13.3函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解極值與最值的關(guān)系，并能利用其求參數(shù)的范圍.2.能利用導(dǎo)數(shù)解決一些簡(jiǎn)單的恒成立問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)最值的基本方法(1)求導(dǎo)函數(shù)：求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)；(2)求極值嫌疑點(diǎn)：即f(x)不存在的點(diǎn)和f(x)0的點(diǎn)；(3)列表：依極值嫌疑點(diǎn)將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)子區(qū)間，列出f(x)與f(x)隨x變化的一覽表；(4)求極值：依(3)的表中所反應(yīng)的相關(guān)信息，求出f(x)的極值點(diǎn)和極值；(5)求區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值；(6)求最值：比較極值嫌疑點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值后，得出函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)的最大值和最小值.類型一由極值與最值關(guān)系求參數(shù)范圍例1若函數(shù)f(x)3xx3在區(qū)間(a212，a)上有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(1，) B(1,4)C(1,2 D(1,2)考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點(diǎn)最值存在性問(wèn)題答案C解析由f(x)33x20，得x±1.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)22由此得a212<1<a，解得1<a<.又當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，且當(dāng)x2時(shí)，f(x)2.a2.綜上，1<a2.反思與感悟函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)存在最值，則極值點(diǎn)必落在該區(qū)間內(nèi)跟蹤訓(xùn)練1若函數(shù)f(x)x36bx3b在(0,1)內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()A(0,1) B(，1)C(0，) D.考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點(diǎn)最值存在性問(wèn)題答案D解析由題意得，函數(shù)f(x)x36bx3b的導(dǎo)數(shù)f(x)3x26b在(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)，且f(0)<0，f(1)>0，即6b<0，且(36b)>0，0<b<，故選D.類型二與最值有關(guān)的恒成立問(wèn)題例2已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc在x與x1處都取得極值(1)求a，b的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)x1,2，不等式f(x)<c2恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求恒成立中參數(shù)的取值范圍解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb，因?yàn)閒(1)32ab0，fab0，解得a，b2，所以f(x)3x2x2(3x2)(x1)，令f(x)0，得x或x1，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x1(1，)f(x)00f(x)極大值極小值所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，(1，)；單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)由(1)知，f(x)x3x22xc，x1,2，當(dāng)x時(shí)，f c為極大值，因?yàn)閒(2)2c，所以f(2)2c為最大值要使f(x)<c2(x1,2)恒成立，只需c2>f(2)2c，解得c<1或c>2.故實(shí)數(shù)c的取值范圍為(，1)(2，)引申探究若本例中條件不變，“把(2)中對(duì)x1,2，不等式f(x)<c2恒成立”改為“若存在x1,2，不等式f(x)<c2成立”，結(jié)果如何？解由典例解析知當(dāng)x1時(shí)，f(1)c為極小值，又f(1)c>c，所以f(1)c為最小值因?yàn)榇嬖趚1,2，不等式f(x)<c2成立，所以只需c2>f(1)c，即2c22c3>0，解得cR.故實(shí)數(shù)c的取值范圍為R.反思與感悟分離參數(shù)求解不等式恒成立問(wèn)題的步驟跟蹤訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)f(x)2xln x，g(x)x2ax3對(duì)一切x(0，)，f(x)g(x)恒成立，則a的取值范圍是_考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求恒成立中參數(shù)的取值范圍答案(，4解析由2xln xx2ax3，得a2ln xx.設(shè)h(x)2ln xx(x>0)則h(x)，當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)>0，h(x)單調(diào)遞增h(x)minh(1)4.a4.(2)設(shè)L為曲線C：y在點(diǎn)(1,0)處的切線求L的方程；證明：除切點(diǎn)(1,0)之外，曲線C在直線L的下方考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點(diǎn)恒成立中的證明問(wèn)題解設(shè)f(x)，則f(x)，所以f(1)1，所以L的方程為yx1.證明設(shè)g(x)x1f(x)，除切點(diǎn)外，曲線C在直線L的下方等價(jià)于x>0且x1，g(x)>0.g(x)滿足g(1)0，且g(x)1f(x).當(dāng)0<x<1時(shí)，x21<0，ln x<0，所以g(x)<0，故g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，x21>0，ln x>0，所以g(x)>0，故g(x)在(1，)上單調(diào)遞增；所以，x>0且x1，g(x)>g(1)0.所以除切點(diǎn)外，曲線C在直線L的下方.1函數(shù)f(x)xex，x0,4的最大值是()A0 B. C. D.考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值答案B解析f(x)exxexex(1x)，當(dāng)0x1時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)1x4時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x1時(shí)，f(x)maxf(1).故選B.2函數(shù)f(x)xln x的最小值為()Ae2 BeCe1 D考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值答案C解析f(x)xln x，定義域是(0，)，f(x)1ln x，令f(x)>0，解得x>，令f(x)<0，解得0<x<，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)x時(shí)，函數(shù)取最小值，故選C.3已知函數(shù)f(x)exxa，若f(x)>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(1，) B(，1)C1，) D(，1考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求恒成立中參數(shù)的取值范圍答案A解析f(x)ex1，令f(x)>0，解得x>0，令f(x)<0，解得x<0，故f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增，故f(x)minf(0)1a，若f(x)>0恒成立，則1a>0，解得a>1，故選A.4已知函數(shù)f(x)x33x22，x1，x2是區(qū)間1,1上任意兩個(gè)值，M|f(x1)f(x2)|恒成立，則M的最小值是_考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求恒成立中參數(shù)的取值范圍答案4解析f(x)3x26x3x(x2)，當(dāng)1x<0時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)0<x1時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得極大值，也為最大值，f(0)2，又f(1)2，f(1)0，所以f(x)的最小值為2，對(duì)1,1上任意x1，x2，|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min4，所以M|f(x1)f(x2)|恒成立，等價(jià)于M4，即M的最小值為4.5已知函數(shù)f(x)ax4ln xbx4c(x>0)在x1處取得極值3c，其中a，b，c為常數(shù)(1)試確定a，b的值；(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若對(duì)任意x>0，不等式f(x)2c2恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求恒成立中參數(shù)的取值范圍解(1)由f(x)在x1處取得極值3c知f(1)bc3c，得b3.又f(x)4ax3ln xax4·4bx3x3(4aln xa4b)，由f(1)0，得a4b0，a4b12.(2)由(1)知f(x)48x3ln x(x>0)令f(x)0，得x1.當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)<0，f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0，f(x)為增函數(shù)因此，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)(3)由(2)知f(1)3c既是極小值，也是(0，)內(nèi)的最小值，要使f(x)2c2(x>0)恒成立，只需3c2c2，即2c2c30.從而(2c3)(c1)0，解得c或c1.故實(shí)數(shù)c的取值范圍為(，1.1若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)存在最值，則極值點(diǎn)必落在已知區(qū)間內(nèi)2已知不等式在某一區(qū)間上恒成立，求參數(shù)的取值范圍：一般先分離參數(shù)，再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題求解；若不能分離，則構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求最值.一、選擇題1已知函數(shù)f(x)x3px2qx的圖象與x軸切于(1,0)點(diǎn)，則f(x)在1,1上的最大值、最小值分別為()A0，4 B.，4C.，0 D2,0考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值答案B解析由題意得即得則f(x)x32x2x，f(x)3x24x1，令f(x)0得x1或x，由f ，f(1)4，f(1)0，f(x)max，f(x)min4.2已知a，b為正實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)ax3bx2在0,1上的最大值為4，則f(x)在1,0上的最小值為()A0 B.C2 D2考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求含參數(shù)函數(shù)的最值答案A解析因?yàn)閍，b為正實(shí)數(shù)，所以f(x)ax3bx2是增函數(shù)，函數(shù)f(x)ax3bx2在0,1上的最大值f(1)ab24，ab2.在1,0上的最小值為f(1)(ab)20.3若關(guān)于x的不等式x33x3a0恒成立，其中2x3，則實(shí)數(shù)a的最大值為()A1 B1C5 D21考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求恒成立問(wèn)題中參數(shù)的取值范圍答案D解析若關(guān)于x的不等式x33x3a0恒成立，則ax33x3在2,3上恒成立，令f(x)x33x3，x2,3，則f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)>0，解得1<x<1，令f(x)<0，解得x>1或x<1，故f(x)在2，1)上單調(diào)遞減，在(1,1)上單調(diào)遞增，在(1,3上單調(diào)遞減，而f(2)1，f(1)5，f(1)1，f(3)21，故a21，故a的最大值是21.4當(dāng)x(0,3)時(shí)，關(guān)于x的不等式exx2mx>0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B.C(，e1) D(e1，)考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求恒成立問(wèn)題中參數(shù)的取值范圍答案A解析當(dāng)x(0,3)時(shí)，關(guān)于x的不等式exx2mx>0恒成立，即為2m1<在(0,3)上的最小值，令f(x)，則f(x)，當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)1<x<3時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增可得f(x)在x1處取得最小值e，即有2m1<e，可得m<.5若函數(shù)f(x)x33x21在a，)上的最大值為1，則a的取值范圍是()A3，) B(3，)C(3,0) D3,0考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在最值問(wèn)題中的應(yīng)用題點(diǎn)已知最值求參數(shù)答案D解析f(x)x33x21，f(x)3x26x，令f(x)3x26x0，解得x0或x2，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，2)2(2,0)0(0，)f(x)00f(x)極小值極大值由f(x)1，得x33x211，解得x0或x3.當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<f(0)1，當(dāng)x<3時(shí)，f(x)>f(3)1，又f(x)x33x21在a，)上的最大值為1，a的取值范圍為3,06關(guān)于函數(shù)f(x)(2xx2)ex的命題：f(x)>0的解集是x|0<x<2；f()是極小值，f()是極大值；f(x)沒有最小值，也沒有最大值其中正確的命題是()A BC D考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在最值問(wèn)題中的應(yīng)用題點(diǎn)最值與極值的綜合應(yīng)用答案A解析由于ex>0，所以f(x)>0，即需2xx2>0解得x|0<x<2，正確因?yàn)閒(x)(2xx2)ex的定義域是R，f(x)(22x)ex(2xx2)ex(2x2)ex，令f(x)0，得x或x.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)極小值極大值所以f()是極小值，f()是極大值，正確由圖象(圖略)知f()為最大值，無(wú)最小值，錯(cuò)誤7若函數(shù)f(x)x33x在(a,6a2)上有最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，1) B(，1C(，2) D(，2考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點(diǎn)最值存在性問(wèn)題答案D解析由題意知f(x)x33x，所以f(x)3x233(x1)(x1)，當(dāng)x<1或x>1時(shí)，f(x)>0；當(dāng)1<x<1時(shí)，f(x)<0，故x1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，f(1)132，令x33x2，解得x2，由題意得解得<a2.二、填空題8已知f(x)x2mx1在區(qū)間2，1上的最大值就是函數(shù)f(x)的極大值，則m的取值范圍是_考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點(diǎn)最值存在性問(wèn)題答案4，2解析f(x)m2x，令f(x)0，得x.由題意得2，1，故m4，29已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若函數(shù)f(x)ex的圖象始終在函數(shù)g(x)xa圖象的上方，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求恒成立問(wèn)題中參數(shù)的取值范圍答案(1，)解析由題意知f(x)g(x)exxa>0，對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，令h(x)exxa，則h(x)min>0，h(x)ex1，令h(x)0得x0，當(dāng)x<0時(shí)，h(x)<0，則h(x)在(，0)上單調(diào)遞減，當(dāng)x>0時(shí)，h(x)>0，則h(x)在(0，)上單調(diào)遞增，當(dāng)x0時(shí)，h(x)取得極小值，即最小值為h(0)1a，1a>0，即a>1.10已知函數(shù)f(x)ax33x1，且對(duì)任意x(0,1，f(x)0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求恒成立問(wèn)題中參數(shù)的取值范圍答案4，)解析當(dāng)x(0,1時(shí)，不等式ax33x10可化為a.設(shè)g(x)，x(0,1，則g(x).令g(x)0，得x.當(dāng)x變化時(shí)，g(x)，g(x)的變化情況如下表：xg(x)0g(x)極大值因此g(x)的最大值等于極大值g4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是4，)11已知函數(shù)f(x)axln x，g(x)exax，其中a為正實(shí)數(shù)，若f(x)在(1，)上無(wú)最小值，且g(x)在(1，)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點(diǎn)最值存在性問(wèn)題答案1，e解析f(x)axln x(x>0)，f(x)a，若f(x)在(1，)上無(wú)最小值，則f(x)在(1，)上單調(diào)，f(x)0在(1，)上恒成立，或f(x)0在(1，)上恒成立，a或a，而函數(shù)y在(1，)上單調(diào)遞減，當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)y取得最大值1，a1或a0，而a為正實(shí)數(shù)，故a1，又g(x)exax，g(x)exa，函數(shù)g(x)exax在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增，g(x)exa0在區(qū)間(1，)上恒成立，a(ex)min在區(qū)間(1，)上恒成立而ex>e，ae.綜合，a1，e三、解答題12已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc(a，b，cR)(1)若函數(shù)f(x)在x1和x3處取得極值，試求a，b的值；(2)在(1)的條件下，當(dāng)x2,6時(shí)，f(x)<2|c|恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求恒成立問(wèn)題中參數(shù)的取值范圍解(1)f(x)3x22axb，函數(shù)f(x)在x1和x3處取得極值，1,3是方程3x22axb0的兩根(2)由(1)知f(x)x33x29xc，令f(x)3x26x90，得x1或x3.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)極大值極小值而f(1)c5，f(3)c27，f(2)c2，f(6)c54，當(dāng)x2,6時(shí)，f(x)的最大值為c54，要使f(x)<2|c|恒成立，只需c54<2|c|.當(dāng)c0時(shí)，c54<2c，c>54；當(dāng)c<0時(shí)，c54<2c，c<18.故實(shí)數(shù)c的取值范圍是(，18)(54，)13已知函數(shù)f(x)，若當(dāng)x0,2時(shí)，f(x)恒成立，求a的取值范圍考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求恒成立問(wèn)題中參數(shù)的取值范圍解f(x).當(dāng)a0時(shí)，令f(x)0，得x1.在(0,1)上，有f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；在(1,2)上，有f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減又f(0)0，f(2)，故函數(shù)f(x)的最小值為f(0)0，結(jié)論不成立當(dāng)a0時(shí)，令f(x)0，得x11，x21.若a<0，則f(0)a<0，結(jié)論不成立若0<a1，則10.在(0,1)上，有f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；在(1,2)上，有f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減只需得到所以a1.若a>1，則0<1<1，函數(shù)在x1處有極小值，只需得到因?yàn)?a1>1，<1，所以a>1.綜上所述，a的取值范圍是a.四、探究與拓展14設(shè)直線xt與函數(shù)f(x)x2，g(x)ln x的圖象分別交于點(diǎn)M，N，則當(dāng)|MN|達(dá)到最小時(shí)t的值為()A1 B. C. D.考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值答案D解析由題意畫出函數(shù)圖象如圖所示，由圖可以看出|MN|yt2ln t(t>0)y2t.當(dāng)0<t<時(shí)，y<0，可知y在上單調(diào)遞減；當(dāng)t>時(shí)，y>0，可知y在上單調(diào)遞增故當(dāng)t時(shí)，|MN|有極小值也是最小值15已知函數(shù)f(x)ln xa(1x)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)f(x)有最大值，且最大值大于2a2時(shí)，求a的取值范圍考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點(diǎn)已知最值求參數(shù)解(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)a.若a0，則f(x)>0，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增若a>0，則當(dāng)x時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x時(shí)，f(x)<0.所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)由(1)知，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0，)上無(wú)最大值；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在x處取得極大值且為最大值，最大值為f lnaln aa1.因此f >2a2等價(jià)于ln aa1<0.令g(a)ln aa1，則g(a)在(0，)上單調(diào)遞增，g(1)0.于是，當(dāng)0<a<1時(shí)，g(a)<0；當(dāng)a>1時(shí)，g(a)>0.因此，a的取值范圍是(0,1)16