2022年高中數(shù)學(xué)必修四 3.2 簡單的三角恒等變換示范教案教學(xué)分析 本節(jié)主要包括利用已有的十一個公式進行簡單的恒等變換,以及三角恒等變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.本節(jié)的內(nèi)容都是用例題來展現(xiàn)的,通過例題的解答,引導(dǎo)學(xué)生對變換對象和變換目標(biāo)進行對比、分析,促使學(xué)生形成對解題過程中如何選擇公式,如何根據(jù)問題的條件進行公式變形,以及變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法的認識,從而加深理解變換思想,提高學(xué)生的推理能力. 本節(jié)把三角恒等變換的應(yīng)用放在三角變換與三角函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系上,從而使三角函數(shù)性質(zhì)的研究得到延伸.三角恒等變換不同于代數(shù)變換，后者往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換，變換內(nèi)容比較單一.而對于三角變換，不僅要考慮三角函數(shù)是結(jié)構(gòu)方面的差異，還要考慮三角函數(shù)式所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，它是一種立體的綜合性變換.從函數(shù)式結(jié)構(gòu)、函數(shù)種類、角與角之間的聯(lián)系等方面找一個切入點，并以此為依據(jù)選擇可以聯(lián)系它們的適當(dāng)公式進行轉(zhuǎn)化變形，是三角恒等變換的重要特點.三維目標(biāo)1.通過經(jīng)歷二倍角的變形公式推導(dǎo)出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)出積化和差與和差化積公式,體會化歸、換元、方程、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的推理能力.2.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并會利用公式進行簡單的恒等變形,體會三角恒等變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.3.通過例題的解答，引導(dǎo)學(xué)生對變換對象目標(biāo)進行對比、分析，促使學(xué)生形成對解題過程中如何選擇公式，如何根據(jù)問題的條件進行公式變形，以及變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法的認識，從而加深理解變換思想，提高學(xué)生的推理能力.重點難點教學(xué)重點：1.半角公式、積化和差、和差化積公式的推導(dǎo)訓(xùn)練.2.三角變換的內(nèi)容、思路和方法,在與代數(shù)變換相比較中,體會三角變換的特點.教學(xué)難點：認識三角變換的特點，并能運用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)變換過程的設(shè)計，不斷提高從整體上把握變換過程的能力.課時安排2課時教學(xué)過程第1課時導(dǎo)入新課 思路1.我們知道變換是數(shù)學(xué)的重要工具，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要對象之一，三角函數(shù)主要有以下三個基本的恒等變換：代數(shù)變換、公式的逆向變換和多向變換以及引入輔助角的變換.前面已經(jīng)利用誘導(dǎo)公式進行了簡單的恒等變換，本節(jié)將綜合運用和（差）角公式、倍角公式進行更加豐富的三角恒等變換. 思路2.三角函數(shù)的化簡、求值、證明，都離不開三角恒等變換.學(xué)習(xí)了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我們就有了進行三角變換的新工具，從而使三角變換的內(nèi)容、思路和方法更加豐富和靈活，同時也為培養(yǎng)和提高我們的推理、運算、實踐能力提供了廣闊的空間和發(fā)展的平臺.對于三角變換,由于不同的三角函數(shù)式不僅會有結(jié)構(gòu)形式方面的差異,而且還會有所包含的角,以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異,因此三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個角之間的聯(lián)系,并以此為依據(jù)選擇可以聯(lián)系它們的適當(dāng)公式,這是三角式恒等變換的重要特點.推進新課新知探究提出問題與有什么關(guān)系?如何建立cos與sin2之間的關(guān)系？sin2=，cos2=，tan2=這三個式子有什么共同特點？通過上面的三個問題，你能感覺到代數(shù)變換與三角變換有哪些不同嗎?證明(1)sincos=sin(+)+sin(-);(2)sin+sin=2sin.并觀察這兩個式子的左右兩邊在結(jié)構(gòu)形式上有何不同？ 活動：教師引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想關(guān)于余弦的二倍角公式cos=1-2sin2,將公式中的用代替,解出sin2即可.教師對學(xué)生的討論進行提問，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)：是的二倍角.在倍角公式cos2=1-2sin2中,以代替2,以代替,即得cos=1-2sin2,所以sin2=. 在倍角公式cos2=2cos2-1中,以代替2,以代替,即得cos=2cos2-1,所以cos2=. 將兩個等式的左右兩邊分別相除,即得tan2=. 教師引導(dǎo)學(xué)生觀察上面的式，可讓學(xué)生總結(jié)出下列特點：(1)用單角的三角函數(shù)表示它們的一半即是半角的三角函數(shù);(2)由左式的“二次式”轉(zhuǎn)化為右式的“一次式”(即用此式可達到“降次”的目的).教師與學(xué)生一起總結(jié)出這樣的特點,并告訴學(xué)生這些特點在三角恒等變形中將經(jīng)常用到.提醒學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)中引起注意.同時還要強調(diào),本例的結(jié)果還可表示為:sin=±,cos=±,tan=±,并稱之為半角公式(不要求記憶),符號由所在象限決定. 教師引導(dǎo)學(xué)生通過這兩種變換共同討論歸納得出：對于三角變換,由于不同的三角函數(shù)式不僅會有結(jié)構(gòu)形式方面的差異，而且還有所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異.因此，三角恒等變換常常先尋找式子所包含的各個角間的聯(lián)系，并以此為依據(jù)，選擇可以聯(lián)系它們的適當(dāng)公式，這是三角恒等變換的重要特點.代數(shù)式變換往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換. 對于問題：（1）如果從右邊出發(fā)，僅利用和（差）的正弦公式作展開合并，就會得出左式.但為了更好地發(fā)揮本例的訓(xùn)練功能，把兩個三角式結(jié)構(gòu)形式上的不同點作為思考的出發(fā)點，引導(dǎo)學(xué)生思考，哪些公式包含sincos呢？想到sin(+)=sincos+cossin.從方程角度看這個等式，sincos，cossin分別看成兩個未知數(shù).二元方程要求得確定解，必須有2個方程，這就促使學(xué)生考慮還有沒有其他包含sincos的公式，列出sin(-)=sincos-cossin后，解相應(yīng)的以sincos，cossin為未知數(shù)的二元一次方程組，就容易得到所需要的結(jié)果.（2）由（1）得到以和的形式表示的積的形式后，解決它的反問題，即用積的形式表示和的形式，在思路和方法上都與（1）沒有什么區(qū)別.只需做個變換，令+=，-=，則=，=,代入(1)式即得(2)式.證明:(1)因為sin(+)=sincos+cossin,sin(-)=sincos-cossin,將以上兩式的左右兩邊分別相加,得sin(+)+sin(-)=2sincos,即sincos=sin(+)+sin(-).(2)由(1),可得sin(+)+sin(-)=2sincos.設(shè)+=,-=,那么=,=.把,的值代入,即得sin+sin=2sincos. 教師給學(xué)生適時引導(dǎo)，指出這兩個方程所用到的數(shù)學(xué)思想,可以總結(jié)出在本例的證明過程中用到了換元的思想,如把+看作,-看作,從而把包含,的三角函數(shù)式變換成,的三角函數(shù)式.另外,把sincos看作x,cossin看作y,把等式看作x,y的方程,通過解方程求得x,這就是方程思想的體現(xiàn).討論結(jié)果：是的二倍角.sin2=1-cos.略(見活動）.應(yīng)用示例思路1例1 化簡:. 活動：此題考查公式的應(yīng)用，利用倍角公式進行化簡解題.教師提醒學(xué)生注意半角公式和倍角公式的區(qū)別，它們的功能各異，本質(zhì)相同，具有對立統(tǒng)一的關(guān)系.解:原式=tan. 點評：本題是對基本知識的考查，重在讓學(xué)生理解倍角公式與半角公式的內(nèi)在聯(lián)系.變式訓(xùn)練 化簡:sin50°(1+tan10°).解:原式=sin50°=2sin50°·=2cos40°·=1.例2 已知sinx-cosx=,求sin3x-cos3x的值. 活動：教師引導(dǎo)學(xué)生利用立方差公式進行對公式變換化簡，然后再求解.由于(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3=a3-b3-3ab(a-b),a3-b3=(a-b)3+3ab(a-b).解完此題后,教師引導(dǎo)學(xué)生深挖本例的思想方法,由于sinx·cosx與sinx±cosx之間的轉(zhuǎn)化.提升學(xué)生的運算.化簡能力及整體代換思想.本題也可直接應(yīng)用上述公式求之,即sin3x-cos3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)=.此方法往往適用于sin3x±cos3x的化簡問題之中.解:由sinx-cosx=,得(sinx-cosx)2=,即1-2sinxcosx=,sinxcosx=.sin3x-cos3x=(sinx-cosx)(sin2x+sinxcosx+cos2x)=(1+)=. 點評：本題考查的是公式的變形、化簡、求值,注意公式的靈活運用和化簡的方法.變式訓(xùn)練 (xx年高考浙江卷,12) 已知sin+cos=,且,則cos2的值是_.答案:例1 已知. 活動：此題可從多個角度進行探究,由于所給的條件等式與所要證明的等式形式一致,只是將A,B的位置互換了,因此應(yīng)從所給的條件等式入手,而條件等式中含有A,B角的正、余弦,可利用平方關(guān)系來減少函數(shù)的種類.從結(jié)構(gòu)上看,已知條件是a2+b2=1的形式,可利用三角代換.證明一:,cos4A·sin2B+sin4A·cos2B=sin2B·cos+B.cos4A(1-cos2B)+sin4A·cos2B=(1-cos2B)cos2B,即cos4A-cos2B(cos4A-sin4A)=cos2B-cos4B.cos4A-2cos2Acos2B+cos4B=0.(cos2A-cos2B)2=0.cos2A=cos2B.sin2A=sin2B.cos2B+sin2B=1.證明二:令=sin,則cos2A=cosBcos,sin2A=sinBsin.兩式相加,得1=cosBcos+sinBsin,即cos(B-)=1.B-=2k(kZ),即B=2k+(kZ).cos=cosB,sin=sinB.cos2A=cosBcos=cos2B,sin2A=sinBsin=sin2B.=cos2B+sin2B=1. 點評:要善于從不同的角度來觀察問題,本例從角與函數(shù)的種類兩方面觀察,利用平方關(guān)系進行了合理消元.變式訓(xùn)練 在銳角三角形ABC中,ABC是它的三個內(nèi)角,記S=,求證:S<1.證明:S=又A+B>90°,90°>A>90°-B>0°.tanA>tan(90°-B)=cotB>0,tanA·tanB>1.S<1.思路2例1 證明=tan(+). 活動：教師引導(dǎo)學(xué)生思考，對于三角恒等式的證明，可從三個角度進行推導(dǎo)：左邊右邊；右邊左邊；左邊中間條件右邊.教師可以鼓勵學(xué)生試著多角度的化簡推導(dǎo).注意式子左邊包含的角為x,三角函數(shù)的種類為正弦，余弦，右邊是半角，三角函數(shù)的種類為正切.解：方法一：從右邊入手，切化弦，得tan(+)=,由左右兩邊的角之間的關(guān)系，想到分子分母同乘以cos+sin,得方法二：從左邊入手，分子分母運用二倍角公式的變形，降倍升冪，得由兩邊三角函數(shù)的種類差異，想到弦化切，即分子分母同除以cos,得=tan(+). 點評：本題考查的是半角公式的靈活運用，以及恒等式的證明所要注意的步驟與方法.變式訓(xùn)練 已知,(0,)且滿足:3sin2+2sin2=1,3sin2-2sin2=0,求+2的值.解法一:3sin2+2sin2=13sin2=1-2sin2,即3sin2=cos2, 3sin2-2sin2=03sincos=sin2, 2+2:9sin4+9sin2cos2=1,即9sin2(sin2+cos2)=1,sin2=.(0,),sin=.sin(+2)=sincos2+cossin2=sin·3sin2+cos·3sincos=3sin(sin2+cos2)=3×=1.,(0,),+2(0,).+2=.解法二:3sin2+2sin2=1cos2=1-2sin2=3sin2,3sin2-2sin2=0sin2=sin2=3sincos,cos(+2)=coscos2-sinsin2=cos·3sin2-sin·3sincos=0.,(0,),+2(0,).+2=.解法三:由已知3sin2=cos2,sin2=sin2,兩式相除,得tan=cot2,tan=tan(-2).(0,),tan>0.tan(-2)>0.又(0,),<-2<.結(jié)合tan(-2)>0,得0<-2<.由tan=tan(-2),得=-2,即+2=.例2 求證: 活動：證明三角恒等式,一般要遵循“由繁到簡”的原則,另外“化弦為切”與“化切為弦”也是在三角式的變換中經(jīng)常使用的方法.證明:證法一:左邊=右邊.原式成立.證法二:右邊=1-=左邊.原式成立. 點評：此題進一步訓(xùn)練學(xué)生三角恒等式的變形,靈活運用三角函數(shù)公式的能力以及邏輯推理能力.變式訓(xùn)練1.求證:.分析：運用比例的基本性質(zhì),可以發(fā)現(xiàn)原式等價于,此式右邊就是tan2.證明:原等式等價于.而上式左邊=tan2右邊.上式成立,即原等式得證.2.已知sin=m·sin(2+),求證:tan(+)=tan. 分析:仔細觀察已知式與所證式中的角,不要盲目展開,要有的放矢,看到已知式中的2+可化為結(jié)論式中的+與的和,不妨將+作為一整體來處理.證明:由sin=msin(2+)sin(+)-=msin(+)+sin(+)cos-cos(+)sin=m0sin(+)cos+cos(+)sin(1-m)·sin(+)cos=(1+m)·cos(+)sintan(+)=tan.知能訓(xùn)練1.若sin=,在第二象限,則tan的值為( )A.5 B.-5 C. D.2.設(shè)5<<6,cos=,則sin等于( )A. B. C. D.3.已知sin=,3<<,則tan_.解答:1.A 2.D 3.-3課堂小結(jié)1.先讓學(xué)生自己回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識:和、差、倍角的正弦、余弦公式的應(yīng)用,半角公式、代數(shù)式變換與三角變換的區(qū)別與聯(lián)系.積化和差與和差化積公式及其推導(dǎo),三角恒等式與條件等式的證明.2.教師畫龍點睛總結(jié):本節(jié)學(xué)習(xí)了公式的使用,換元法,方程思想,等價轉(zhuǎn)化,三角恒等變形的基本手段.作業(yè)課本習(xí)題3.2 B組2.設(shè)計感想1.本節(jié)主要學(xué)習(xí)了怎樣推導(dǎo)半角公式、積化和差、和差化積公式以及如何利用已有的公式進行簡單的恒等變換.在解題過程中，應(yīng)注意對三角式的結(jié)構(gòu)進行分析，根據(jù)結(jié)構(gòu)特點選擇合適公式，進行公式變形.還要思考一題多解、一題多變，并體會其中的一些數(shù)學(xué)思想，如換元、方程思想，“1”的代換，逆用公式等.2.在近幾年的高考中，對三角變換的考查仍以基本公式的應(yīng)用為主，突出對求值的考查.特別是對平方關(guān)系及和角公式的考查應(yīng)引起重視，其中遇到對符號的判斷是經(jīng)常出問題的地方，同時要注意結(jié)合誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，應(yīng)用誘導(dǎo)公式時符號問題也是常出錯的地方.考試大綱對本部分的具體要求是：用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式，體會向量方法的作用.從兩角差的余弦公式進而推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，能運用上述公式進行簡單的恒等變換.第2課時導(dǎo)入新課 思路1.(問題導(dǎo)入)三角化簡、求值與證明中，往往會出現(xiàn)較多相異的角，我們可根據(jù)角與角之間的和差、倍半、互補、互余等關(guān)系，運用角的變換，溝通條件與結(jié)論中角的差異，使問題獲得解決，如：=(+)-，2=(+)+(-)=(+)-(-)，+=-(-)等，你能總結(jié)出三角變換的哪些策略？由此探討展開. 思路2.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)前面已經(jīng)學(xué)過如何把形如y=asinx+bcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如y=Asin(x+)的函數(shù)，本節(jié)主要研究函數(shù)y=asinx+bcosx的周期、最值等性質(zhì).三角函數(shù)和代數(shù)、幾何知識聯(lián)系密切，它是研究其他各類知識的重要工具.高考題中與三角函數(shù)有關(guān)的問題，大都以恒等變形為研究手段.三角變換是運算、化簡、求值、證明過程中不可缺少的解題技巧，要學(xué)會創(chuàng)設(shè)條件靈活運用三角公式，掌握運算，化簡的方法和技能.推進新課新知探究提出問題三角函數(shù)y=sinx，y=cosx的周期,最大值和最小值是多少？函數(shù)y=asinx+bcosx的變形與應(yīng)用是怎樣的？三角變換在幾何問題中有什么應(yīng)用？ 活動：教師引導(dǎo)學(xué)生對前面已學(xué)習(xí)過的三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行復(fù)習(xí)與回顧，我們知道正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的圖象都具有周期性、對稱性、單調(diào)性等性質(zhì).而且正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的周期都是2k（kZ且k0），最小正周期都是2.三角函數(shù)的定義與變化時，會對其周期性產(chǎn)生一定的影響，例如，函數(shù)y=sinx的周期是2k（kZ且k0），且最小正周期是2，函數(shù)y=sin2x的周期是k（kZ且k0），且最小正周期是.正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的最大值是1，最小值是-1，所以這兩個函數(shù)的值域都是-1，1.函數(shù)y=asinx+bcosx=（cosx）,(,則有asinx+bcosx=（sinxcos+cosxsin）=sin（x+）.因此，我們有如下結(jié)論：asinx+bcosx=sin（x+），其中tan=.在以后的學(xué)習(xí)中可以用此結(jié)論進行求幾何中的最值問題或者角度問題. 我們知道角的概念起源于幾何圖形，從而使得三角函數(shù)與平面幾何有著密切的內(nèi)在聯(lián)系.幾何中的角度、長度、面積等幾何問題，常需借助三角函數(shù)的變換來解決，通過三角變換來解決幾何中的有關(guān)問題，是一種重要的數(shù)學(xué)方法.討論結(jié)果：y=sinx，y=cosx的周期是2k（kZ且k0），最小正周期都是2；最大值都是1，最小值都是-1.(略)見活動.應(yīng)用示例思路1例1 如圖1,已知OPQ是半徑為1,圓心角為的扇形,C是扇形弧上的動點,ABCD是扇形的內(nèi)接矩形.記COP=,求當(dāng)角取何值時,矩形ABCD的面積最大?并求出這個最大面積. 活動：要求當(dāng)角取何值時，矩形ABCD的面積S最大，先找出S與之間的函數(shù)關(guān)系，再求函數(shù)的最值.找S與之間的函數(shù)關(guān)系可以讓學(xué)生自己解決，得到：S=AB·BC=(cossin)sin=sincos-sin2.求這種y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x函數(shù)的最值，應(yīng)先降冪，再利用公式化成Asin(x+)型的三角函數(shù)求最值.教師引導(dǎo)學(xué)生思考：要求當(dāng)角取何值時,矩形ABCD的面積S最大,可分兩步進行:圖1(1)找出S與之間的函數(shù)關(guān)系;(2)由得出的函數(shù)關(guān)系,求S的最大值.解:在RtOBC中,BC=cos,BC=sin,在RtOAD中,=tan60°=,所以O(shè)A=DA=BC=sin.所以AB=OB-OA=cossin.設(shè)矩形ABCD的面積為S,則S=AB·BC=(cossin)sin=sincossin2=sin2+cos2-=(sin2+cos2)-=sin(2+)-.由于0<<,所以當(dāng)2+=,即=時,S最大=-=.因此,當(dāng)=時,矩形ABCD的面積最大,最大面積為. 點評：可以看到,通過三角變換,我們把形如y=asinx+bcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如y=Asin(x+)的函數(shù),從而使問題得到簡化.這個過程中蘊涵了化歸思想.此題可引申即可以去掉“記COP=”,結(jié)論改成“求矩形ABCD的最大面積”，這時，對自變量可多一種選擇，如設(shè)AD=x,S=x(),盡管對所得函數(shù)還暫時無法求其最大值，但能促進學(xué)生對函數(shù)模型多樣性的理解，并能使學(xué)生感受到以角為自變量的優(yōu)點.變式訓(xùn)練 (xx年高考遼寧卷,19) 已知函數(shù)f(x)=sin(x+)+sin(x-)-2cos2,xR(其中>0).(1)求函數(shù)f(x)的值域;(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=-1的兩個相鄰交點間的距離為,求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.解:(1)f(x)=sinx+cosx+sinx-cosx-(cosx+1)=2(sinx-cosx)-1=2sin(x-)-1.由-1sin(x-)1,得-32sin(x-)-11,可知函數(shù)f(x)的值域為-3,1.(2)由題設(shè)條件及三角函數(shù)圖象和性質(zhì),可知y=f(x)的周期為,又由>0,得=,即得=2.于是有f(x)=2sin(2x-)-1,再由2k-2x-2k+(kZ),解得k-xk+(kZ). 所以y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間為k-,k+(kZ). 點評:本題主要考查三角函數(shù)公式,三角函數(shù)圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查綜合運用三角函數(shù)有關(guān)知識的能力.例1 求函數(shù)y=sin4x+23sinxcosx-cos4x的最小正周期和最小值;并寫出該函數(shù)在0,上的單調(diào)遞增區(qū)間. 活動：教師引導(dǎo)學(xué)生利用公式解題，本題主要考查二倍角公式以及三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性等基礎(chǔ)知識.先用二倍角公式把函數(shù)化成最簡形式,然后再解決與此相關(guān)的問題.解:y=sin4x+2sinxcosx-cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+sin2x=sin2x-cos2x=2sin(2x-). 故該函數(shù)的最小正周期是;最小值是-2;在0,上單調(diào)增區(qū)間是0, ,. 點評：本題主要考查二倍角公式以及三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性等基礎(chǔ)知識.變式訓(xùn)練 已知函數(shù)f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x,(1)求f(x)的最小正周期;(2)若x0,求f(x)的最大、最小值.解：f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=cos(2x+),所以，f(x)的最小正周期T=.(2)因為x0,，所以2x+，.當(dāng)2x+=時，cos(2x+)取得最大值,當(dāng)2x+=時，cos(2x+)取得最小值-1.所以，在0,上的最大值為1，最小值為-.思路2例1 已知函數(shù)f(x)=sin(x+)(>0,0)是R上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于點M(,0)對稱,且在區(qū)間0,上是單調(diào)函數(shù),求和的值. 活動：提醒學(xué)生在解此題時,對f(x)是偶函數(shù)這一條件的運用不在問題上,而在對“f(x)的圖象關(guān)于M(,0)對稱”這一條件的使用上,多數(shù)考生都存在一定問題.一般地:定義在R上的函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)任意x滿足條件:f(x+a)=2b-f(a-x),則y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱,反之亦然.教師在這類問題的教學(xué)時要給予充分的提示與總結(jié)，多做些這種類型的變式訓(xùn)練.解：由f(x)是偶函數(shù),得f(-x)=f(x),即sin(-x+)=sin(x+),所以-cossinx=cossinx對任意x都成立.又>0,所以,得cos=0.依題設(shè)0,所以,解得=.由f(x)的圖象關(guān)于點M對稱,得f(-x)=-f(+x).取x=0,得f()=-f(),所以f()=0.f()=sin(+)=cos,cos=0.又>0,得=+k,k=0,1,2,.=(2k+1),k=0,1,2,.當(dāng)k=0時,=,f(x)=sin(x+)在0,上是減函數(shù);當(dāng)k=1時,=2,f(x)=sin(2x+)在0,上是減函數(shù);當(dāng)k2時,f(x)=sin(x+)在0,上不是單調(diào)函數(shù).所以,綜合得=或=2. 點評：本題是利用函數(shù)思想進行解題，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對函數(shù)進行變換然后進而解決此題.變式訓(xùn)練 已知如圖2的RtABC中,A=90°,a為斜邊,B、C的內(nèi)角平分線BD、CE的長分別為m、n,且a2=2mn.問:是否能在區(qū)間(,2中找到角,恰使等式cos-sin=4(cos-cos)成立?若能,找出這樣的角;若不能,請說明理由.解:在RtBAD中,=cos,在RtBAC中,=sinC,mcos=asinC.圖2同理,ncos=asinB.mncoscos=a2sinBsinC.而a2=2mn,coscos=2sinBsinC=8sin·coscossin.sinsin=.積化和差,得4(cos-cos)=-1,若存在使等式cos-sin=4(cos-cos)成立,則cos(+)=-1,cos(+)=.而<2,<+.這樣的不存在. 點評:對于不確定的開放式問題,通常稱之為存在性問題.處理這類問題的一般思路是先假設(shè)結(jié)論是肯定的,再進行演繹推理,若推證出現(xiàn)矛盾,即可否定假設(shè);若推出合理結(jié)果,即假設(shè)成立.這個探索結(jié)論的過程可概括為假設(shè)推證定論.例2 已知tan(-)=，tan=，且,(0,)，求2-的值.解：2-=2(-)+,tan(-)=，tan2(-)=.從而tan(2-)=tan2(-)+=.又tan=tan(-)+=<1.且0<<，0<<.0<2<.又tan=<0，且(0,)，<<，-<-<.-<2-<0.2-=. 點評：本題通過變形轉(zhuǎn)化為已知三角函數(shù)值求角的問題，關(guān)鍵在于對角的范圍的討論，注意合理利用不等式的性質(zhì)，必要時，根據(jù)三角函數(shù)值，縮小角的范圍，從而求出準(zhǔn)確角.另外，求角一般都通過三角函數(shù)值來實現(xiàn)，但求該角的哪一種函數(shù)值，往往有一定的規(guī)律，若(0,)，則求cos;若(,)，則求sin等.變式訓(xùn)練 若,為銳角，且3sin2+2sin2=1，3sin2-2sin2=0，求證：+2=.證明：已知兩個等式可化為3sin2=cos2， 3sincos=sin2， ÷，得=，即coscos2-sinsin2=0，cos(+2)=0.0<<，0<<，0<+2<.+2=.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)4.解答:4.(1)y=sin4x.最小正周期為,遞增區(qū)間為(kZ),最大值為;(2)y=cosx+2.最小正周期為2,遞增區(qū)間為+2k,2+2k(kZ),最大值為3;(3)y=2sin(4x+).最小正周期為,遞增區(qū)間為(kZ),最大值為2.課堂小結(jié) 本節(jié)課主要研究了通過三角恒等變形,把形如y=asinx+bcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如y=Asin(x+)的函數(shù),從而能順利考查函數(shù)的若干性質(zhì),達到解決問題的目的,充分體現(xiàn)出生活的數(shù)學(xué)和“活”的數(shù)學(xué).作業(yè)課本復(fù)習(xí)參考題A組10、11、12.設(shè)計感想1.本節(jié)課主要是三角恒等變換的應(yīng)用，通過三角恒等變形,把形如y=asinx+bcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如y=Asin(x+)的函數(shù),從而能順利考查函數(shù)的若干性質(zhì),達到解決問題的目的.在教學(xué)中教師要強調(diào)：分析、研究三角函數(shù)的性質(zhì)，是三角函數(shù)的重要內(nèi)容.如果給出的三角函數(shù)的表達式較為復(fù)雜，我們必須先通過三角恒等變換，將三角函數(shù)的解析式變形化簡，然后再根據(jù)化簡后的三角函數(shù)，討論其圖象和性質(zhì).因此，三角恒等變換是求解三角函數(shù)問題的一個基本步驟.但需注意的是，在三角恒等變換過程中，由于消項、約分、合并等原因，函數(shù)的定義域往往會發(fā)生一些變化，從而導(dǎo)致變形化簡后的三角函數(shù)與原三角函數(shù)不等價.因此，在對三角函數(shù)式進行三角恒等變換后，還要確定原三角函數(shù)的定義域，并在這個定義域內(nèi)分析其性質(zhì).2.在三角恒等變化中，首先是掌握利用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式，并由此導(dǎo)出角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式和積化差、和差化積及半角公式，以此作為基本訓(xùn)練.其次要搞清楚各公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，自己畫出知識結(jié)構(gòu)圖.第三就是在三角恒等變換中，要結(jié)合第一章的三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識，對三角知識有整體的把握.3.今后高考對三角變換的考查估計仍以考查求值為主.和、差、倍、半角的三角函數(shù)公式、同角關(guān)系的運用仍然是重點考查的地方，應(yīng)該引起足夠重視，特別是對角的范圍的討論，從而確定符號.另外，在三角形中的三角變換問題，以及平面向量為模型的三角變換問題將是高考的熱點.對三角函數(shù)綜合應(yīng)用的考查，估計仍然以三角與數(shù)列、不等式、平面向量、解析幾何、三角與解三角形的實際應(yīng)用為主，題型主要是選擇題、填空題，也可能以解答題形式出現(xiàn)，難度不會太大.應(yīng)注意新情景立意下的三角綜合應(yīng)用也是考試的熱點.