第6節(jié)空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系最新考綱1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，了解空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；2.了解空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示；3.了解空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示知 識(shí) 梳 理1空間向量的有關(guān)概念名稱概念表示零向量模為0的向量0單位向量長(zhǎng)度(模)為1的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量為a共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一個(gè)平面的向量2.空間向量中的有關(guān)定理(1)共線向量定理空間兩個(gè)向量a(a0)與b共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得ba推論如圖所示，點(diǎn)P在l上的充要條件是ta其中a叫直線l的方向向量，tR，在l上取a，則可化為t或(1t)t(2)共面向量定理共面向量定理的向量表達(dá)式：pxayb，其中x，yR，a，b為不共線向量，推論的表達(dá)式為xy或?qū)臻g任意一點(diǎn)O，有xy或xyz，其中xyz1(3)空間向量基本定理如果向量e1，e2，e3是空間三個(gè)不共面的向量，a是空間任一向量，那么存在唯一一組實(shí)數(shù)1，2，3，使得a1e12e23e3，空間中不共面的三個(gè)向量e1，e2，e3叫作這個(gè)空間的一個(gè)基底3空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(1)數(shù)量積及相關(guān)概念兩向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作a，b，則AOB叫做向量a與b的夾角，記作a，b，其范圍是0，若a，b，則稱a與b互相垂直，記作ab.兩向量的數(shù)量積已知空間兩個(gè)非零向量a，b，則|a|b|cosa，b叫做向量a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b|a|b|cosa，b(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合律：(a)·b(a·b)；交換律：a·bb·a；分配律：a·(bc)a·ba·c4空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·ba1b1a2b2a3b3共線ab(b0，R)a1b1，a2b2，a3b3垂直a·b0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夾角a，b(a0，b0)cosa，b5.直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量(2)平面的法向量：直線l，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面的法向量6空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1·n20直線l的方向向量為n，平面的法向量為mlnmn·m0lnmnm平面，的法向量分別為n，mnmnmnmn·m0常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1共線向量定理的推論如圖所示，點(diǎn)P在l上的充要條件是ta其中a叫直線l的方向向量，tR，在l上取a，則可化為t或(1t)t.2a·b0a0或b0或a，b.3a·b<0不等價(jià)為a，b為鈍角，因?yàn)閍，b可能為180°；a·b>0不等價(jià)為a，b為銳角，因?yàn)閍，b可能為0°.診 斷 自 測(cè)1思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“×”)(1)空間中任意兩非零向量a，b共面()(2)對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b，若a·b0，則ab.()(3)若a，b，c是空間的一個(gè)基底，則a，b，c中至多有一個(gè)零向量()(4)若a·b0，則a，b是鈍角()解析對(duì)于(2)，因?yàn)?與任何向量數(shù)量積為0，所以(2)不正確；對(duì)于(3)，若a，b，c中有一個(gè)是0，則a，b，c共面，所以(3)不正確；對(duì)于(4)，若a，b，則a·b<0，故(4)不正確答案(1)(2)×(3)×(4)×2在空間直角坐標(biāo)系中，A(1，2，3)，B(2，1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，則直線AB與CD的位置關(guān)系是()A垂直 B平行C異面 D相交但不垂直解析由題意得，(3，3，3)，(1，1，1)，3，與共線，又AB與CD沒有公共點(diǎn)ABCD.答案B3(選修21P97A2改編)如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)若a，b，1c，則下列向量中與相等的向量是()Aabc B.abcCabc D.abc解析由題意，根據(jù)向量運(yùn)算的幾何運(yùn)算法則，11()c(ba)abc.答案A4已知a(2，3，1)，b(4，2，x)，且ab，則|b|_解析a·b2×(4)3×21·x0，x2，|b|2.答案25O為空間中任意一點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)不共線，且t，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)t_解析P，A，B，C四點(diǎn)共面，t1，t.答案6(2018·嘉興測(cè)試)設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為n(2，2，4)，若a(1，1，2)，則直線l與平面的位置關(guān)系為_；若a(1，1，1)，則直線l與平面的位置關(guān)系為_解析當(dāng)a(1，1，2)時(shí)，an，則l；當(dāng)a(1，1，1)時(shí)，a·n(1，1，1)·(2，2，4)0，則l或l.答案ll或l考點(diǎn)一空間向量的線性運(yùn)算【例1】 如圖所示，在空間幾何體ABCDA1B1C1D1中，各面為平行四邊形，設(shè)a，b，c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2).解(1)因?yàn)镻是C1D1的中點(diǎn)，所以aacacb.(2)因?yàn)镸是AA1的中點(diǎn)，所以aabc.又ca，所以abc.規(guī)律方法(1)選定空間不共面的三個(gè)向量作基向量，這是用向量解決立體幾何問題的基本要求用已知基向量表示指定向量時(shí)，應(yīng)結(jié)合已知和所求向量觀察圖形，將已知向量和未知向量轉(zhuǎn)化至三角形或平行四邊形中，然后利用三角形法則或平行四邊形法則進(jìn)行運(yùn)算(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，我們把這個(gè)法則稱為向量加法的多邊形法則提醒空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算類似于平面向量中的坐標(biāo)運(yùn)算【訓(xùn)練1】 如圖，三棱錐OABC中，M，N分別是AB，OC的中點(diǎn)，設(shè)a，b，c，用a，b，c表示，則()A.(abc)B.(abc)C.(abc)D.(abc)解析()()(abc)答案B考點(diǎn)二共線定理、共面定理的應(yīng)用【例2】 已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，用向量方法求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)BD平面EFGH.證明(1)連接BG，則()，由共面向量定理知E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面(2)因?yàn)?)，因?yàn)镋，H，B，D四點(diǎn)不共線，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.規(guī)律方法(1)證明空間三點(diǎn)P，A，B共線的方法(R)；對(duì)空間任一點(diǎn)O，xy(xy1)(2)證明空間四點(diǎn)P，M，A，B共面的方法xy；對(duì)空間任一點(diǎn)O，xyz(xyz1)；(或或)(3)三點(diǎn)共線通常轉(zhuǎn)化為向量共線，四點(diǎn)共面通常轉(zhuǎn)化為向量共面，線面平行可轉(zhuǎn)化為向量共線、共面來證明【訓(xùn)練2】 (1)若A(1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三點(diǎn)共線，則mn_(2)已知空間四點(diǎn)A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，D(1，2，t)，若四點(diǎn)共面，則t的值為_解析(1)(3，1，1)，(m1，n2，2)A，B，C三點(diǎn)共線，m7，n4，mn3.(2)(1，1，0)，(1，0，2)，(3，2，t2)，A，B，C，D四點(diǎn)共面，共面設(shè)xy，即(3，2，t2)(xy，x，2y)，則解得t的值為0.答案(1)3(2)0考點(diǎn)三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【例3】 如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)(1)求證：MNAB，MNCD；(2)求MN的長(zhǎng)；(3)求異面直線AN與CM所成角的余弦值(1)證明設(shè)p，q，r.由題意可知，|p|q|r|a，且p，q，r三向量?jī)蓛蓨A角均為60°.()(qrp)，·(qrp)·p(q·pr·pp2)(a2cos 60°a2cos 60°a2)0.，即MNAB.同理可證MNCD.(2)解由(1)可知(qrp)，|2(qrp)2q2r2p22(q·rp·qr·p)×2a2.|a.MN的長(zhǎng)為a.(3)解設(shè)向量與的夾角為.()(qr)，qp，·(qr)·(qp)(q2q·pr·qr·p)(a2a2cos 60°a2cos 60°a2cos 60°)(a2).又|a，·|cos a×a×cos .cos ，向量與的夾角的余弦值為，因此異面直線AN與CM所成角的余弦值為.規(guī)律方法利用數(shù)量積解決問題的兩條途徑：一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計(jì)算；二是利用坐標(biāo)運(yùn)算可解決有關(guān)垂直、夾角、長(zhǎng)度問題(1)a0，b0，aba·b0；(2)|a|；(3)cosa，b.【訓(xùn)練3】 如圖所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1，且兩兩夾角為60°.(1)求AC1的長(zhǎng)；(2)求證：AC1BD；(3)求BD1與AC夾角的余弦值(1)解記a，b，c，則|a|b|c|1，a，bb，cc，a60°，a·bb·cc·a.|2(abc)2a2b2c22(a·bb·cc·a)1112×6，|1|，即AC1的長(zhǎng)為.(2)證明abc，ba，·(abc)·(ba)a·b|b|2b·c|a|2a·ba·cb·ca·c|b|c|cos 60°|a|c|cos 60°0.，AC1BD.(3)解bca，ab，|，|，·(bca)·(ab)b2a2a·cb·c1.cos，.AC與BD1夾角的余弦值為.考點(diǎn)四利用空間向量證明平行與垂直【例4】 (一題多解)如圖，在四面體ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ3QC.證明：PQ平面BCD.證明法一如圖，取BD的中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，OD，OP所在射線分別為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題意知，A(0，2)，B(0，0)，D(0，0)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0，y0，0)因?yàn)?，所以Q.因?yàn)镸為AD的中點(diǎn)，故M(0，1)又P為BM的中點(diǎn)，故P，所以.又平面BCD的一個(gè)法向量為a(0，0，1)，故·a0.又PQ平面BCD，所以PQ平面BCD.法二在線段CD上取點(diǎn)F，使得DF3FC，連接OF，同法一建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(x0，y0，0)，設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)為(x，y，0)，則(xx0，yy0，0)(x0，y0，0)，又由法一知，PQOF.又PQ平面BCD，OF平面BCD，PQ平面BCD.規(guī)律方法(1)恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵(2)證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面，或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行，然后說明直線在平面外即可這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算(3)用向量證明垂直的方法線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示面面垂直：證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎尽居?xùn)練4】 如圖所示，已知四棱錐PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90°，ABBCPBPC2CD，側(cè)面PBC底面ABCD.證明：(1)PABD；(2)平面PAD平面PAB.證明(1)取BC的中點(diǎn)O，連接PO，平面PBC底面ABCD，PBC為等邊三角形，PO底面ABCD.以BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，過點(diǎn)O與AB平行的直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示不妨設(shè)CD1，則ABBC2，PO.A(1，2，0)，B(1，0，0)，D(1，1，0)，P(0，0，)(2，1，0)，(1，2，)·(2)×1(1)×(2)0×()0，PABD.(2)取PA的中點(diǎn)M，連接DM，則M.，(1，0，)，·×10×0×()0，即DMPB.·×10×(2)×()0，即DMPA.又PAPBP，DM平面PAB.DM平面PAD，平面PAD平面PAB.基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1(2017·臺(tái)州統(tǒng)考)已知向量a(2m1，3，m1)，b(2，m，m)，且ab，則實(shí)數(shù)m的值等于()A. B2 C0 D.或2解析ab，解得m2.答案B2在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn)，則sin，的值為()A. B. C. D.解析如圖，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則易得(2，2，1)，(2，2，1)，cos，sin，.答案B3空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線均相等，E是BC的中點(diǎn)，那么()A.··B.··C.··D.·與·的大小不能比較解析取BD的中點(diǎn)F，連接EF，則EF綉CD，因?yàn)椋?0°，因?yàn)?#183;0，·0，所以··.答案C4已知向量a(1，1，0)，b(1，0，2)，且kab與2ab互相垂直，則k的值是()A1 B. C. D.解析由題意得，kab(k1，k，2)，2ab(3，2，2)所以(kab)·(2ab)3(k1)2k2×25k70，解得k.答案D5已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則·的值為()Aa2 B.a2 C.a2 D.a2解析如圖，設(shè)a，b，c，則|a|b|c|a，且a，b，c三向量?jī)蓛蓨A角為60°.(ab)，c，·(ab)·c(a·cb·c)(a2cos 60°a2cos 60°)a2.答案C6.如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)M，P，Q分別為棱AB，CD，BC的中點(diǎn)，若平行六面體的各棱長(zhǎng)均相等，則：A1MD1P；A1MB1Q；A1M平面DCC1D1；A1M平面D1PQB1.以上說法正確的個(gè)數(shù)為()A1 B2 C3 D4解析，所以A1MD1P，由線面平行的判定定理可知，A1M平面DCC1D1，A1M平面D1PQB1.正確答案C二、填空題7已知2ab(0，5，10)，c(1，2，2)，a·c4，|b|12，則以b，c為方向向量的兩直線的夾角為_解析由題意得，(2ab)·c0102010.即2a·cb·c10，又a·c4，b·c18，cosb，c，b，c120°，兩直線的夾角為60°.答案60°8(2018·湖州月考)已知a(2，1，3)，b(1，2，1)，a與b夾角的余弦值為_；若a(ab)，則_解析a(2，1，3)，b(1，2，1)，cosa，b；由題意a·(ab)0，即a2a·b0，又a214，a·b7，1470，2.答案29(2018·溫州質(zhì)檢)已知(1，5，2)，(3，1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，則x_，y_，z_解析由條件得解得x，y，z4.答案410設(shè)A1，A2，A3，A4，A5是空間中給定的5個(gè)不同的點(diǎn)，則使成立的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)有_解析設(shè)M(a，b，c)，Ak(xk，yk，zk)(k1，2，3，4，5)則(xka，ykb，zkc)，存在唯一點(diǎn)M.答案1三、解答題11已知空間中三點(diǎn)A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，設(shè)a，b.(1)若|c|3，且c，求向量c.(2)求向量a與向量b的夾角的余弦值解(1)c，(3，0，4)(1，1，2)(2，1，2)，cmm(2，1，2)(2m，m，2m)，|c|3|m|3，m±1.c(2，1，2)或(2，1，2)(2)a(1，1，0)，b(1，0，2)，a·b(1，1，0)·(1，0，2)1，又|a|，|b|，cosa，b，即向量a與向量b的夾角的余弦值為.12(2018·麗水測(cè)試)如圖所示，四棱錐PABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，PACD，PA1，PD，E為PD上一點(diǎn)，PE2ED.(1)求證：PA平面ABCD；(2)在側(cè)棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使得BF平面AEC？若存在，指出F點(diǎn)的位置，并證明；若不存在，說明理由(1)證明PAAD1，PD，PA2AD2PD2，即PAAD.又PACD，ADCDD，PA平面ABCD.(2)解以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，E，(1，1，0)，.設(shè)平面AEC的法向量為n(x，y，z)，則即令y1，則n(1，1，2)假設(shè)側(cè)棱PC上存在一點(diǎn)F，且(01)，使得BF平面AEC，則·n0.又(0，1，0)(，)(，1，)，·n120，存在點(diǎn)F，使得BF平面AEC，且F為PC的中點(diǎn)能力提升題組13在空間四邊形ABCD中，···()A1 B0 C1 D不確定解析如圖，令a，b，c，則···a·(cb)b·(ac)c·(ba)a·ca·bb·ab·cc·bc·a0.答案B14若a，b，c是空間的一個(gè)基底，且向量pxaybzc，則(x，y，z)叫向量p在基底a，b，c下的坐標(biāo)已知a，b，c是空間的一個(gè)基底，ab，ab，c是空間的另一個(gè)基底，一向量p在基底a，b，c下的坐標(biāo)為(4，2，3)，則向量p在基底ab，ab，c下的坐標(biāo)是()A(4，0，3) B(3，1，3)C(1，2，3) D(2，1，3)解析設(shè)p在基底ab，ab，c下的坐標(biāo)為x，y，z.則px(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc，因?yàn)閜在a，b，c下的坐標(biāo)為(4，2，3)，p4a2b3c，由得即p在ab，ab，c下的坐標(biāo)為(3，1，3)答案B15已知O點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，向量(1，2，3)，(2，1，2)，(1，1，2)，且點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)·取得最小值時(shí)，的坐標(biāo)是_解析點(diǎn)Q在直線OP上，設(shè)點(diǎn)Q(，2)，則(1，2，32)，(2，1，22)，·(1)(2)(2)(1)(32)(22)6216106.即當(dāng)時(shí)，·取得最小值.此時(shí).答案16如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體OABCO1A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AEBFx，其中0xa，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.(1)寫出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；(2)求證：A1FC1E；(3)若A1，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面，求證：.(1)解E(a，x，0)，F(xiàn)(ax，a，0)(2)證明A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，(x，a，a)，(a，xa，a)，·axa(xa)a20，A1FC1E.(3)證明A1，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面，共面選與為在平面A1C1E上的一組基向量，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)(1，2)，使12，即(x，a，a)1(a，a，0)2(0，x，a)(a1，a1x2，a2)，解得1，21.于是.17.如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)，計(jì)算：(1)·；(2)EG的長(zhǎng)；(3)異面直線AG與CE所成角的余弦值解設(shè)a，b，c.則|a|b|c|1，a，bb，cc，a60°，(1)ca，a，··(a)a2a·c，(2)abacb abc，|2a2b2c2a·bb·cc·a，則|.(3)bc，ba，cos，由于異面直線所成角的范圍是，所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為.22