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立得到方程：Ax2BxC0，然后研究判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系得等式第三步找關(guān)系：從題設(shè)中尋求變量的等量或不等關(guān)系第四步建函數(shù)：對(duì)范圍最值類(lèi)問(wèn)題，要建立關(guān)于目標(biāo)變量的函數(shù)關(guān)系第五步得范圍：通過(guò)求解函數(shù)值域或解不等式得目標(biāo)變量的范圍或最值，要注意變量條件的制約，檢查最值取得的條件.評(píng)分細(xì)則(1)第(1)問(wèn)中，求a2c2b2關(guān)系式直接得b1，扣1分；(2)第(2)問(wèn)中，求時(shí)，給出P，Q的坐標(biāo)關(guān)系給2分；無(wú)“>0”和“0”者，每處扣2分；聯(lián)立方程消元得出關(guān)于x的一元二次方程給2分；根與系數(shù)的關(guān)系寫(xiě)出后給1分；求最值時(shí)，不指明最值取得的條件扣1分跟蹤演練6(2018·全國(guó))設(shè)橢圓C：y21的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0)(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：OMAOMB.(1)解由已知得F(1,0)，l的方程為x1.由已知可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為或.又M(2,0)，所以AM的方程為yx或yx.即xy20或xy20.(2)證明當(dāng)l與x軸重合時(shí)，OMAOMB0°.當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以O(shè)MAOMB.當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1<，x2<，直線MA，MB的斜率之和kMAkMB.由y1kx1k，y2kx2k，得kMAkMB.將yk(x1)代入y21，得(2k21)x24k2x2k220，由題意知>0恒成立，所以x1x2，x1x2.則2kx1x23k(x1x2)4k0，從而kMAkMB0，故MA，MB的傾斜角互補(bǔ)所以O(shè)MAOMB.綜上，OMAOMB.3