2022年高中數(shù)學必修四 2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義教案2備課人授課時間課題§2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義課標要求掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律教學目標知識目標掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義及向量垂直的條件.技能目標用平面向量的數(shù)量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題情感態(tài)度價值觀培養(yǎng)細心嚴謹?shù)膶W習態(tài)度重點平面向量的數(shù)量積定義難點平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解和平面向量數(shù)量積的應用教學過程及方法問題與情境及教師活動學生活動一、復習引入：1 向量共線定理 向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)，使=.2平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)1，2使=1+23平面向量的坐標運算若，則，.若，則4 力做的功：W = |F|×|s|cosq，q是F與s的夾角.二、講解新課：1兩個非零向量夾角的概念已知非零向量與，作，則（）叫與的夾角.說明：（1）當時，與同向；（2）當時，與反向；C教學過程及方法問題與情境及教師活動學生活動 （3）當時，與垂直，記；（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的.范圍0°q180°C2平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量|a|b|cosq叫與的數(shù)量積，記作a×b，即有a×b = |a|b|cosq，（）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.×探究：兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別（1）兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定.（2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a×b；今后要學到兩個向量的外積a×b，而a×b是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴格區(qū)分.符號“· ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在實數(shù)中，若a¹0，且a×b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a¹0，且a×b=0，不能推出b=0.因為其中cosq有可能為0.（4）已知實數(shù)a、b、c(b¹0)，則ab=bc Þ a=c.但是a×b = b×c a = c 如右圖：a×b = |a|b|cosb = |b|OA|，b×c = |b|c|cosa = |b|OA|Þ a×b = b×c 但a ¹ c(5)在實數(shù)中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c ¹ a(b×c) 顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線.3.向量數(shù)量積的運算律4“投影”的概念：作圖 . 教學過程及方法問題與情境及教師活動學生活動定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影投影也是一個數(shù)量，不是向量；當q為銳角時投影為正值；當q為鈍角時投影為負值；當q為直角時投影為0；當q = 0°時投影為 |b|；當q = 180°時投影為 -|b|.4向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a×b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積.5兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量.1° e×a = a×e =|a|cosq2° ab Û a×b = 03° 當a與b同向時，a×b = |a|b|；當a與b反向時，a×b = -|a|b|. 特別的a×a = |a|2或4° cosq =5° |a×b| |a|b|三、講解范例：課本104頁例1 105頁例2 例3 例4例5判斷正誤，并簡要說明理由.·00；0·；0；·；若0，則對任一非零有·；·，則與中至少有一個為0；對任意向量，都有（·）（·）；與是兩個單位向量，則.解：上述8個命題中只有正確；評述：這一類型題，要求學生確實把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律.五、小結（略） 六、課后作業(yè)（略）教學小結課后反思