1.1.6棱柱、棱錐、棱臺(tái)和球的表面積學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)和球的表面積的概念，了解它們的側(cè)面展開(kāi)圖.2.掌握直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的表面積公式，并會(huì)求它們的表面積.3.掌握球的表面積公式并會(huì)求球的表面積知識(shí)點(diǎn)直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)和旋轉(zhuǎn)體的表面積幾何體側(cè)面積公式表面積(全面積)直棱柱S直棱柱側(cè)ch棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積側(cè)面積底面積正棱錐S正棱錐側(cè)ch正棱臺(tái)S正棱臺(tái)側(cè)(cc)h圓柱S圓柱側(cè)2Rh圓錐S圓錐側(cè)Rl球S球4R2其中c，c分別表示上、下底面周長(zhǎng)，h表示高，h表示斜高，R表示球的半徑1多面體的表面積等于各個(gè)面的面積之和()2斜三棱柱的側(cè)面積也可以用cl來(lái)求解，其中l(wèi)為側(cè)棱長(zhǎng)，c為底面周長(zhǎng)(×)3球的表面積等于它的大圓面積的2倍(×)類(lèi)型一柱、錐、臺(tái)的側(cè)(表)面積命題角度1多面體的側(cè)(表)面積例1現(xiàn)有一個(gè)底面是菱形的直四棱柱，它的體對(duì)角線長(zhǎng)為9和15，高是5，求該直四棱柱的側(cè)面積解如圖，設(shè)底面對(duì)角線ACa，BDb，交點(diǎn)為O，對(duì)角線A1C15，B1D9，a252152，b25292，a2200，b256.該直四棱柱的底面是菱形，AB22264，AB8.直四棱柱的側(cè)面積為4×8×5160.反思與感悟多面體表面積的求解方法(1)棱錐、棱臺(tái)的表面積為其側(cè)面積與底面積之和，底面積根據(jù)平面幾何知識(shí)求解，求側(cè)面積的關(guān)鍵是求斜高和底面周長(zhǎng)(2)斜高、側(cè)棱及其在底面的射影與高、底面邊長(zhǎng)等，往往可以構(gòu)成直角三角形(或梯形)，利用好這些直角三角形(或梯形)是解題的關(guān)鍵跟蹤訓(xùn)練1已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為3和6，其側(cè)面積等于兩底面面積之和，則該正四棱臺(tái)的高是()A2 B. C3 D.答案A解析如圖，E、E1分別是BC、B1C1的中點(diǎn)，O、O1分別是下、上底面正方形的中心，則O1O為正四棱臺(tái)的高，連接OE、O1E1，作E1HO1O，由題意，得×4936，EE1，在RtEHE1中，E1H2EEEH24，E1H2，O1O2，故選A.命題角度2圓柱與圓錐的側(cè)(表)面積例2(1)若圓錐的母線長(zhǎng)為2 cm，底面圓的周長(zhǎng)為2 cm，則圓錐的表面積為_(kāi) cm2.答案3解析因?yàn)榈酌鎴A的周長(zhǎng)為2 cm，所以底面圓的半徑為1 cm，所以圓錐的底面積為 cm2，圓錐的側(cè)面積為×2×22(cm2)，所以圓錐的表面積為3 cm2.(2)已知圓柱與圓錐的高、底面半徑分別相等若圓柱的底面半徑為r，圓柱的側(cè)面積為S，則圓錐的側(cè)面積為_(kāi)答案解析設(shè)圓柱的高為h，則2rhS，h.設(shè)圓錐的母線為l，l .圓錐的側(cè)面積為rlr .反思與感悟由圓柱、圓錐的側(cè)面積公式可知，要求其側(cè)面積，必須已知(或能求出)它的底面圓的半徑和它的母線長(zhǎng)跟蹤訓(xùn)練2軸截面是正三角形的圓錐稱(chēng)作等邊圓錐，則等邊圓錐的側(cè)面積是底面積的()A4倍 B3倍 C.倍 D2倍答案D解析設(shè)圓錐底面半徑為r，由題意知母線長(zhǎng)l2r，則S側(cè)r×2r2r2，2.類(lèi)型二簡(jiǎn)單組合體的表面積例3牧民居住的蒙古包的形狀是一個(gè)圓柱與圓錐的組合體，尺寸如圖所示(單位：m)，請(qǐng)你幫助算出要搭建這樣的一個(gè)蒙古包至少需要多少篷布？(精確到0.01 m2)解上部分圓錐體的母線長(zhǎng)為 m，其側(cè)面積為S1××(m2)下部分圓柱體的側(cè)面積為S2×5×1.8(m2)搭建這樣的一個(gè)蒙古包至少需要的篷布為SS1S2×××5×1.850.05(m2)反思與感悟(1)組合體的側(cè)面積和表面積問(wèn)題，首先要弄清楚它是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成，然后再根據(jù)條件求各個(gè)簡(jiǎn)單組合體的基本量，注意方程思想的應(yīng)用(2)在實(shí)際問(wèn)題中，常通過(guò)計(jì)算物體的表面積來(lái)研究如何合理地用料，如何節(jié)省原材料等，在求解時(shí)應(yīng)結(jié)合實(shí)際，明確實(shí)際物體究竟是哪種幾何體，哪些面計(jì)算在內(nèi)，哪些面實(shí)際沒(méi)有跟蹤訓(xùn)練3有兩個(gè)相同的直三棱柱，高為，底面三角形的邊長(zhǎng)分別為3a,4a,5a (a>0)用它們拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面積最小的是一個(gè)四棱柱，求a的取值范圍解兩個(gè)相同的直棱柱拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，有四種情況：四棱柱有一種，邊長(zhǎng)為5a的邊重合在一起，表面積為24a228.三棱柱有三種，邊長(zhǎng)為4a的邊重合在一起，表面積為24a232；邊長(zhǎng)為3a的邊重合在一起，表面積為24a236；兩個(gè)相同的直三棱柱豎直放在一起，表面積為12a248.最小的是一個(gè)四棱柱，即24a228<12a248，即a2<，又a>0，0<a<.a的取值范圍為.類(lèi)型三球的表面積例4有三個(gè)球，第一個(gè)球內(nèi)切于正方體，第二個(gè)球與這個(gè)正方體各條棱相切，第三個(gè)球過(guò)這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，求這三個(gè)球的表面積之比解設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a.(1)正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心，切點(diǎn)是六個(gè)面正方形的中心，經(jīng)過(guò)四個(gè)切點(diǎn)及球心作截面，如圖，所以有2r1a，r1，所以S14ra2.(2)球與正方體的各棱的切點(diǎn)在每條棱的中點(diǎn)，過(guò)球心作正方體的對(duì)角面得截面，如圖，2r2a，r2a，所以S24r2a2.(3)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，過(guò)球心作正方體的對(duì)角面得截面，如圖，所以有2r3a，r3a，所以S34r3a2.綜上可得S1S2S3123.反思與感悟(1)在處理球和長(zhǎng)方體的組合問(wèn)題時(shí)，通常先作出過(guò)球心且過(guò)長(zhǎng)方體對(duì)角面的截面圖，然后通過(guò)已知條件求解(2)球的表面積的考查常以外接球的形式出現(xiàn)，可利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造熟悉的正方體，長(zhǎng)方體等，通過(guò)彼此關(guān)系建立關(guān)于球的半徑的等式求解跟蹤訓(xùn)練4已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AHHB12，AB平面，H為垂足，截球O所得截面的面積為，則球O的表面積為_(kāi)答案解析如圖，設(shè)球O的半徑為R，則由AHHB12，得HA·2RR，OH.截面面積為·(HM)2，HM1.在RtHMO中，OM2OH2HM2，R2R2HM2R21，R.S球4R24·2.1已知一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的表面積與側(cè)面積的比是()A. B. C. D.考點(diǎn)柱體、錐體、臺(tái)體的表面積題點(diǎn)柱體的表面積答案A解析設(shè)圓柱底面半徑、母線長(zhǎng)分別為r，l，由題意知l2r，S側(cè)l242r2.S表S側(cè)2r242r22r22r2(21)，.2若正三棱錐的斜高是高的倍，則該正三棱錐的側(cè)面積是底面積的_倍答案2解析， .設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，正三棱錐的側(cè)面積為3·ha，正三棱錐的底面積為3··OM·a，則正三棱錐的側(cè)面積與底面積的比為hOM2，故該正三棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍3一個(gè)高為2的圓柱，底面周長(zhǎng)為2，則該圓柱的表面積為_(kāi)答案6解析設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h.由2r2，得r1，S圓柱表2r22rh246.4表面積為3的圓錐，它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的底面直徑為_(kāi)答案2解析設(shè)圓錐的母線為l，圓錐底面半徑為r.則l2r23，l2r，r1，即圓錐的底面直徑為2.1多面體的表面積為圍成多面體的各個(gè)面的面積之和棱柱的表面積等于它的側(cè)面積加兩個(gè)底面積；棱錐的表面積等于它的側(cè)面積加底面積；棱臺(tái)的表面積等于它的側(cè)面積加兩個(gè)底的面積2有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的表面積的計(jì)算要充分利用其軸截面，就是說(shuō)將已知條件盡量歸結(jié)到軸截面中求解而對(duì)于圓臺(tái)有時(shí)需要將它還原成圓錐，再借助相似的相關(guān)知識(shí)求解一、選擇題1圓柱的一個(gè)底面積是S，側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是()A4S B2S CS D.S答案A解析底面半徑是，所以正方形的邊長(zhǎng)是22，故圓柱的側(cè)面積是(2)24S.2正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，高為a，則此棱錐的側(cè)面積等于()A.a2 B.a2C.a2 D.a2答案A解析側(cè)棱長(zhǎng)為 a，斜高為 ，S側(cè)×3×a×a2.3兩個(gè)球的表面積之差為48，它們的大圓周長(zhǎng)之和為12，則這兩球的半徑之差為()A4 B3 C2 D1答案C解析由題意，得即Rr2，故選C.4正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為()A1 B13 C13 D19答案C解析設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則正方體內(nèi)切球的半徑為棱長(zhǎng)的一半即為，外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線，外接球的半徑為，其體積比為×3×313.5正六棱臺(tái)的上，下兩底面的邊長(zhǎng)分別是1 cm,2 cm，高是1 cm，則它的側(cè)面積為()A. cm2 B. cm2C9 cm2 D8 cm2答案A解析正六棱臺(tái)的側(cè)面是6個(gè)全等的等腰梯形，上底長(zhǎng)為1 cm，下底長(zhǎng)為2 cm，高為正六棱臺(tái)的斜高又邊長(zhǎng)為1 cm的正六邊形的中心到各邊的距離是 cm，邊長(zhǎng)為2 cm的正六邊形的中心到各邊的距離是 cm，則梯形的高為 (cm)，所以正六棱臺(tái)的側(cè)面積為6××(12)×(cm2)6一個(gè)直角三角形的直角邊分別為3與4，以其直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)而成的圓錐的側(cè)面積為()A15 B20C12 D15或20答案D解析以直角三角形的直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)而成的圓錐，有以下兩種情況：根據(jù)圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式S側(cè)面積r×l母線長(zhǎng)以直角邊3為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，旋轉(zhuǎn)而成的圓錐的側(cè)面積S4×520；以直角邊4為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，旋轉(zhuǎn)而成的圓錐的側(cè)面積S3×515.故選D.7底面是菱形的棱柱其側(cè)棱垂直于底面，且側(cè)棱長(zhǎng)為5，它的體對(duì)角線的長(zhǎng)分別是9和15，則這個(gè)棱柱的側(cè)面積是()A160 B80C40 D240答案A解析設(shè)底面邊長(zhǎng)是a，底面的兩條對(duì)角線分別為l1，l2，所以l15252，l9252.又ll4a2，即1525292524a2，所以a8，所以S側(cè)面積ch4×8×5160.8若一個(gè)圓臺(tái)的軸截面如圖所示，則其側(cè)面積等于()A3 B. C3 D.答案A解析圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，S圓臺(tái)側(cè)(12)·3.二、填空題9若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，則這個(gè)圓錐的底面面積與側(cè)面積的比是_答案12解析設(shè)該圓錐體的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，根據(jù)題意得2rl，所以l2r，所以這個(gè)圓錐的底面面積與側(cè)面積的比是r2l2r2(2r)212.10如圖(1)所示，已知正方體面對(duì)角線長(zhǎng)為a，沿陰影面將它切割成兩塊，拼成如圖(2)所示的幾何體，那么此幾何體的表面積為_(kāi)答案(2)a2解析由已知可得正方體的邊長(zhǎng)為a，新幾何體的表面積為S表2×a×a4×2(2)a2.11.有一塔形幾何體由3個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn)已知最底層正方體的棱長(zhǎng)為2，則該塔形幾何體的表面積為_(kāi)答案36解析易知由下向上三個(gè)正方體的棱長(zhǎng)依次為2，1，S表2×224×22()21236.該幾何體的表面積為36.12如圖所示，在棱長(zhǎng)為4的正方體上底面中心位置打一個(gè)直徑為2、深為4的圓柱形孔，則打孔后的幾何體的表面積為_(kāi)答案966解析由題意知，所打圓柱形孔穿透正方體，因此打孔后所得幾何體的表面積等于正方體的表面積，再加上一個(gè)圓柱的側(cè)面積，同時(shí)減去兩個(gè)圓的面積，即S6×424×22×12966.三、解答題13已知一個(gè)表面積為120 cm2的正方體的四個(gè)頂點(diǎn)在半球的球面上，四個(gè)頂點(diǎn)在半球的底面上，求半球的表面積解如圖所示為過(guò)正方體對(duì)角面的截面圖設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，半球的半徑為R，由6a2120，得a220，在RtAOB中，ABa，OBa，由勾股定理，得R2a2230.所以半球的表面積為S2R2R23R23×3090(cm2)四、探究與拓展14已知某圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，母線長(zhǎng)為3，圓臺(tái)的側(cè)面積為84，則該圓臺(tái)較小底面的半徑為_(kāi)答案7解析設(shè)圓臺(tái)較小底面的半徑為r，則另一底面的半徑為3r.由S側(cè)3(r3r)84，解得r7.15.如圖，一個(gè)圓錐的底面半徑為1，高為3，在圓錐中有一個(gè)半徑為x的內(nèi)接圓柱(1)試用x表示圓柱的高；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大，最大側(cè)面積是多少？解(1)設(shè)所求的圓柱的底面半徑為x，它的軸截面如圖，BO1，PO3，圓柱的高為h，由圖，得，即h33x(0x1)(2)S圓柱側(cè)2hx2(33x)x6(xx2)，當(dāng)x時(shí)，圓柱的側(cè)面積取得最大值為.當(dāng)圓柱的底面半徑為時(shí)，它的側(cè)面積最大為.12