第一章 2022年高考數(shù)學一輪復習 第一部分 基礎(chǔ)與考點過關(guān) 第一章 集合與常用邏輯用語學案了解集合的含義；體會元素與集合的“屬于”關(guān)系；能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的數(shù)學對象或數(shù)學問題；了解集合之間包含與相等的含義；能識別給定集合的子集；了解全集與空集的含義 學會區(qū)分集合與元素，集合與集合之間的關(guān)系. 學會自然語言、圖形語言、集合語言之間的互化. 集合含義中掌握集合的三要素. 不要求證明集合相等關(guān)系和包含關(guān)系1. (必修1P7練習1改編)用列舉法表示集合x|x23x20為_答案：1，2解析： x23x20， x1或x2.故集合為1，22. (必修1P10習題5改編)由x2，x組成一個集合A，A中含有2個元素，則實數(shù)x的取值不可以是_答案：0和1解析：由 x2x可解得x0或x1.3. (必修1P9練習1改編)集合Ax|0x<3且xN的真子集個數(shù)是_答案：7解析：Ax|0x<3且xN0，1，2， 真子集有7個4. (必修1P10練習6改編)設(shè)Ax|2<x<3，Bx|x<m若AB，則m的取值范圍是_答案：3，)解析：Ax|2<x<3，Bx|x<m，AB，將集合A，B在數(shù)軸上表示(圖略)，可得m3.5. (必修1P10習題5改編)Ax|kx24x40中只有一個元素，則實數(shù)k的值為_答案：0或1解析：當k0時，集合Ax|kx24x40x|x1，滿足條件，當k0時，由判別式等于0可得1616k0，解得k1，此時，集合Ax|kx24x40x|x24x402，滿足條件，綜上可得，k0或k1.1. 集合：一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對象的全體構(gòu)成一個集合其中集合中的每一個對象稱為該集合的元素(1) 若a是集合A的元素，記作aA；若b不是集合A的元素，記作bA.(2) 集合中元素的特征：確定性、互異性、無序性確定性：設(shè)A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則x或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立；互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體(對象)，因此，同一集合中不應(yīng)重復出現(xiàn)同一元素；無序性：集合中不同的元素之間沒有地位差異，集合的不同與元素的排列順序無關(guān)(3) 集合的常用表示方法：列舉法、描述法、Venn圖法列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)；描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)具體方法：在大括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征注意：列舉法與描述法各有優(yōu)點，應(yīng)該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無限個元素時，不宜采用列舉法(4) 集合的分類：若按元素的個數(shù)分類，可分為有限集、無限集、空集；若按元素的屬性分類，可分為點集、數(shù)集等應(yīng)當特別注意空集是一個特殊而又重要的集合，解題時切勿忽視空集的情形(5) 常用數(shù)集及其記法：自然數(shù)集記作N；正整數(shù)集記作N*或N；整數(shù)集記作Z；有理數(shù)集記作Q；實數(shù)集記作R；復數(shù)集記作C2. 兩類關(guān)系(1) 元素與集合之間的關(guān)系包括屬于與不屬于關(guān)系，反映了個體與整體之間的從屬關(guān)系(2) 集合與集合之間的關(guān)系 包含關(guān)系：如果集合A中的每一個元素都是集合B的元素，那么集合A稱為集合B的子集，記為AB或BA，讀作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A” 真包含關(guān)系：如果AB，并且AB，那么集合A稱為集合B的真子集，記為AB或BA，讀作“集合A真包含于集合B”或“集合B真包含集合A” 相等關(guān)系：如果兩個集合所含的元素完全相同，即A中的元素都是B中的元素且B中的元素都是A中的元素，則稱這兩個集合相等(3) 簡單關(guān)系 AA； A； 若AB，BC，則AC； 含有n個元素的集合的子集共有2n個，真子集共有2n1個，非空子集共有2n1個，非空真子集有個備課札記1集合的基本概念1已知集合A含有兩個元素a3和2a1.若3A，試求實數(shù)a的值解： 3A， 3a3或32a1，若3a3，則a0.此時集合A含有兩個元素3，1，符合題意若32a1，則a1，此時集合A含有兩個元素4，3，符合題意綜上所述，滿足題意的實數(shù)a的值為0或1.變式訓練已知集合A中有且僅有三個數(shù)1，0，a，若a2A，求a的值解：若a20，則a0，不符合集合中元素的互異性， a20.若a21，則a±1，由元素的互異性知a1， a1時適合若a2a，則a0或1，由上面討論知均不符合集合中元素互異性的要求綜上可知a1.2 集合間的基本關(guān)系2已知A1，1，Bx|x2axb0.若BA，求實數(shù)a，b的值解： BA，A1，1，B， B1或B1或B1，1若B1，則方程x2axb0有且只有一個實數(shù)根1，即(a)24b0，且(1)2a×(1)b0，此時a2，b1.若B1，則方程x2axb0有且只有一個實數(shù)根1，即(a)24b0，且12a×1b0，此時a2，b1.若B1，1，則方程x2axb0有兩個不相等的實數(shù)根1，1，即(1)2a×(1)b0，12a×1b0，此時a0，b1.綜上所述，當或或時，BA.,3)已知集合Ma，ad，a2d，Na，aq，aq2(a為非零常數(shù))若MN，求q的值解：由題意，若則a(q1)20，q1(a0)然而q1與集合中元素的互異性矛盾，所以a(q1)(2q1)0.因為a0，q1，所以q.故所求q的值為.變式訓練已知Ax|2x5，Bx|m1x2m1，BA，求m的取值范圍解：當m1>2m1，即m<2時，B，滿足BA，即m<2；當m12m1，即m2時，B3，滿足BA，即m2；當m1<2m1，即m>2時，由BA，得即2<m3.綜上，得m3.一個含有三個實數(shù)的集合可表示為，也可表示為ab，0，a2，則a2 018b2 018_答案：1解析：若集合相等，則集合的元素對應(yīng)相等，并且集合還需滿足確定性、互異性、無序性，所以0，得b0，此時a，1，0a，0，a2，即故a1，所以a2 018b2 0181.,3根據(jù)集合的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍),4)已知集合Ax|x24x0，xR，Bx|x22(a1)xa210，aR，xR若BA，求實數(shù)a的取值范圍解：BA可分為BA和BA兩種情況，易知A0，4(1) 當AB0，4時， 0，4是方程x22(a1)xa210的兩根， a1.(2) 當BA時，有B或B. 當B時，B0或B4， 方程x22(a1)xa210有相等的實數(shù)根0或4， 4(a1)24(a21)0， a1， B0滿足條件 當B時，<0， a<1.綜上，所求實數(shù)a的取值范圍是a1或a1.變式訓練已知集合Ax|2xa，By|y2x3，xA，Cz|zx2，xA，且CB，求正數(shù)a的取值范圍解：Bx|1x2a3，當0<a2時，Cx|0x4，而CB，則2a34，即a，即a2；當a>2時，Cx|0xa2，而CB，則2a3a2，即 2<a3.綜上，得 a3.設(shè)集合A1，2，3，10，求集合A的所有非空子集元素的和解：含有1的子集有29個，含有2的子集有29個，含有3的子集有29個，含有10的子集有29個， (12310)×2928 160.1. (2018·溧陽中學周練)已知集合S0，1，2，3，4，5，A是S的一個子集，當xA時，若有x1A，且x1A，則稱x為A的一個“孤立元素”，那么S中無“孤立元素”的4個元素的子集共有_個答案：6解析：由成對的相鄰元素組成的四元子集都沒有“孤立元素”，如0，1，2，3，0，1，3，4，0，1，4，5，1，2，3，4，1，2，4，5，2，3，4，5，這樣的集合共有6個2. 已知集合A(x，y)|x，yR，且x2y21，B(x，y)|x，yR，且yx，則AB的元素個數(shù)為_答案：2解析：直接解方程組可得兩組解，即AB的元素個數(shù)為2.3. 若xA，則A，就稱A是“伙伴關(guān)系集合”，集合M的所有非空子集中具有伙伴關(guān)系的集合的個數(shù)是_答案：3解析：具有伙伴關(guān)系的元素是1，2，所以具有伙伴關(guān)系的集合有3個：1，2，.4. (2017·溧陽中學月考)若集合Ax|ax23x20的子集至多有兩個，則實數(shù)a的取值范圍是_答案：0解析：若集合A的子集只有兩個，則A中只有一個元素當a0時，x符合要求當a0時，(3)24a×20， a.故a0或.若集合A的子集只有一個，則A， 解得a>，故實數(shù)a的取值范圍是0.5. 已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0<x<5，xN，則滿足條件ACB的集合C的個數(shù)為_答案：4解析： 用列舉法表示集合A，B，根據(jù)集合關(guān)系求出集合C的個數(shù)由x23x20得x1或x2， A1，2由題意知B1，2，3，4， 滿足條件的C可為1，2，1，2，3，1，2，4，1，2，3，4,1. 遺忘空集致誤)典例若集合Mx|x2x60，Nx|ax10，且NM，則由a的可取值組成的集合為_易錯分析：從集合的關(guān)系看，NM，則N或N，易遺忘N的情況解析：M3，2當a0時，N，滿足NM；當a0時，方程ax10的解為x，為滿足NM可使3或2，即a或a.故所求集合為.答案：特別提醒：(1) 根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)的關(guān)鍵是抓住集合間的關(guān)系以及集合元素的特征；(2) 在解答本題時，一是不要忽略對空集的討論，如a0時，N；二是注意對字母的討論，如可以為3或2.一定要注意分類討論，避免漏解1. (2018·溧陽中學期初)已知集合A2，a，B1，1，3，且AB，則實數(shù)a的值是_答案：1解析：易知a>0.當a1時，A1，3，B1，1，3，滿足題意；當a3時，A3，2，B1，1，3，不滿足題意所以實數(shù)a的值為1.2. 若集合A1，1，B0，2，則集合zzxy，xA，yB中的元素的個數(shù)為_答案： 3解析：容易看出xy只能取1、1、3這三個數(shù)值故共有3個元素. 3. 已知集合A，且2A，3A，則實數(shù)a的取值范圍是_答案：(2，3解析：因為2A，所以0，即(2a1)(a2)0，解得a2或a.若3A，則0，即(3a1)(a3)0，解得a3或a，所以3A時，a3.由可知，實數(shù)a的取值范圍是(2，34. 已知集合A1，2，3，4，5，B(x，y)|xA，yA，xyA，則B中所含元素的個數(shù)為_答案：10解析：由xyA及A1，2，3，4，5得x>y.當y1時，x可取2，3，4，5，有4個；當y2時，x可取3，4，5，有3個；當y3時，x可取4，5，有2個；當y4時，x可取5，有1個故共有123410(個)1. 研究一個集合，首先要看集合中的代表元素是什么，然后再看元素的限制條件，即有何屬性，當集合用描述法表示時，注意弄清其元素表示的意義是什么注意區(qū)分x|yf(x)、y|yf(x)、(x，y)|yf(x)三者的不同對于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合的元素是否滿足互異性2. 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集在解題時，若未明確說明集合非空時，要考慮到集合為空集的可能性例如：AB，則需考慮A和A兩種可能的情況3. 判斷兩集合的關(guān)系常有兩種方法：一是化簡集合，從表達式中尋找兩集合間的關(guān)系；二是用列舉法表示各集合，從元素中尋找關(guān)系4. 已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系解決這類問題常常需要合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析第2課時集合的基本運算(對應(yīng)學生用書(文)、(理)45頁)理解兩個集合的交集與并集的含義；會求兩個簡單集合的交集與并集，理解給定集合的一個子集的補集的含義；會求給定子集的補集，會用Venn圖表示集合的關(guān)系及運算 在給定集合中會求一個子集的補集，補集的含義在數(shù)學中就是對立面. 會求兩個簡單集合的交集與并集；交集的關(guān)鍵詞是“且”，并集的關(guān)鍵詞是“或”. 會使用Venn圖表示集合的關(guān)系及運算；對于數(shù)集有時也可以用數(shù)軸表示1. (必修1P13練習1改編)設(shè)集合A平行四邊形，B對角線相等的四邊形，則AB_答案：矩形解析：對角線相等的平行四邊形為矩形2. (必修1P13練習3改編)已知集合Ay|yx22x，xR，By|yx26x16，xR，則AB_.答案：1，)解析：依題意知A1，)，B7，)，所以AB1，)3. (必修1P9練習2改編)設(shè)全集U2，1，0，1，2，Ax|x1，B2，0，2，則U(AB)_答案：1，1，2解析： AB2，0 U(AB)1，1，24. (必修1P10習題4改編)已知集合A0，2，4，6，UA1，1，3，3，UB1，0，2，則集合B_答案：1，4，6，3，3解析： UA1，1，3，3， U1，1，0，2，4，6，3，3又UB1，0，2， B1，4，6，3，35. (必修1P14習題10改編)設(shè)集合A4，5，7，9，B3，4，7，8，9，全集UAB，則集合U(AB)中的元素共有_個答案：3解析：全集UAB3，4，5，7，8，9，AB4，7，9， U(AB)3，5，8， U(AB)中的元素共有3個1. 集合的運算(1) 交集：由所有屬于A且屬于B的元素組成的集合，叫做集合A與集合B的交集，記作AB，即ABx|xA且xB(2) 并集：由所有屬于A或?qū)儆贐的元素組成的集合，叫做集合A與集合B的并集，記作AB，即ABx|xA或xB(3) 全集：如果集合S含有我們所研究的各個集合的全部元素，那么這個集合就可以看作一個全集，通常用U來表示一切所研究的集合都是這個集合的子集(4) 補集：集合A是集合S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合叫做A的補集，記作SA，即SAx|xS，且xA2. 常用運算性質(zhì)及一些重要結(jié)論(1) ABBA，AAA，A，ABAAB. (2) ABBA，AAA，AA，ABBAB.(3) S(SA)A，SS，(SA)(SB)S(AB)，(SA)(SB)S(AB)備課札記,1集合的運算),1)已知A，By|yx2x1，xR(1) 求A，B；(2) 求AB，A(RB)解：(1) 由1，得10，即x(x1)0且x0，解得0<x1，所以A(0，1由yx2x1，得B.(2) 因為RB，所以AB(0，)，A(RB).變式訓練已知Ax|x23x20，Bx|x2axa10，Cx|x2mx20，且ABA，ACC，求實數(shù)a及m的值解： A1，2，Bx|(x1)x(a1)0，又ABA， BA. a12a3(此時AB)，或a11a2(此時B1)由ACCCA，從而CA或C(當C1或C2時，可檢驗不符合題意)當CA時，m3；當C時，m28<02<m<2.綜上可知a2或a3，m3或2<m<2.已知兩個正整數(shù)集合Aa1，a2，a3，a4，Ba，a，a，a，其中a1<a2<a3<a4.若ABa1，a4，且a1a410，且AB的所有元素之和是124，求集合A，B.分析：命題中的集合是列舉法給出的，只需要根據(jù)“交、并”的意義及元素的基本性質(zhì)解決，注意“正整數(shù)”這個條件的運用解： 1a1<a2<a3<a4， a<a<a<a， ABa1，a4， 只可能有a1aa11，而a1a410， a49， aa4.(1) 若aa4，則a23， AB1，3，a3，9，a，81， a3a94124a35；(2) 若aa4，則a33，同樣可得a25>a3，與條件矛盾，不合題意綜上，A1，3，5，9，B1，9，25，81,2根據(jù)集合的運算求參數(shù)的取值范圍),2)設(shè)Ax|axa3，Bx|x<1或x>5，當a為何值時，(1) AB；(2) ABA；(3) A(RB)RB.解：(1) AB， 集合A的區(qū)間長度為3， 由圖可得a<1或a3>5，解得a<1或a>2， 當a<1或a>2時，AB.(2) ABA， AB.由圖得a3<1或a>5，即a<4或a>5時，ABA.(3) 由補集的定義知RBx|1x5， A(RB)RB， ARB.由圖得解得1a2.變式訓練設(shè)全集是實數(shù)集R，Ax|2x27x30，Bx|x2a<0(1) 當a4時，求AB和AB；(2) 若(RA)BB，求實數(shù)a的取值范圍解：(1) A.當a4時，Bx|2<x<2， AB，ABx|2<x3(2) RA.當(RA)BB時，BRA，即AB. 當B，即a0時，滿足BRA； 當B，即a<0時，Bx|<x<，要使BRA，需，解得a<0.綜上可得，a的取值范圍是.設(shè)集合Ax|x22x2m40，Bx|x<0，若AB，求實數(shù)m的取值范圍解：(解法1)命題方程x22x2m40至少有一個負實數(shù)根，設(shè)Mm|關(guān)于x的方程x22x2m40兩根均為非負實數(shù)，則2m， M.設(shè)全集Um|0， m的取值范圍是UMm|m<2(解法2)命題方程的小根x1<0>12m3>1m<2.,3集合的綜合應(yīng)用),3)已知集合A，Bx|x22xm<0(1) 當m3時，求A(RB)；(2) 若ABx|1<x<4，求實數(shù)m的值解：因為0，所以1<x5，所以Ax|1<x5(1) 當m3時，Bx|1<x<3，則RBx|x1或x3，所以A(RB)x|3x5(2) 因為Ax|1<x5，ABx|1<x<4，所以有422×4m0，解得m8.此時Bx|2<x<4，符合題意，故實數(shù)m的值為8.已知集合A，B(x，y)|yax2，xR，yR，若AB，求實數(shù)a的值解：由方程組得(1a)x1，當a1時，方程組無解；當a1時，x，若2，即a，此時x2為增根，所以方程組也無解從而a1或a時，AB.反思：本題也可利用數(shù)形結(jié)合方法解,4與集合運算有關(guān)的新定義問題),4)定義集合運算A*Bx|xA，或xB，但xAB，設(shè)A1，2，3，4，B1，2，5，6，7，則(A*B)*A_答案：1，2，5，6，7解析：A*B3，4，5，6，7， (A*B)*A1，2，5，6，7變式訓練(必修1P14習題13改編)設(shè)A，B是非空集合，定義A×Bx|xAB，且xAB若Ax|y，By|y3x，則A×B_答案：(，3)解析：集合A即為函數(shù)f(x)的定義域，由x23x0x0或x3，故集合A(，03，)，集合B即為函數(shù)g(x)3x的值域，故B(0，)，從而有ABR，AB3，)，由定義知A×B(，3)(2018·洪澤中學單元卷)對于任意兩集合A，B，定義ABx|xA且xB，A*B(AB)(BA)，記Ay|y0，Bx|3x3，則A*B_答案：3，0)(3，)解析：由題意知，ABx|x3，BAx|3x0，A*B(AB)(BA)3，0)(3，)反思：本題考查集合的運算新定義問題，屬于難題新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決本題定義一種運算ABx|xA且xB，A*B(AB)(BA)達到考查集合運算的目的1. (2018·四川雅安中學月考)已知My|yx2，xR，Ny|x2y21，xR，yR，則MN_答案：0，1解析：由題意得M0，)，由x2y21，得到1y1，即N1，1，則MN0，12. 已知集合A0，a，B0，1，3若AB0，1，2，3，則實數(shù)a的值為_答案：2解析：A0，a，B0，1，3，AB0，1，2，3，則a2.3. 已知全集U1，2，3，4，5，A1，2，B2，3，4，那么A(UB)_答案：1，2，5解析： UB1，5， A(UB)1，2，54. 已知集合A1，2，3，4，5，B1，3，5，7，9，CAB，則集合C的子集的個數(shù)為_答案：8解析：C1，3，5，則集合C的子集的個數(shù)為8.5. 設(shè)集合A1，0，1，Ba1，a，AB0，則實數(shù)a的值為_答案：1解析：0，由 a0，則a10，則實數(shù)a的值為1.,2. 集合關(guān)系不能轉(zhuǎn)化)典例設(shè)A(x，y)|y2x10，B(x，y)|4x22x2y50，C(x，y)|ykxb，是否存在k，bN，使得(AB)C，并證明你的結(jié)論易錯分析：難點在于對集合關(guān)系的不理解，對題目所給出的條件不能認清其實質(zhì)內(nèi)涵，因而可能感覺無從下手解： (AB)C， AC且BC. k2x2(2bk1)xb210. AC， 1(2bk1)24k2(b21)<0， 4k24bk1<0，此不等式有解，其充要條件是16b216>0，即b2>1. 4x2(22k)x(52b)0. BC， 2(1k)24(52b)<0， k22k8b19<0，從而8b<20，即b<2.5.由及bN，得b2，代入由1<0和2<0組成的不等式組，得 k1.故存在自然數(shù)k1，b2，使得(AB)C.特別提醒：解決此題的閃光點是將條件(AB)C轉(zhuǎn)化為AC且BC.要能夠借助Venn圖充分理解集合的交、并、補之間的關(guān)系及熟練轉(zhuǎn)化1. (2018·遂寧射洪中學入學考試)設(shè)集合Ux|x5，xN*，Mx|x25x60，則UM_答案：1，4解析：集合Ux|x<5，xN*1，2，3，4，Mx|x25x602，3，則UM1，42. 設(shè)集合AxR|，BxZ|x2>0，則AB_答案：3解析： Ax|1x3，BxZ|x>2， ABxZ|2<x333. 設(shè)UR，集合Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0若(UA)B，則m的值是_答案：1或2解析：A2，1，由(UA)B，得BA. 方程x2(m1)xm0的判別式(m1)24m(m1)20， B. B1或B2或B1，2 若B1，則m1； 若B2，則應(yīng)有(m1)(2)(2)4，且m(2)×(2)4，這兩式不能同時成立， B2； 若B1，2，則應(yīng)有(m1)(1)(2)3，且m(1)×(2)2，由這兩式得m2.經(jīng)檢驗知m1和m2符合條件 m的值是1或2.4. 某校高一年級舉行語、數(shù)、英三科競賽，高一(2)班共有32名 同學參加三科競賽，有16人參加語文競賽，有10人參加數(shù)學競賽，有16人參加英語競賽，同時參加語文和數(shù)學競賽的有3人，同時參加語文和英語競賽的有3人，沒有人同時參加全部三科競賽，問：同時參加數(shù)學和英語競賽的有多少人？只參加語文一科競賽的有多少人？解：設(shè)所有參加語文競賽的同學組成的集合用A表示，所有參加數(shù)學競賽的同學組成的集合用B表示，所有參加英語競賽的同學組成的集合用C表示，設(shè)只參加語文競賽的有x人，只參加數(shù)學競賽的有y人，只參加英語競賽的有z人，同時參加數(shù)學和英語競賽的有m人根據(jù)題意，可作出如圖所示Venn圖，則有解得答：同時參加數(shù)學和英語競賽的有4人，只參加語文一科競賽的有10人1. 集合的運算結(jié)果仍然是集合進行集合運算時應(yīng)當注意：(1) 勿忘對空集情形的討論；(2) 勿忘集合中元素的互異性；(3) 對于集合A的補集運算，勿忘A必須是全集的子集；(4) 已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)或參數(shù)范圍時，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系解決這類問題常常需要合理利用數(shù)軸、Venn圖化抽象為直觀還要注意“回代檢驗”，從而對所求數(shù)值進行合理取舍2. 在集合運算過程中應(yīng)力求做到“三化”(1) 意義化：首先明確集合的元素的意義，它是怎樣類型的對象(數(shù)集、點集，圖形等)？是表示函數(shù)的定義域、值域，還是表示方程或不等式的解集？(2) 具體化：具體求出相關(guān)集合中函數(shù)的定義域、值域或方程、不等式的解集等；不能具體求出的，也應(yīng)力求將相關(guān)集合轉(zhuǎn)化為最簡形式(3) 直觀化：借助數(shù)軸、直角坐標平面、Venn圖等將有關(guān)集合直觀地表示出來，從而借助數(shù)形結(jié)合思想解決問題備課札記第3課時簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、量詞(對應(yīng)學生用書(文)、(理)68頁)了解命題的逆命題、否命題與逆否命題的意義；理解必要條件、充分條件、充要條件的意義；了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義；了解全稱量詞與存在量詞的意義；了解含有一個量詞的命題的否定的意義 會分析四種命題的相互關(guān)系. 會判斷必要條件、充分條件與充要條件. 能用“或”“且”“非”表述相關(guān)的數(shù)學內(nèi)容(真值表不作要求). 能用全稱量詞與存在量詞敘述簡單的數(shù)學內(nèi)容. 能正確地對含有一個量詞的命題進行否定1. 寫出命題“若a0，則ab0”的逆否命題：_.答案：若ab0，則a02. 原命題“設(shè)a，b，cR，若ac2>bc2，則a>b”的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題共有_個答案：13. (改編題)已知集合A1，a，B1，2，3，則“a3”是“AB”的_條件答案：充分不必要解析：a3時，A1，3，顯然AB.但AB時，a2或3.所以a3是AB的充分不必要條件4. (改編題)函數(shù)f(x)x2mx1的圖象關(guān)于直線x1 對稱的充要條件是_答案：m2解析：已知函數(shù)f(x)x2mx1的圖象關(guān)于直線x1對稱，則m2；反之也成立所以函數(shù)f(x)x2mx1的圖象關(guān)于直線x1對稱的充要條件是m2.5. (改編題)已知命題p：xR，x2x10，則綈p為_答案：xR，x2x10解析：含有存在量詞的命題的否定，需將存在量詞改為全稱量詞，并將結(jié)論否定，即綈p：xR，x2x10.1. 四種命題及其關(guān)系(1) 四種命題 如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，且第一個命題的結(jié)論是第二個命題的條件，那么這兩個命題互為逆命題； 如果一個命題的條件和結(jié)論分別是原命題的條件和結(jié)論的否定，那么這兩個命題叫做互否命題，這個命題叫做原命題的否命題； 如果一個命題的條件和結(jié)論分別是原命題的結(jié)論和條件的否定，那么這兩個命題互為逆否命題，這個命題叫做原命題的逆否命題命題表述形式原命題若p，則q逆命題若q，則p否命題若非p，則非q逆否命題若非q，則非p(2) 四種命題間的逆否關(guān)系(3) 四種命題的真假關(guān)系兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系2. 充分條件與必要條件(1) 如果pq，那么稱p是q的充分條件，q是p的必要條件(2) 如果pq，且qp，那么稱p是q的充要條件，記作pq.(3) 如果pq，q_p，那么稱p是q的充分不必要條件(4) 如果qp，p_q，那么稱p是q的必要不充分條件(5) 如果p/ q，且q/ p，那么稱p是q的既不充分也不必要條件3. 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(1) “或”“且”“非”叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞 或：兩個簡單命題至少一個成立. 且：兩個簡單命題都成立. 非：對一個命題的否定(2) 用聯(lián)結(jié)詞“且”聯(lián)結(jié)命題p和命題q，記作pq，讀作“p且q”(3) 用聯(lián)結(jié)詞“或”聯(lián)結(jié)命題p和命題q，記作pq，讀作“p或q”(4) 一個命題p的否定記作綈p，讀作“非p”或“p的否定”(5) 命題pq，pq，綈p的真假判斷pq中p，q有一假為假，pq中p，q有一真為真，p與非p必定是一真一假4. 全稱量詞與存在量詞(1) 全稱量詞與全稱命題短語“所有”“任意”“每一個”等表示全體的量詞在邏輯中稱為全稱量詞，并用符號“x”表示“對任意x”含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題全稱命題“對M中任意一個x，都有p(x)成立”可用符號簡記為xM，p(x)，讀作“對任意x屬于M，有p(x)成立”(2) 存在量詞與存在性命題短語“有一個”“有些”“存在一個”等表示部分的量詞在邏輯中稱為存在量詞，并用符號“x”表示“存在x”含有存在量詞的命題，叫做存在性命題存在性命題“M中存在一個x，使p(x)成立”可用符號簡記為xM，p(x)，讀作“存在一個x屬于M，使p(x)成立”5. 含有一個量詞的命題的否定命題命題的否定xM，p(x)xM，綈p(x)xM，p(x)xM，綈p(x)備課札記,1四種命題及其相互關(guān)系),1)(1) 命題“若ab，則2a2b1”的否命題為_；(2) (2018·溧陽中學摸底)命題“x<0，有x2>0”的否定是_(3) 命題“若x2xm0沒有實根，則m0”是_命題(選填“真”或“假”)答案：(1) 若ab，則2a2b1(2) x<0，有x20(3) 真解析：(3) 很可能許多同學會認為它是假命題(原因m0時顯然方程有根)，其實不然，由x2xm0沒有實根可推得m<，而是m|m0的真子集，由m<可推得m0，故原命題為真其實，用逆否命題很容易判斷它是真命題【精要點評】 本題考查了命題間的關(guān)系，由原命題寫出其否命題、逆否命題原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假變式訓練下列命題中不是真命題的是_(填序號) “若ab0，則a0或b0”的逆命題； “若x2y20，則x, y不全為零”的否命題； “xR，使x21>3x”的否定； “若m>0，則x2xm0有實根”的逆否命題答案：解析：中命題的逆命題為若a0或b0，則ab0，為真命題，故正確；中命題的否命題為若x2y20，則x，y全為零，為真命題，故正確；中命題的否定為xR，使x23x10 ，因為(3)245>0，故錯誤；中命題x2xm0有實根14m0m若m>0，則x2xm0有實根為真命題其逆否命題也為真命題，故正確故填.命題“若x，y都是偶數(shù)，則xy也是偶數(shù)”的逆否命題是_答案：若xy不是偶數(shù)，則x，y不都是偶數(shù)解析：由于“x，y都是偶數(shù)”的否定表達是“x，y不都是偶數(shù)”，“xy是偶數(shù)”的否定表達是“xy不是偶數(shù)”，故原命題的逆否命題為“若xy不是偶數(shù)，則x，y不都是偶數(shù)”.,2充分條件和必要條件)典型示例,2)已知集合A，Bx|xm21p：xA，q：xB，并且p是q的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍【思維導圖】 對集合進行化簡將條件間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系利用集合間的關(guān)系列出關(guān)于m的不等式求出實數(shù)m的范圍【規(guī)范解答】 解： 化簡集合A，由yx2x1配方得y. x， ymin，ymax2. y. A.化簡集合B，由xm21，得x1m2，Bx|x1m2 命題p是命題q的充分條件， AB. 1m2，解得m或m. 實數(shù)m的取值范圍是.【精要點評】 本例涉及參數(shù)問題，直接解決較為困難，先用等價轉(zhuǎn)化思想，將復雜、生疏的問題轉(zhuǎn)化為簡單、熟悉的問題來解決一般地，在涉及字母參數(shù)的取值范圍的充要關(guān)系問題中，常常要利用集合的包含、相等關(guān)系來考慮，這是破解此類問題的關(guān)鍵總結(jié)歸納充要關(guān)系的幾種判斷方法(1) 定義法：直接判斷若p則q、若q則p的真假(2) 等價法：即利用AB與綈B綈A；BA與綈A綈B；AB與綈B綈A的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定形式的命題，一般運用等價法(3) 利用集合間的包含關(guān)系判斷：設(shè)Ax|p(x)，Bx|q(x)，若AB，則p是q的充分條件或q是p的必要條件；若AB，則p是q的充要條件題組練透1. “m<”是“一元二次方程x2xm0有實數(shù)解”的_(選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)條件答案：充分不必要解析：x2xm0有實數(shù)解等價于14m0，即m.2. 已知p：xk，q：(x1)(2x)0，如果p是q的充分不必要條件，則k的取值范圍是_答案：(2，)解析：由q：(x1)(2x)0，得x1或x2，又p是q的充分不必要條件，所以k2，即實數(shù)k的取值范圍是(2，)3. 設(shè)nN*，一元二次方程x24xn0有整數(shù)根的充要條件是n_答案：3或4解析：已知方程有根，由判別式164n0，解得n4，又nN*，逐個分析，當n1，2時，方程沒有整數(shù)根；而當n3時，方程有整數(shù)根1，3；當n4時，方程有整數(shù)根2.4. 若命題p：xR，使x2ax10，則綈p：_答案：xR，使x2ax10解析：存在性命題的否定需要將存在量詞改為全稱量詞，并且將命題的結(jié)論進行否定所以命題“xR，使x2ax10”的否定是“xR，使x2ax10”,3邏輯聯(lián)結(jié)詞),3)已知p：xR，mx210，q：xR，x2mx1>0，若pq為假命題，則實數(shù)m的取值范圍是_答案：2，)解析：依題意知，p，q均為假命題當p是假命題時，mx21>0恒成立，則有m0；當q是假命題時，則有m240，m2或m2.因此由p，q均為假命題得即m2.變式訓練已知命題p：“x0，1，aex”；命題q：“xR，使得x24xa0”若命題“pq”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是_答案：e，4解析：若命題“pq”是真命題，那么命題p，q都是真命題由x0，1，aex，得ae；由xR，使得x24xa0，知164a0，a4，因此ea4.已知命題p：|x2x|6，q：xZ，若“pq”與“綈q”都是假命題，求x的值解： 綈q假， q真又pq假， p假 即 x1，0，1，2.,4全稱命題與存在性命題),4)已知命題p：“xR，mR，使4x2x1m0”若命題綈p是假命題，則實數(shù)m的取值范圍是_答案：(，1解析：命題綈p是假命題，即命題p是真命題，由4x2x1m0得m(4x2x1)，令f(x)(4x2x1)，由于f(x)(2x1)21，所以當xR時f(x)1，因此實數(shù)m的取值范圍是m1.若命題“xR，有x2mxm<0”是假命題，則實數(shù)m的取值范圍是_答案：4，0解析：“xR，有x2mxm<0”是假命題，則“xR，有x2mxm0”是真命題，即m24m0， 4m0.1. 已知命題p：xR，使ax22x1<0.當綈p為真命題時，實數(shù)a的取值范圍是_答案：a|a1解析：綈p：xR，使ax22x10.若此命題為真命題，則即a1，從而所求a的取值范圍是a|a12. (2016·全國卷)命題“xR，2x23ax9<0”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是_答案：2，2解析：因題中的命題為假命題，則它的否定“xR，2x23ax90”為真命題，也就是常見的“恒成立”問題，因此只需9a24×2×90，即2a2.3. (2018·衡水中學周測)設(shè)p：0，q：x2(2a1)xa(a1)<0，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是_答案：解析：因為p：x<1，q：a<x<a1，所以由題意可得0a<.4. (2018·陽春一中月考)設(shè)命題p：x(0，)，3x>2x；命題q：x(，0)，3x>2x，則下列命題為真命題的是_(填序號) pq； p(綈q)； (綈p)q； (綈p)(綈q)答案：解析：x(0，)，3x>2x，所以命題p為真命題；x(，0)，3x<2x，所以命題q為假命題，因此pq，(綈p)q，(綈p)(綈q)為假命題，p(綈q)為真命題，填.點睛：若要判斷一個含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假，需先判斷構(gòu)成這個命題的每個簡單命題的真假，再依據(jù)“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判斷即可5. (2017·溧陽中學月考)已知函數(shù)f(x)ex，則x1x2>0是f(x1)f(x2)>f(x1)f(x2)的_條件(選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案：充要解析：當x>0時， y1，易知y在(0，)上單調(diào)遞增，又y是奇函數(shù)， 函數(shù)f(x)ex在(，)上為單調(diào)增函數(shù)先證充分性： x1x2>0， x1>x2，又f(x)ex在(，)上為單調(diào)增函數(shù)， f(x1)>f(x2)，同理：f(x2)>f(x1)，故f(x1)f(x2)>f(x1)f(x2)充分性證畢再證必要性：記g(x)f(x)f(x)，由f(x)ex在(，)上單調(diào)遞增，可知f(x)在(，)上單調(diào)遞減， g(x)f(x)f(x)在(，)上單調(diào)遞增由f(x1)f(x2)>f(x1)f(x2)，可得f(x1)f(x1)>f(x2)f(x2)，即g(x1)>g(x2)， x1>x2，x1x2>0.必要性證畢1. “bc0”是“二次函數(shù)yax2bxc的圖象經(jīng)過原點”的_條件答案：充分不必要解析：若bc0，則二次函數(shù)yax2bxcax2經(jīng)過原點；若二次函數(shù)yax2bxc過原點，則c0.2. 已知命題p：x25x60；命題q：0<x<4.若p是真命題，q是假命題，求實數(shù)x的取值范圍解：由x25x60得x3或x2. 命題q為假， x0或x4.則x|x3或x2x|x0或x4x|x0或x4 滿足條件的實數(shù)x的范圍是(，04，)3. (2018·濟南一中期初)已知不等式|xm|<1成立的充分不必要條件是<x<，則m的取值范圍是_答案：解析：解不等式|xm|<1，得 m1<x<m1.由題可得(m1，m1)，故 且等號不同時成立，解得m.4. 已知p(x)：x22xm>0，如果p(1)是假命題，p(2)是真命題，則實數(shù)m的取值范圍是_答案：3，8)解析：因為p(1)是假命題，所以12m0，解得m3；又p(2)是真命題，所以44m>0，解得m<8.故實數(shù)m的取值范圍是3m<8.1. 在判斷四個命題間的關(guān)系時，首先要分清命題的條件與結(jié)論，再比較每個命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系要注意四種命題關(guān)系的相對性與等價性，判斷四種命題真假的關(guān)鍵是熟悉四種命題的概念與互為逆否命題是等價的，即“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”，而互逆命題、互否命題是不等價的，當一個命題直接判斷不易進行時，通?？赊D(zhuǎn)化為判斷其等價命題的真假；而判斷一個命題為假命題只需舉出反例即可