第1課時用空間向量解決立體幾何中的平行問題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解空間點(diǎn)、線、面的向量表示.2.理解直線的方向向量與平面的法向量的意義，并會求平面的法向量.3.能用向量法證明直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行問題知識點(diǎn)一直線的方向向量與平面的法向量(1)用向量表示直線的位置條件直線l上一點(diǎn)A表示直線l方向的向量a(即直線的方向向量)形式在直線l上取a，那么對于直線l上任意一點(diǎn)P，一定存在實(shí)數(shù)t，使得t作用定位置點(diǎn)A和向量a可以確定直線的位置定點(diǎn)可以具體表示出l上的任意一點(diǎn)(2)用向量表示平面的位置通過平面上的一個定點(diǎn)O和兩個向量a和b來確定：條件平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量a，b和交點(diǎn)O形式對于平面上任意一點(diǎn)P，存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)使得xayb通過平面上的一個定點(diǎn)A和法向量來確定：平面的法向量直線l，直線l的方向向量，叫做平面的法向量確定平面位置過點(diǎn)A，以向量a為法向量的平面是完全確定的(3)直線的方向向量和平面的法向量直線的方向向量能平移到直線上的非零向量a，叫做直線l的一個方向向量平面的法向量直線l，取直線l的方向向量n，叫做平面的法向量知識點(diǎn)二平面的法向量及其求法在空間直角坐標(biāo)系下，求平面的法向量的一般步驟：(1)設(shè)平面的法向量為n(x，y，z)；(2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)；(3)根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x，y，z的方程組(4)解方程組，取其中的一組解，即得平面的一個法向量知識點(diǎn)三用空間向量處理平行關(guān)系設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面，的法向量分別為，v，則線線平行l(wèi)mabakb(kR)線面平行l(wèi)aa·0面面平行vkv(kR).(1)若兩條直線平行，則它們的方向向量的方向相同或相反()(2)兩直線的方向向量平行，則兩直線平行；兩直線的方向向量垂直，則兩直線垂直(×)(3)若向量n1，n2為平面的法向量，則以這兩個向量為方向向量的直線一定平行(×)(4)若平面外的一條直線的方向向量與平面的法向量垂直，則該直線與平面平行()(5)若直線l1，l2的方向向量分別為a(1,2，2)，b(2,3,2)，則l1l2.()類型一求平面的法向量例1已知ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，試求出平面ABC的一個法向量考點(diǎn)直線的方向向量與平面的法向量題點(diǎn)求平面的法向量解設(shè)平面ABC的法向量為n(x，y，z)A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，(2,1,3)，(1，1,0)則有即解得令z1，則xy3.故平面ABC的一個法向量為n(3,3,1)反思與感悟利用方程的思想求解平面的法向量，注意一個平面的法向量不是唯一的，它有無數(shù)個，它們是共線的跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，在四棱錐SABCD中，底面是直角梯形，ADBC，ABC90°，SA底面ABCD，且SAABBC1，AD，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面SCD與平面SBA的一個法向量考點(diǎn)直線的方向向量與平面的法向量題點(diǎn)求平面的法向量解以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AS所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，則，.向量是平面SAB的一個法向量設(shè)n(x，y，z)為平面SDC的一個法向量，則即取x2，得y1，z1，故平面SDC的一個法向量為(2，1,1)類型二利用空間向量證明平行問題例2已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點(diǎn)，求證：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.考點(diǎn)直線的方向向量與平面的法向量題點(diǎn)求平面的法向量證明(1)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以(0,2,1)，(2,0,0)，(0,2,1)設(shè)n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，則n1，n1，即得令z12，則y11，所以n1(0，1,2)因?yàn)?#183;n1220，所以n1.又因?yàn)镕C1平面ADE，所以FC1平面ADE.(2)因?yàn)?2,0,0)，設(shè)n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一個法向量由n2，n2，得得令z22，得y21，所以n2(0，1,2)，因?yàn)閚1n2，所以平面ADE平面B1C1F.反思與感悟利用向量證明平行問題，可以先建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量和平面的法向量，然后根據(jù)向量之間的關(guān)系證明平行問題跟蹤訓(xùn)練2如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，PB與底面所成的角為45°，底面ABCD為直角梯形，ABCBAD90°，PABCAD1，問在棱PD上是否存在一點(diǎn)E，使CE平面PAB？若存在，求出E點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由考點(diǎn)直線的方向向量與平面的法向量題點(diǎn)求平面的法向量解存在點(diǎn)E使CE平面PAB.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，設(shè)E(0，y，z)，則(0，y，z1)，(0,2，1)，y(1)2(z1)0，(0,2,0)是平面PAB的法向量，又(1，y1，z)，CE平面PAB，(1，y1，z)·(0,2,0)0.y1，代入得z，E是PD的中點(diǎn)，存在E點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E為PD中點(diǎn)時，CE平面PAB.1已知l1的方向向量為v1(1,2,3)，l2的方向向量為v2(，4,6)，若l1l2，則等于()A1B2C3D4考點(diǎn)直線的方向向量與平面的法向量題點(diǎn)求直線的方向向量答案B解析由l1l2，得v1v2，得，故2.2已知直線l1，l2的方向向量分別為a，b，且a(1,0,2)，b(6,21,2)，若l1l2，則與的值可以分別是()A2，B，C3,2D2,2考點(diǎn)直線的方向向量與平面的法向量題點(diǎn)求直線的方向向量答案A解析由題意知解得或3若A(1,0,1)，B(1,4,7)在直線l上，則直線l的一個方向向量為()A(1,2,3) B(1,3,2) C(2,1,3) D(3,2,1)考點(diǎn)直線的方向向量與平面的法向量題點(diǎn)求直線的方向向量答案A解析因?yàn)?2,4,6)，所以與共線的非零向量都可以作為直線l的方向向量4若直線l，且l的方向向量為(2，m,1)，平面的法向量為，則m為()A4B6C8D8考點(diǎn)直線的方向向量與平面的法向量題點(diǎn)求直線的方向向量答案C解析l，平面的法向量為，(2，m,1)·0，2m20，m8.5在正方體ABCDA1B1C1D1中，平面ACD1的一個法向量為_考點(diǎn)直線的方向向量與平面的法向量題點(diǎn)求平面的法向量答案(1,1,1)(答案不唯一)解析不妨設(shè)正方體的棱長為1，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，設(shè)平面ACD1的一個法向量a(x，y，z)，則a·0, a·0.因?yàn)?1,1,0)，(1,0,1)，所以所以所以不妨取x1，則a(1,1,1)(注：答案不唯一，只要與所給答案共線都對)1應(yīng)用向量法證明線面平行問題的方法(1)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直(2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一直線的方向向量共線(3)證明直線的方向向量可用平面內(nèi)的任兩個不共線的向量表示即用平面向量基本定理證明線面平行2證明面面平行的方法設(shè)平面的法向量為n1(a1，b1，c1)，平面的法向量為n2(a2，b2，c2)，則n1n2(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR)一、選擇題1若直線l的方向向量為a，平面的法向量為，則能使l的是()Aa(1,0,0)，(2,0,0)Ba(1,3,5)，(1,0,1)Ca(0,2,1)，(1,0,1)Da(1，1,3)，(0,3,1)考點(diǎn)直線的方向向量與平面的法向量題點(diǎn)求直線的方向向量答案D解析由l，故a，即a·0，故選D.2已知直線l1的方向向量a(2，3,5)，直線l2的方向向量b(4，x，y)，若兩直線l1l2，則x，y的值分別是()A6和10B6和10C6和10D6和10考點(diǎn)直線的方向向量與平面的法向量題點(diǎn)求直線的方向向量答案A解析由兩直線l1l2，得兩向量a，b平行，即，所以x，y的值分別是6和10.3直線l的方向向量s(1,1,1)，平面的一個法向量為n(2，x2x，x)，若直線l，則x的值為()A2BC.D±考點(diǎn)直線的方向向量與平面的法向量題點(diǎn)求平面的法向量答案D解析依題意得，1×21×(x2x)1×(x)0，解得x±.4已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則平面ABC的一個單位法向量是()A.B.C.D.考點(diǎn)直線的方向向量與平面的法向量題點(diǎn)求平面的法向量答案D解析(1,1,0)，(1,0,1)設(shè)平面ABC的一個法向量為n(x，y，z)令x1，則y1，z1，n(1,1,1)，單位法向量為或.5設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為b，若a·b0，則()AlBlClDl或l考點(diǎn)直線的方向向量與平面的法向量題點(diǎn)求直線的方向向量答案D解析當(dāng)a·b0時，l或l.6已知平面的法向量是(2,3，1)，平面的法向量是(4，2)，若，則的值是()AB6C6D.考點(diǎn)直線的方向向量與平面的法向量題點(diǎn)求平面的法向量答案B解析，的法向量與的法向量也互相平行，6.7已知平面內(nèi)兩向量a(1,1,1)，b(0,2，1)且cmanb(4，4,1)若c為平面的法向量，則m，n的值分別為()A1,2B1，2C1,2D1，2考點(diǎn)直線的方向向量與平面的法向量題點(diǎn)求平面的法向量答案A解析cmanb(4，4,1)(m，m，m)(0,2n，n)(4，4,1)(m4，m2n4，mn1)，由c為平面的法向量，得即解得二、填空題8若A，B，C是平面內(nèi)三點(diǎn)，設(shè)平面的法向量為a(x，y，z)，則xyz_.考點(diǎn)直線的方向向量與平面的法向量題點(diǎn)求平面的法向量答案23(4)解析由已知得，a是平面的一個法向量，a·0，a·0，即解得xyzyy23(4)9已知l，且l的方向向量為m(2，8,1)，平面的法向量為n(1，y,2)，則y_.考點(diǎn)直線的方向向量與平面的法向量題點(diǎn)求平面的法向量答案解析l，l的方向向量m(2，8,1)與平面的法向量n(1，y,2)垂直，2×18×y20，y.10設(shè)平面的法向量為m(1,2，2)，平面的法向量為n(2，4，k)，若，則k_.考點(diǎn)直線的方向向量與平面的法向量題點(diǎn)求平面的法向量答案4解析由得，解得k4.三、解答題11已知平面經(jīng)過點(diǎn)A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，試求平面的一個法向量考點(diǎn)直線的方向向量與平面的法向量題點(diǎn)求平面的法向量解A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，(1，2，4)，(2，4，3)設(shè)平面的法向量是n(x，y，z)，依題意有即解得令y1，則x2，平面的一個法向量是n(2,1,0)12.如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)ABAP1，AD，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面ACE的一個法向量考點(diǎn)直線的方向向量與平面的法向量題點(diǎn)求平面的法向量解因?yàn)镻A平面ABCD，底面ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則D(0，0)，E，B(1,0,0)，C(1，0)，于是，(1，0)設(shè)n(x，y，z)為平面ACE的法向量，則即所以令y1，則xz.所以平面ACE的一個法向量為n(，1，)13已知空間四邊形ABCD，P，Q分別是ABC和BCD的重心，求證：PQ平面ACD.考點(diǎn)直線的方向向量與平面的法向量題點(diǎn)求平面的法向量證明如圖，連接AP并延長交BC于點(diǎn)E，連接ED，易知Q在線段ED上，P，Q分別是ABC和BCD的重心，()，即PQAD，又AD平面ACD，PQ平面ACD，PQ平面ACD.四、探究與拓展14已知直線l過點(diǎn)P(1,0，1)且平行于向量a(2,1,1)，平面過直線l與點(diǎn)M(1,2,3)，則平面的法向量不可能是()A(1，4,2) B.C.D(0，1,1)考點(diǎn)直線的方向向量與平面的法向量題點(diǎn)求平面的法向量答案D解析因?yàn)?0,2,4)，直線l平行于向量a，若n是平面的一個法向量，則必須滿足把選項(xiàng)代入驗(yàn)證，只有選項(xiàng)D不滿足，故選D.15.如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB3，AA14，AD5.求證：平面A1BD平面B1D1C.考點(diǎn)直線的方向向量與平面的法向量題點(diǎn)求平面的法向量證明如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0,0,0)，A1(5,0,4)，B(5,3,0)，D1(0,0,4)，B1(5,3,4)，C(0,3,0)，(5,0，4)，(0,3，4)，(0,3，4)，(5,0，4)設(shè)平面A1BD的一個法向量為m(x，y，z)，則即取z1，得x，y，則m.設(shè)平面B1D1C的一個法向量為n(a，b，c)，則得n.mn，即mn，平面A1BD平面B1D1C.12