2022年人教A版高中數(shù)學 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-1直線的傾斜角與斜率、直線的方程 教案【教學目標】1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式2.能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直3.掌握確定直線位置的幾何要素.4.掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式等)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.【重點難點】 1.教學重點：理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握確定直線位置的幾何要素及直線方程的幾種形式；2.教學難點：學會對知識進行整理達到系統(tǒng)化，提高分析問題和解決問題的能力；【教學策略與方法】自主學習、小組討論法、師生互動法【教學過程】教學流程教師活動學生活動設(shè)計意圖環(huán)節(jié)二：考綱傳真:1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式2.能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直3.掌握確定直線位置的幾何要素.4.掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式等)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.真題再現(xiàn);1.(xx·全國，12)已知點A(1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直線yaxb(a>0)將ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是()A.(0，1) B.C. D.解析(1)當直線yaxb與AB、BC相交時(如圖)，由得yE，又易知xD，|BD|1，由SDBE××得b.圖圖(2)當直線yaxb與AC、BC相交時(如圖)，由SFCG(xGxF)·|CM|得b1(0<a<1)，對于任意的a>0恒成立，b，即b.故選B. 答案B2.(xx·浙江，3)設(shè)aR，則“a1”是“直線l1：ax2y10與直線l2：x(a1)y40平行”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件解析由l1l2a(a1)20a1或a2，a1是l1l2的充分不必要條件. 答案A3.(xx·四川，14)設(shè)mR，過定點A的動直線xmy0和過定點B的動直線mxym30交于P(x，y)，則|PA|·|PB|的最大值是_.解析易求定點A(0，0)，B(1，3).當P與A和B均不重合時，不難驗證PAPB，所以|PA|2|PB|2|AB|210，所以|PA|·|PB|5(當且僅當|PA|PB|時，等號成立)，當P與A或B重合時，|PA|·|PB|0，故|PA|·|PB|的最大值是5. 答案54.(xx·江蘇，11)在平面直角坐標系xOy中，若曲線yax2(a，b為常數(shù))過點P(2，5)，且該曲線在點P處的切線與直線7x2y30平行，則ab的值是_.解析由曲線yax2過點P(2，5)可得54a(1).又y2ax，所以在點P處的切線斜率4a(2).由(1)(2)解得a1，b2，所以ab3. 答案3知識梳理：知識點1直線的傾斜角1定義；當直線l與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基準，x軸正方向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角2規(guī)定；當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0.3范圍；直線的傾斜角的取值范圍是0，)知識點2直線的斜率1定義；若直線的傾斜角不是90°，則其斜率ktan_.2計算公式；若由A(x1，y1)，B(x2，y2)確定的直線不垂直x軸，則k.知識點3兩直線的平行、垂直與其斜率的關(guān)系條件兩直線位置關(guān)系斜率的關(guān)系兩條不重合的直線l1，l2，斜率分別為k1，k2平行k1k2k1與k2都不存在垂直k1k21k1與k2一個為零、另一個不存在知識點4直線方程的五種形式名稱已知條件方程適用范圍點斜式斜率k與點(x0，y0)yy0k(xx0)不含直線xx0斜截式斜率k與直線在y軸上的截距bykxb不含垂直于x軸的直線兩點式兩點(x1，y1)，(x2，y2)不含直線xx1(x1x2)和直線yy1(y1y2)截距式直線在x軸、y軸上的截距分別為a，b1不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用1必會結(jié)論；(1)直線系方程與直線AxByC0平行的直線系方程是AxBym0(mR且mC)與直線AxByC0垂直的直線系方程是BxAym0(mR)(2)兩直線平行或重合的充要條件直線l1：A1xB1yC10與直線l2：A2xB2yC20平行或重合的充要條件是：A1B2A2B10.(3)兩直線垂直的充要條件直線l1：A1xB1yC10與直線l2：A2xB2yC20垂直的充要條件是：A1A2B1B20.2必清誤區(qū)；(1)求直線方程時，若不能斷定直線是否具有斜率時，應注意分類討論，即應對斜率是否存在加以討論(2)截距不是距離，距離是非負值，而截距可正可負，可為零，在與截距有關(guān)的問題中，要注意討論截距是否為零考點分項突破考點一：直線的傾斜角與斜率1直線xcos y20的傾斜角的范圍是()A. B.C. D.【解析】直線的斜率kcos ，設(shè)直線的傾斜角為，則tan .所以0或<，故選B.【答案】B2若直線l與直線y1，x7分別交于點P，Q，且線段PQ的中點坐標為(1，1)，則直線l的斜率為()A. B C D.【解析】設(shè)P(x,1)，Q(7，y)，則1，1，x5，y3，即P(5,1)，Q(7，3)，故直線l的斜率k.故選B.【答案】B3若直線l過點P(1,2)，且與以A(2，3)，B(3,0)為端點的線段相交，則直線l的斜率的取值范圍是_【解析】如圖所示，為使直線l與線段AB相交，則直線l的斜率k滿足kkPA或kkPB，又kPA5.kPB，則k5，)【答案】5，)歸納；1已知直線方程求直線傾斜角范圍的一般步驟(1)求出斜率k的取值范圍(若斜率不存在，傾斜角為90°)(2)利用正切函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象或單位圓確定傾斜角的取值范圍2直線的斜率與傾斜角的關(guān)系(1)當且由0增大到時，k由0增大到.(2)當時，k也是關(guān)于的單調(diào)函數(shù)，當在此區(qū)間內(nèi)由增大到()時，k由趨近于0(k0)考點二: 直線的方程命題角度1求直線方程1直線l過點(3,4)，且在兩坐標軸上的截距之和為12，則直線l的方程為_【解析】由題意知，截距不為0，設(shè)直線l的方程為1.又直線l過點(3,4)，從而1，解得a4或a9，故所求直線方程為4xy160或x3y90.【答案】4xy160或x3y902若A(1，2)，B(5,6)，直線l經(jīng)過AB的中點M且在兩坐標軸上的截距相等，則直線l的方程為_【解析】由題意知M(3,2)，若直線l在兩坐標軸上的截距為0，即直線l過(0,0)及(3,2)，所以直線l的方程為yx，即2x3y0.若直線l在兩坐標軸上的截距不為0，則設(shè)直線l的方程為1，又點(3,2)在直線l上，所以1，解得a5，因此直線l的方程為xy50.綜上知，直線l的方程為2x3y0或xy50.【答案】2x3y0或xy50命題角度2與直線方程有關(guān)的最值問題3已知直線l過點P(3,2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，如圖所示，求ABO的面積的最小值及此時直線l的方程【解】法一設(shè)直線l的方程為1(a0，b0)，則A(a,0)，B(0，b)，ABO的面積Sab，直線l過點P(3,2)，12 ，即ab24.當且僅當，即a6，b4時取等號Sab12，當且僅當a6，b4時有最小值12.此時直線l的方程為1，即2x3y120.法二設(shè)直線l的方程為y2k(x3)(k0)令x0，得y23k，令y0，得x3，即A，B(0,23k)SABO(23k)×(1212)12.當且僅當9k時，即k時，等號成立即ABO面積的最小值為12.故所求直線的方程為2x3y120.歸納：1求直線方程的方法(1)直接法：根據(jù)已知條件選擇恰當?shù)闹本€方程形式，直接求出直線方程(2)待定系數(shù)法：先根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程，再根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)，求出待定系數(shù)，從而求出直線方程2解決直線方程問題的注意點(1)應用“點斜式”和“斜截式”方程時，要注意討論斜率是否存在(2)應用截距式方程時要注意討論直線是否過原點，截距是否為0.考點三: 兩條直線平行、垂直的關(guān)系(1)若直線l1：ax2y60與直線l2：x(a1)ya210平行，則a_.(2)若直線l3：(a2)x(2a)y1與直線l4：(a2)x(3a4)y2互相垂直，則a的值為_【解析】(1)由l1l2得a(a1)2，解得a2或a1，經(jīng)驗證當a2或a1時l1l2.(2)由l3l4得(a2)(a2)(2a)(3a4)0，解得a2或3.【答案】(1)2或1(2)2或3跟蹤訓練：1已知直線l1：(3a)x4y53a和直線l2：2x(5a)y8平行，則a()A7或1 B7C7或1 D1【解析】由l1l2，得(3a)(5a)80，解得a7或a1.經(jīng)檢驗，當a1時，l1與l2重合，故a7.【答案】B2在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則直線xsin Aayc0與直線bxysin Bsin C0的位置關(guān)系是()A平行 B垂直C重合 D相交但不垂直【解析】在ABC中，由正弦定理，·1.又xsin Aayc0的斜率k1，bxysin Bsin C0的斜率k2，因此k1·k2·1，兩條直線垂直【答案】B歸納：根據(jù)兩條直線平行或垂直的關(guān)系求參數(shù)的方法1直接使用兩條直線平行或重合的充要條件和兩條直線垂直的充要條件求解在使用兩條直線平行或重合的充要條件時，應驗證兩條直線重合的情況2先求出直線的斜率，然后利用斜率之間的關(guān)系求解使用此方法應注意直線斜率不存在的情況易錯辨析求直線方程忽視零截距致誤1.經(jīng)過點A(5,2)，且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程是_錯誤解法由題意，可設(shè)直線方程為1.將(5,2)代入所設(shè)方程可得，1.解得a，所以此直線方程為x2y10.錯解分析分析上面解題過程，你知道錯在哪里嗎？提示：上述解題過程忽視了直線在兩坐標軸上的截距為零的情況，此時直線過坐標原點，也滿足在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍這一條件自我糾正當直線不過原點時，設(shè)所求直線方程為1，將(5,2)代入所設(shè)方程，解得a，此時，直線方程為x2y10.當直線過原點時，也符合題意，此時直線的斜率k.直線方程為yx，即2x5y0.故所求直線方程為2x5y0或x2y10.【答案】2x5y0或x2y10。學生通過對高考真題的解決，發(fā)現(xiàn)自己對知識的掌握情況。 學生通過對高考真題的解決，感受高考題的考察視角。 教師引導學生及時總結(jié)，以幫助學生形成完整的認知結(jié)構(gòu)。引導學生通過對基礎(chǔ)知識的逐點掃描，來澄清概念，加強理解。從而為后面的練習奠定基礎(chǔ).在解題中注意引導學生自主分析和解決問題，教師及時點撥從而提高學生的解題能力和興趣。教師引導學生及時總結(jié)，以幫助學生形成完整的認知結(jié)構(gòu)。 通過對考綱的解讀和分析。讓學生明確考試要求，做到有的放矢由常見問題的解決和總結(jié)，使學生形成解題模塊，提高模式識別能力和解題效率。教師引導學生及時總結(jié)，以幫助學生形成完整的認知結(jié)構(gòu)。引導學生對所學的知識進行小結(jié)，由利于學生對已有的知識結(jié)構(gòu)進行編碼處理，加強理解記憶，提高解題技能。環(huán)節(jié)三：課堂小結(jié)：1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式2.能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直3.掌握確定直線位置的幾何要素.4.掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式等)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.學生回顧，總結(jié).引導學生對學習過程進行反思，為在今后的學習中，進行有效調(diào)控打下良好的基礎(chǔ)。環(huán)節(jié)四：課后作業(yè)：學生版練與測學生通過作業(yè)進行課外反思，通過思考發(fā)散鞏固所學的知識。