第三章 數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式本章復(fù)習(xí)課1.理解數(shù)學(xué)歸納法原理，會用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式、不等式、整除性問題和幾何問題.2.會用數(shù)學(xué)歸納法證明絕對值不等式、均值不等式、柯西不等式和貝努利不等式，會用貝努利不等式證明有關(guān)的簡單問題.知識結(jié)構(gòu)知識梳理1.數(shù)學(xué)歸納法及其原理數(shù)學(xué)歸納法是證明一些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法.即先證明當(dāng)n取第一個值n0(例如n01)時(shí)命題成立，然后假設(shè)當(dāng)nk (kN*，kn0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立，那么就證明了這個命題成立.這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.2.數(shù)學(xué)歸納法主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題.證明時(shí)，它的兩個步驟缺一不可.它的第一步(歸納奠基)nn0時(shí)結(jié)論成立.第二步(歸納遞推)假設(shè)nk時(shí)，結(jié)論成立，推得nk1時(shí)結(jié)論也成立.數(shù)學(xué)歸納法原理建立在歸納公理的基礎(chǔ)上，它可用有限的步驟(兩步)證明出無限的命題成立.3.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)易犯的錯誤(1)對項(xiàng)數(shù)估算的錯誤，特別是尋找nk與nk1的關(guān)系時(shí)，項(xiàng)數(shù)發(fā)生什么變化被弄錯.(2)沒有利用歸納假設(shè).(3)關(guān)鍵步驟含糊不清，“假設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立，利用此假設(shè)證明nk1時(shí)結(jié)論也成立”，是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵一步，也是證明問題最重要的環(huán)節(jié)，對推導(dǎo)的過程要把步驟寫完整，注意證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)范性.典例剖析知識點(diǎn)1歸納、猜想、證明問題【例1】 已知x2cos ，(1)計(jì)算x2及x3的值；(2)歸納出xn (nN*)的值，再用數(shù)學(xué)歸納法證明.解(1)x2222cos222(2cos21)2cos 2x33，8cos33×2cos 2cos 3.(2)由(1)猜想xn2cos n (nN*)證明：當(dāng)n1，2時(shí)，由(1)已證假設(shè)nk及nk1時(shí)，命題成立，即xk2cos k，xk12cos(k1) (k2，kN*)則nk1時(shí)，xk14cos kcos 2cos(k1)2cos(k1)cos(k1)2cos(k1)2cos(k1)當(dāng)nk1時(shí)，命題也成立，由、知，對一切nN*都有xn2cos n.知識點(diǎn)2探索性問題【例2】 是否存在常數(shù)a，b，c使得等式1·222·32n(n1)2(an2bnc)對一切nN*都成立？并證明你的結(jié)論.解假設(shè)存在符合題意的常數(shù)a，b，c，在等式1·222·32n(n1)2(an2bnc)中，令n1，得4(abc)令n2，得22(4a2bc)令n3，得709a3bc由解得a3，b11，c10，于是，對于n1，2，3，都有1·222·32n(n1)2(3n211n10) (*)成立.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于一切正整數(shù)n，(*)式都成立.假設(shè)nk時(shí)，(*)成立，即1·222·32k(k1)2(3k211k10)，那么1·222·32k(k1)2(k1)(k2)2(3k211k10)(k1)(k2)2(3k25k12k24)3(k1)211(k1)10，由此可知，當(dāng)nk1時(shí)，(*)式也成立.綜上所述，當(dāng)a3，b11，c10時(shí)題設(shè)的等式對于一切nN*都成立.知識點(diǎn)3與數(shù)列通項(xiàng)有關(guān)的歸納、猜想、證明【例3】 設(shè)數(shù)列an滿足an1anan1，nN*.(1)當(dāng)a12時(shí)，求a2，a3，a4，并由此猜想an的一個通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)a1>3時(shí)，證明對所有n1有ann2；.(1)解由a12，an1anan1得：a2aa113，a3a2a214a4a3a315由此可推測數(shù)列an的一個通項(xiàng)公式是ann1.(2)證明當(dāng)n1時(shí)，a1>312，不等式成立.假設(shè)nk時(shí)，不等式成立，即akk2當(dāng)nk1時(shí)，ak1akak1ak(akk)1(k2)(k2k)12k5k3即ak1(k1)2，因此不等式成立.ann2對于nN*都成立.由an1anan1及(1)知當(dāng)k2時(shí)，aka(k1)ak11ak1(ak1k1)1ak1(k12k1)12ak11ak12(ak11)，即2ak12k1(a11)，·(k2).知識點(diǎn)4用數(shù)學(xué)歸納法證明三角等式【例4】 用數(shù)學(xué)歸納法證明tan ·tan 2tan 2·tan 3tan(n1)·tan nn (n2，nN*).證明(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊tan ·右邊22，等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)(k2，kN*)等式成立，即tan ·tan 2tan 2·tan 3tan(k1)·tan kk則當(dāng)nk1時(shí)，tan ·tan 2tan 2·tan 3tan(k1)·tan ktan k·tan(k1)ktan k·tan(k1)(*)由tan tan(k1)k得tan ktan(k1)1.代入(*)式，得右邊k1(k1)，即tan ·tan 2tan 2·tan 3tan(k1)·tan ktan k·tan(k1)(k1).這就是說，當(dāng)nk1時(shí)等式成立.根據(jù)(1)(2)可知，對任意n2，nN*，等式成立基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.如果命題P(n)對nk成立，則它對nk2亦成立，又若P(n)對n2成立，則下列結(jié)論正確的是()A.P(n)對所有的正整數(shù)n成立B.P(n)對所有的正偶整數(shù)n成立C.P(n)對所有正奇整數(shù)n成立D.P(n)對所有比1大的自然數(shù)n成立答案B2.利用數(shù)學(xué)歸納法證明>(n2，nN)的過程中，由nk遞推到nk1時(shí)，不等式的左邊()A.增加了一項(xiàng)B.增加了兩項(xiàng)和C.增加了一項(xiàng)，并減少了D.增加了兩項(xiàng)和，并減少了答案D3.用數(shù)學(xué)歸納法證明cos cos 3cos(2n1)(kZ*，k，nN)，在驗(yàn)證n1時(shí)，左邊計(jì)算所得的項(xiàng)是() A. B.cos C.cos cos 3 D.cos 答案B4.平面上有n條直線，其中任意三條不平行，任意兩條不共線，則這n條直線把平面分成_個部分.答案15.已知f(n)1(nN)，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2n)>時(shí)，f(2k1)f(2k)_.答案6.nN，求證：4·6n5n19能被20整除.證明(1)當(dāng)n1時(shí)，4·6n5n1940，能被20整除，即n1時(shí)命題成立.(2)設(shè)nk時(shí)命題成立，即4·6k5k19能被20整除.設(shè)4·6k5k1920m(m為整數(shù)).920m4·6k5k1.4·6k15k294·6k15k220m4·6k5k120(6k5km)，4·6k15k29能被20整除.當(dāng)nk1時(shí)，命題成立.由(1)、(2)，知對nN，命題成立.綜合提高7.對于不等式n1(nN)，某學(xué)生用數(shù)學(xué)歸納法證明過程如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，11，不等式成立；(2)假設(shè)nk(kN)時(shí)不等式成立，即<k1，則當(dāng)nk1時(shí)，左邊<(k1)1，當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立.上述證明中()A.過程全部正確B.n1時(shí)驗(yàn)證不正確C.歸納假設(shè)不正確D.從nk到nk1的推理不正確答案D8.設(shè)平面內(nèi)有幾條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點(diǎn)，設(shè)k條直線的交點(diǎn)個數(shù)為f(x)，則f(x1)與f(k)的關(guān)系為()A.f(k1)f(k)k1B.f(k1)f(k)k2C.f(k1)f(k)kD.f(k1)f(k)k2答案C9.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題：當(dāng)n是非負(fù)整數(shù)時(shí)，11n2122n1能被133整除，假設(shè)nk時(shí)命題成立，推證nk1時(shí)命題也成立，應(yīng)添加的輔助項(xiàng)為_.答案11×122k111×122k110.用數(shù)學(xué)歸納法證明“nN，n(n1)(2n1)能被6整除”時(shí)，某同學(xué)證法如下：(1)n1時(shí)，1×2×36能被6整除，n1時(shí)命題成立.(2)假設(shè)nk時(shí)成立，即k(k1)(2k1)能被6整除，那么nk1時(shí)，(k1)(k2)(2k3)(k1)(k2)k(k3)k(k1)(k2)(k1)(k2)(k3).k，k1，k2和k1，k2，k3分別是三個連續(xù)自然數(shù)的積，能被6整除，故nk1時(shí)命題成立.綜合(1)、(2)，對一切nN，n(n1)(2n1)能被6整除.這種證明情況_.答案未用上歸納假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法11.求證：cos xcos 3xcos(2n1)x (nN*).證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊cos x，右邊cos x，等式成立.(2)假設(shè)nk (k1)時(shí)，cos xcos 3xcos(2k1)x成立.當(dāng)nk1時(shí)，cos xcos 3xcos(2k1)xcos(2k1)xcos(2k1)x(sin 2kx2sin xcos(2k1)x)(sin 2kxsin(2k2)xsin 2kx)，對nk1時(shí)，等式成立.由(1)，(2)知，對一切自然數(shù)nN*，等式均成立.12.已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，bnnan(nN)，e為自然對數(shù)的底數(shù).(1)求函數(shù)f(x)1xex的單調(diào)區(qū)間，并比較與e的大小；(2)計(jì)算，由此推測計(jì)算的公式，并給出證明；(3)令cn(a1a2an)，數(shù)列an，cn的前n項(xiàng)和分別記為Sn，Tn，證明：Tn<eSn.(1)解f(x)的定義域?yàn)?，)，f(x)1ex.當(dāng)f(x)>0，即x<0時(shí)，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)f(x)<0，即x>0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減；故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，0)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，).當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<f(0)0，即1x<ex.令x，得1<e，即<e.(2)解1·112；·2·2(21)232；·32·3(31)343.由此推測：(n1)n.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.()當(dāng)n1時(shí)，左邊右邊2，成立.()假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)，成立，即(k1)k.當(dāng)nk1時(shí)，bk1(k1)ak1，由歸納假設(shè)可得·(k1)k(k1)(k2)k1.所以當(dāng)nk1時(shí)，也成立.根據(jù)()()，可知對一切正整數(shù)n都成立.(3)證明由cn的定義，均值不等式(推廣)，bn的定義及得Tnc1c2c3cn(a1)(a1a2)(a1a2a3)(a1a2an)b1b2bn·b1b2bn<a1a2an<ea1ea2eaneSn.即Tn<eSn.9