第七章 立體幾何第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖與直觀圖1簡單幾何體(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且相等多邊形互相平行側(cè)棱平行且相等相交于一點，但不一定相等延長線交于一點側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點延長線交于一點軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)2直觀圖(1)畫法：常用斜二測畫法(2)規(guī)則：原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸、y軸的夾角為45°(或135°)，z軸與x軸和y軸所在平面垂直原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?三視圖(1)幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線(2)三視圖的畫法基本要求：長對正，高平齊，寬相等畫法規(guī)則：正側(cè)一樣高，正俯一樣長，側(cè)俯一樣寬；看不到的線畫虛線小題體驗1若一個三棱柱的三視圖如圖所示，其俯視圖為正三角形，則這個三棱柱的高和底面邊長分別為()A2,2B2，2C4,2 D2,4解析：選D由三視圖可知，正三棱柱的高為2，底面正三角形的高為2，故底面邊長為4，故選D.2(教材習(xí)題改編)如圖，長方體ABCD ­ABCD被截去一部分，其中EHAD，則剩下的幾何體是_，截去的幾何體是_答案：五棱柱三棱柱1臺體可以看成是由錐體截得的，易忽視截面與底面平行且側(cè)棱延長后必交于一點2空間幾何體不同放置時其三視圖不一定相同3對于簡單組合體，若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，易忽視實虛線的畫法小題糾偏1.如圖，能推斷這個幾何體可能是三棱臺的是()AA1B12，AB3，B1C13，BC4BA1B11, AB2，B1C1，BC3，A1C12，AC3CA1B11，AB2，B1C1，BC3，A1C12，AC4DABA1B1，BCB1C1，CAC1A1解析：選C根據(jù)棱臺是由棱錐截成的，可知，故A，B不正確，C正確；D項中滿足這個條件的是一個三棱柱，不是三棱臺，故D不正確2用一個平行于水平面的平面去截球，得到如圖所示的幾何體，則它的俯視圖是()解析：選B俯視圖中顯然應(yīng)有一個被遮擋的圓，所以內(nèi)圓是虛線，故選B.3(教材習(xí)題改編)利用斜二測畫法得到的三角形的直觀圖一定是三角形；正方形的直觀圖一定是菱形；等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形；菱形的直觀圖一定是菱形以上結(jié)論正確的個數(shù)是_解析：由斜二測畫法的規(guī)則可知正確；錯誤，是一般的平行四邊形；錯誤，等腰梯形的直觀圖不可能是平行四邊形；而菱形的直觀圖也不一定是菱形，也錯誤答案：1題組練透1用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓面，則這個幾何體一定是()A圓柱B圓錐C球體 D圓柱、圓錐、球體的組合體解析：選C截面是任意的且都是圓面，則該幾何體為球體2給出下列幾個命題：在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；底面為正多邊形，且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等其中正確命題的個數(shù)是()A0B1C2 D3解析：選B不一定，只有這兩點的連線平行于軸時才是母線；正確；錯誤，棱臺的上、下底面是相似且對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點，但是側(cè)棱長不一定相等3給出下列命題：棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個側(cè)面也兩兩垂直；在四棱柱中，若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；存在每個面都是直角三角形的四面體其中正確命題的序號是_解析：不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個側(cè)面構(gòu)成的三個平面的二面角都是直二面角；正確，因為兩個過相對側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；正確，如圖，正方體ABCD­A1B1C1D1中的三棱錐C1­ABC，四個面都是直角三角形答案：謹記通法解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問題的3個技巧(1)把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，要多觀察實物，提高空間想象能力；(2)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型；(3)通過反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析典例引領(lǐng)1(2018·東北四市聯(lián)考)如圖，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，P是線段CD的中點，則三棱錐P­A1B1A的側(cè)視圖為()解析：選D如圖，畫出原正方體的側(cè)視圖，顯然對于三棱錐P­A1B1A，B(C)點均消失了，其余各點均在，從而其側(cè)視圖為D.2(2018·杭州模擬)已知三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的正三角形，那么該三棱錐的側(cè)視圖可能為()解析：選B由正視圖可看出長為2的側(cè)棱垂直于底面，側(cè)視圖為直角三角形，直角邊長為2，另一直角邊為底邊三角形的高.故側(cè)視圖可能為B.由題悟法1已知幾何體，識別三視圖的技巧已知幾何體畫三視圖時，可先找出各個頂點在投影面上的投影，然后再確定線在投影面上的實虛2已知三視圖，判斷幾何體的技巧(1)對柱、錐、臺、球的三視圖要熟悉(2)明確三視圖的形成原理，并能結(jié)合空間想象將三視圖還原為直觀圖(3)遵循“長對正、高平齊、寬相等”的原則提醒對于簡單組合體的三視圖，應(yīng)注意它們的交線的位置，區(qū)分好實線和虛線的不同即時應(yīng)用1(2018·沈陽教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測)“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何體它由完全相同的四個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時，它的俯視圖可能是()解析：選B根據(jù)直觀圖以及圖中的輔助四邊形分析可知，當(dāng)正視圖和側(cè)視圖完全相同時，俯視圖為B，故選B.2一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是()解析：選D由俯視圖是圓環(huán)可排除A、B、C，進一步將已知三視圖還原為幾何體，可得選項D.典例引領(lǐng)(2018·杭州模擬)在等腰梯形ABCD中，上底CD1，腰ADCB，下底AB3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖ABCD的面積為_解析：畫出等腰梯形ABCD的實際圖形及直觀圖ABCD如圖所示，因為OE1，所以O(shè)E，EF.所以直觀圖ABCD的面積為S×(13)×.答案：由題悟法原圖與直觀圖中的“三變”與“三不變”(1)“三變”(2)“三不變”即時應(yīng)用如圖，矩形OABC是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中OA6 cm，OC2 cm，則原圖形是()A正方形B矩形C菱形 D一般的平行四邊形解析：選C如圖，在原圖形OABC中，應(yīng)有OD2OD2×24 cm，CDCD2 cm.OC6 cm，OAOC，故四邊形OABC是菱形一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1某幾何體的正視圖和側(cè)視圖完全相同，均如圖所示，則該幾何體的俯視圖一定不可能是()解析：選D幾何體的正視圖和側(cè)視圖完全一樣，則幾何體從正面看和側(cè)面看的長度相等，只有等邊三角形不可能2下列說法正確的是()A棱柱的兩個底面是全等的正多邊形B平行于棱柱側(cè)棱的截面是矩形C直棱柱正棱柱D正四面體正三棱錐解析：選D因為選項A中兩個底面全等，但不一定是正多邊形；選項B中一般的棱柱不能保證側(cè)棱與底面垂直，即截面是平行四邊形，但不一定是矩形；選項C中正棱柱直棱柱，故A、B、C都錯；選項D中，正四面體是各條棱均相等的正三棱錐，故正確3某幾何體的三視圖如圖所示，那么這個幾何體是()A三棱錐B四棱錐C四棱臺 D三棱臺解析：選A因為正視圖和側(cè)視圖都為三角形，可知幾何體為錐體，又因為俯視圖為三角形，故該幾何體為三棱錐4.在如圖所示的直觀圖中，四邊形OABC為菱形且邊長為2 cm，則在直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCO的形狀為_，面積為_cm2.解析：由斜二測畫法的特點知該平面圖形是一個長為4 cm，寬為2 cm的矩形，所以四邊形ABCO的面積為8 cm2.答案：矩形85.已知某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖和側(cè)視圖都是矩形，俯視圖是正方形，在該幾何體上任意選擇4個頂點，以這4個點為頂點的幾何體的形狀給出下列命題：矩形；有三個面為直角三角形，有一個面為等腰三角形的四面體；兩個面都是等腰直角三角形的四面體其中正確命題的序號是_解析：由三視圖可知，該幾何體是正四棱柱，作出其直觀圖，ABCD­A1B1C1D1，如圖，當(dāng)選擇的4個點是B1，B，C，C1時，可知正確；當(dāng)選擇的4個點是B，A，B1，C時，可知正確；易知不正確答案：二保高考，全練題型做到高考達標(biāo)1(2018·臺州模擬)一個簡單幾何體的正視圖、俯視圖如圖所示，則其側(cè)視圖不可能為()A正方形 B圓C等腰三角形 D直角梯形解析：選D該幾何體是一個長方體時，其中一個側(cè)面為正方形，A可能；該幾何體是一個橫放的圓柱時，B可能；該幾何體是橫放的三棱柱時，C可能，只有D不可能2如圖所示是水平放置三角形的直觀圖，點D是ABC的BC邊中點，AB，BC分別與y軸、x軸平行，則三條線段AB，AD，AC中()A最長的是AB，最短的是ACB最長的是AC，最短的是ABC最長的是AB，最短的是ADD最長的是AC，最短的是AD解析：選B由條件知，原平面圖形中ABBC，從而ABADAC.3(2018·沈陽教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測)如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個凸多面體的三視圖(兩個矩形，一個直角三角形)，則這個幾何體可能為()A三棱臺 B三棱柱C四棱柱 D四棱錐解析：選B根據(jù)三視圖的法則：長對正，高平齊，寬相等，可得幾何體如圖所示，這是一個三棱柱4.(2018·溫州第八高中質(zhì)檢)如圖，水平放置的三棱柱的側(cè)棱長和底邊長均為2，且側(cè)棱AA1平面A1B1C1，正視圖是邊長為2的正方形，該三棱柱的側(cè)視圖面積為()A4B2C2 D.解析：選B由題可得，該幾何體的側(cè)視圖是一個長方形，其底邊長是底面正三角形的高，高為2，所以側(cè)視圖的面積為S2.5已知四棱錐P­ABCD的三視圖如圖所示，則四棱錐P­ABCD的四個側(cè)面中面積最大的是()A3 B2C6 D8解析：選C四棱錐如圖所示，取AD的中點N，BC的中點M，連接PM，PN，則PM3，PN，SPAD×4×2，SPABSPDC×2×33，SPBC×4×36.所以四個側(cè)面中面積最大的是6.6.(2018·臺州模擬)如圖所示，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，點E為棱BB1的中點，若用過點A，E，C1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的側(cè)視圖為()解析：選C取DD1的中點F，連接AF，F(xiàn)C1，則過點A，E，C1的平面即為面AEC1F，所以剩余幾何體的側(cè)視圖為選項C.7設(shè)有以下四個命題：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；底面是矩形的平行六面體是長方體；直四棱柱是直平行六面體；棱臺的相對側(cè)棱延長后必交于一點其中真命題的序號是_解析：命題符合平行六面體的定義，故命題是正確的；底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱可能與底面不垂直，故命題是錯誤的；因為直四棱柱的底面不一定是平行四邊形，故命題是錯誤的；命題由棱臺的定義知是正確的答案：8一個圓臺上、下底面的半徑分別為3 cm和8 cm，若兩底面圓心的連線長為12 cm，則這個圓臺的母線長為_cm.解析：如圖，過點A作ACOB，交OB于點C.在RtABC中，AC12 cm，BC835 (cm)AB13(cm)答案：139已知正三角形ABC的邊長為2，那么ABC的直觀圖ABC的面積為_解析：如圖，圖、圖所示的分別是實際圖形和直觀圖從圖可知，ABAB2，OCOC，CDOCsin 45°×.所以SABCAB·CD×2×.答案：10已知正三棱錐V ­ABC的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖如圖所示(1)畫出該三棱錐的直觀圖；(2)求出側(cè)視圖的面積解：(1)直觀圖如圖所示(2)根據(jù)三視圖間的關(guān)系可得BC2，側(cè)視圖中VA 2，SVBC×2×26.三上臺階，自主選做志在沖刺名校1用若干塊相同的小正方體搭成一個幾何體，該幾何體的三視圖如圖所示，則搭成該幾何體需要的小正方體的塊數(shù)是()A8 B7C6 D5解析：選C畫出直觀圖，共六塊2(2018·湖南東部六校聯(lián)考)某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的四個面的面積中，最大的面積是()A4 B8C4 D8解析：選C設(shè)該三棱錐為P­ABC，其中PA平面ABC，PA4，則由三視圖可知ABC是邊長為4的等邊三角形，故PBPC4，所以SABC×4×24，SPABSPAC×4×48，SPBC×4×4，故四個面中面積最大的為SPBC4，選C.3.如圖，在四棱錐P­ABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直，下圖為該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖，它們是腰長為6 cm 的全等的等腰直角三角形(1)根據(jù)圖中所給的正視圖、側(cè)視圖，畫出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖的面積；(2)求PA.解：(1)該四棱錐的俯視圖為(內(nèi)含對角線)邊長為6 cm的正方形，如圖，其面積為36 cm2.(2)由側(cè)視圖可求得PD6.由正視圖可知AD6，且ADPD，所以在RtAPD中，PA 6 cm.第二節(jié)空間幾何體的表面積與體積1圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)2rlS圓錐側(cè)rlS圓臺側(cè)(rr)l2空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積S側(cè)2S底VSh錐體(棱錐和圓錐)S表面積S側(cè)S底VSh臺體(棱臺和圓臺)S表面積S側(cè)S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3小題體驗1如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A20B24C28D32解析：選C由三視圖知該幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓柱底面圓半徑為r，周長為c，圓錐母線長為l，圓柱高為h.由圖得r2，c2r4，h4，由勾股定理得：l4，S表r2chcl416828.2(教材習(xí)題改編)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_解析：由三視圖可知，該幾何體是一個直三棱柱，其底面為側(cè)視圖，該側(cè)視圖是底邊為2，高為的三角形，正視圖的長為三棱柱的高，故h3，所以該幾何體的體積VS·h×33.答案：33若球O的表面積為4，則該球的體積為_解析：由題可得，設(shè)該球的半徑為r，則其表面積為S4r24，解得r1.所以其體積為Vr3.答案：1求組合體的表面積時，組合體的銜接部分的面積問題易出錯2由三視圖計算幾何體的表面積與體積時，由于幾何體的還原不準(zhǔn)確及幾何體的結(jié)構(gòu)特征認識不準(zhǔn)易導(dǎo)致失誤3易混側(cè)面積與表面積的概念小題糾偏1(教材習(xí)題改編)圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的體積與圓柱體積之比為_，球的表面積與圓柱的側(cè)面積之比為_答案：23112若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的表面積是_解析：由三視圖可知，該幾何體由一個正四棱柱和一個棱臺組成，其表面積S3×4×22×2×24×2×24×6×(26)×2×27216.答案：7216題組練透1.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于()A82B112C142D15解析：選B由三視圖知，該幾何體是一個直四棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖所示直角梯形斜腰長為，所以底面周長為4，側(cè)面積為2×(4)82，兩底面的面積和為2××1×(12)3，所以該幾何體的表面積為823112.2(2018·浙江新高考聯(lián)盟高三期初聯(lián)考)如圖是某四棱錐的三視圖，則該幾何體的表面積等于()A346B4412C346 D326解析：選A由三視圖知幾何體底面是一個長為6，寬為2的矩形，高為4的四棱錐，所以該幾何體的表面積為×6×2×6×42××2×56×2346，故選A.3如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線是一個棱錐的三視圖，則該棱錐的表面積為()A642 B84C66 D624解析：選A由三視圖可知該棱錐為如圖所示的四棱錐P­ABCD，SPABSPADSPDC×2×22，SPBC×2×2×sin 60°2，S四邊形ABCD2×24，故該棱錐的表面積為642.謹記通法幾何體的表面積的求法(1)求表面積問題的思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要出發(fā)點(2)求不規(guī)則幾何體的表面積時，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺體，先求這些柱、錐、臺體的表面積，再通過求和或作差求得幾何體的表面積注意銜接部分的處理典例引領(lǐng)1(2018·金華高三期末考試)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A. B.C. D.解析：選D由三視圖可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐，其直觀圖如圖所示底面ABCD的面積為2×24，高PO，故該幾何體的體積V×4×.2(2018·寧波十校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于_，表面積等于_解析：如圖，由三視圖可知該幾何體是底面半徑為2，高為3的圓柱的一半，故該幾何體的體積為××22×36，表面積為2×××224×3×2×31012.答案：61210由題悟法有關(guān)幾何體體積的類型及解題策略常見類型解題策略球的體積問題直接利用球的體積公式求解，在實際問題中要根據(jù)題意作出圖形，構(gòu)造直角三角形確定球的半徑錐體、柱體的體積問題根據(jù)題設(shè)條件求出所給幾何體的底面積和高，直接套用公式求解以三視圖為載體的幾何體體積問題將三視圖還原為幾何體，利用空間幾何體的體積公式求解不規(guī)則幾何體的體積問題常用分割或補形的思想，若幾何體的底不規(guī)則，也需采用同樣的方法，將不規(guī)則的幾何體或平面圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體或平面圖形，易于求解即時應(yīng)用1(2018·西安質(zhì)檢)某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為()A. BC. D3解析：選A根據(jù)幾何體的三視圖，得該幾何體是下部為直三棱柱，上部為三棱錐的組合體，如圖所示則該幾何體的體積是V幾何體V三棱柱V三棱錐×2×1×1××2×1×1.2(2018·杭州高級中學(xué)模擬)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A1 BC. D.解析：選C由題可得，該幾何體是一個四棱錐，底面是上下底邊分別為1和2，高為1的直角梯形，又四棱錐的高為1.所以該幾何體的體積為V××(12)×1×1.3.(2018·溫州高三一模)如圖，一個簡單幾何體的三視圖的正視圖與側(cè)視圖都是邊長為1的正三角形，其俯視圖的輪廓為正方形，則該幾何體的體積為_，表面積為_解析：如圖，還原三視圖為正四棱錐，易得正四棱錐的高為，底面積為1，體積V×1×；易得正四棱錐側(cè)面的高為1，所以表面積S4××1×113.答案：3鎖定考向與球相關(guān)的切、接問題是高考命題的熱點，也是考生的難點、易失分點，命題角度多變常見的命題角度有：(1)球與柱體的切、接問題；(2)球與錐體的切、接問題 題點全練角度一：球與柱體的切、接問題1已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，則球O的半徑為()A.B2C. D3解析：選C如圖，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半徑ROA .2.如圖，已知球O是棱長為1的正方體ABCD­A1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面ACD1截球O的截面面積為()A.B.C. D.解析：選C平面ACD1截球O的截面為ACD1的內(nèi)切圓因為正方體的棱長為1，所以ACCD1AD1，所以內(nèi)切圓的半徑r×tan 30°，所以Sr2×.角度二：球與錐體的切、接問題3(2018·紹興質(zhì)檢)四棱錐P­ABCD的底面ABCD是邊長為6的正方形，且PAPBPCPD，若一個半徑為1的球與此四棱錐所有面都相切，則該四棱錐的高是()A6 B5C. D.解析：選D過點P作PH平面ABCD于點H.由題知，四棱錐P­ABCD是正四棱錐，內(nèi)切球的球心O應(yīng)在四棱錐的高PH上過正四棱錐的高作組合體的軸截面如圖，其中PE，PF是斜高，M為球面與側(cè)面的一個切點設(shè)PHh，易知RtPMORtPHF，所以，即，解得h.4(2017·全國卷)已知三棱錐S ­ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱錐S ­ABC的體積為9，則球O的表面積為_解析：如圖，連接AO，OB，SC為球O的直徑，點O為SC的中點，SAAC，SBBC，AOSC，BOSC，平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，AO平面SCB，設(shè)球O的半徑為R，則OAOBR，SC2R.VS ­ABCVA­SBC×SSBC×AO××AO，即9××R，解得 R3，球O的表面積為S4R24×3236.答案：36通法在握解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題的思維流程是：演練沖關(guān)1一個六棱柱的底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為1，頂點都在同一個球面上，則該球的體積為()A20 B.C5 D.解析：選D由題意知六棱柱的底面正六邊形的外接圓半徑r1，其高h1，球半徑為R，該球的體積VR3×3.2(2018·鎮(zhèn)海期中)一個棱長為6的正四面體紙盒內(nèi)放一個正方體，若正方體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則正方體體積的最大值為_解析：由題可得，要使正方體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則只需該正方體在正四面體的內(nèi)接球內(nèi)即可因為正四面體的棱長為6，所以其底面正三角形的高為3，正四面體的高為2，則該正四面體的內(nèi)球的半徑為，設(shè)該正方體的邊長為a，要滿足條件，則a，即a.所以正方體的最大體積為Va32.答案：2一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1(2018·浙江名校聯(lián)考)“某幾何體的三視圖完全相同”是“該幾何體為球”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選B由題可得，球的三個視圖都是圓，所以三視圖完全相同；三視圖完全相同的幾何體除了球，還有正方體，所以是必要不充分條件2(2018·長興中學(xué)適應(yīng)性測試)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A64 B72C80 D112解析：選C由題可得，該幾何體是一個棱長為4的正方體與一個底面是邊長為4的正方形，高為3的四棱錐的組合體，所以其體積為V43×42×380.3如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑若該幾何體的體積是，則它的表面積是()A17 B18C20 D28解析：選A由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個球體去掉上半球的，得到的幾何體如圖設(shè)球的半徑為R，則R3×R3，解得R2.因此它的表面積為×4R2R217.故選A.4(2018·嘉興模擬)如圖是一個幾何體的三視圖，若它的體積是3，則a_，該幾何體的表面積為_解析：由題可得，該幾何體是一個水平放置的三棱柱，其底面是一個底邊長為2、高為a的等腰三角形，高為3.因為其體積為3，所以V×2a×33a3，解得a.所以該幾何體的表面積為S2××2×2×3×3218.答案：2185(2018·麗水模擬)若三棱錐P­ABC的最長的棱PA2，且各面均為直角三角形，則此三棱錐的外接球的體積是_，表面積是_解析：如圖，根據(jù)題意，可把該三棱錐補成長方體，則該三棱錐的外接球即該長方體的外接球，易得外接球的半徑RPA1，所以該三棱錐的外接球的體積V××13，表面積S4R24.答案：4二保高考，全練題型做到高考達標(biāo)1圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側(cè)面積為84，則圓臺較小底面的半徑為()A7B6C5 D3解析：選A設(shè)圓臺較小底面半徑為r，則另一底面半徑為3r.由S(r3r)·384，解得r7.2一個六棱錐的體積為2，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為()A6 B8C12 D24解析：選C由題意可知該六棱錐為正六棱錐，正六棱錐的高為h，側(cè)面的斜高為h.由題意，得×6××22×h2，h1，斜高h2，S側(cè)6××2×212.故選C.3(2018·溫州十校聯(lián)考)已知某個幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸，可得這個幾何體的體積是()A4 B.C8 D. 解析：選B由題可得，該幾何體是一個底面為長方形的四棱錐，所以其體積為V×4×2×2.4(2018·蘭州實戰(zhàn)考試)一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為1的兩個等腰直角三角形，則該幾何體外接球的體積為()A. B.C3 D3解析：選A由題意得，該幾何體為四棱錐，且該四棱錐的外接球即為棱長為1的正方體的外接球，其半徑為，故體積為3，故選A.5(2018·寧波十校聯(lián)考)如圖，某多面體的三視圖中正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的外輪廓分別為直角三角形、直角梯形和直角三角形，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為()A2 B.C2 D. 解析：選C由題可得，該幾何體是水平放置的四棱錐，其底面是一個直角梯形所以其最長的棱的長度為2.6(2018·衢州調(diào)研)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積是_；表面積是_解析：該幾何體是一個三棱錐，其高為2，其底面是一個等腰直角三角形，腰長為，所以其體積為V××()2×2，表面積為S×2××()2×2×2××3.答案：37(2018·杭州模擬)已知矩形ABCD的頂點都在半徑為4的球O的球面上，且AB3，BC2，則棱錐O­ABCD的體積為_解析：依題意得，球心O在底面ABCD上的射影是矩形ABCD的中心，因此棱錐O­ABCD的高等于，所以棱錐O­ABCD的體積等于×3×2×.答案：8.已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是_解析：由正視圖知三棱錐的形狀如圖所示，且ABADBCCD2，BD2，設(shè)O為BD的中點，連接OA，OC，則OABD，OCBD，結(jié)合正視圖可知AO平面BCD.又OC1，V三棱錐A­BCD××1.答案：9(2018·武漢調(diào)研)已知正四棱錐的頂點都在同一球面上，且該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為_解析：如圖，正四棱錐P­ABCD的外接球的球心O在它的高PO1上，設(shè)球的半徑為R，因為底面邊長為2，所以AC4.在RtAOO1中，R2(4R)222，所以R，所以球的表面積S4R225.答案：2510.如圖，在四邊形ABCD中，DAB90°，ADC135°，AB5，CD2，AD2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積解：由已知得：CE2，DE2，CB5，S表面S圓臺側(cè)S圓臺下底S圓錐側(cè)(25)×5×25×2×2(604)，VV圓臺V圓錐(·22·52)×4×22×2.三上臺階，自主選做志在沖刺名校1(2018·廣西質(zhì)檢)高為4的直三棱柱被削去一部分后得到一個幾何體，它的直觀圖和三視圖中的側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，則該幾何體的體積與原直三棱柱的體積的比值為()A. B.C. D.解析：選C由側(cè)視圖、俯視圖知該幾何體是高為2、底面積為×2×(24)6的四棱錐，其體積為4.易知直三棱柱的體積為8，則該幾何體的體積與原直三棱柱的體積的比值為，故選C.2如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，點E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點，將ABE，ECF，F(xiàn)DA分別沿AE，EF，F(xiàn)A折起，使B，C，D三點重合于點P，若四面體PAEF的四個頂點在同一個球面上，則該球的表面積是()A6 B12C18 D9解析：選C因為APEEPFAPF90°，所以可將四面體補成一個長方體(PA，PE，PF是從同一頂點出發(fā)的三條棱)，則四面體和補全的長方體有相同的外接球，設(shè)其半徑為R，由題意知2R3，故該球的表面積S4R24218.3已知A，B，C是球O的球面上三點，且ABAC3，BC3，D為該球面上的動點，球心O到平面ABC的距離為球半徑的一半，求三棱錐D ­ABC體積的最大值解：如圖，在ABC中，ABAC3，BC3，由余弦定理可得cos A，sin A.設(shè)ABC外接圓O的半徑為r，則2r，得r3.設(shè)球的半徑為R，連接OO，BO，OB，則R2232，解得R2.由圖可知，當(dāng)點D到平面ABC的距離為R時，三棱錐D ­ABC的體積最大，SABC×3×3×，三棱錐D ­ABC體積的最大值為××3.第三節(jié)空間點、線、面之間的位置關(guān)系1平面的基本性質(zhì)(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)(2)公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線2空間中兩直線的位置關(guān)系(1)空間中兩直線的位置關(guān)系(2)異面直線所成的角定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線aa，bb，把a與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)范圍：.(3)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行(4)定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補3空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)直線與平面的位置關(guān)系有相交、平行、在平面內(nèi)三種情況(2)平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況小題體驗1下列說法正確的是()A若a，b，則a與b是異面直線B若a與b異面，b與c異面，則a與c異面C若a，b不同在平面內(nèi)，則a與b異面D若a，b不同在任何一個平面內(nèi)，則a與b異面答案：D2(教材習(xí)題改編)設(shè)P表示一個點，a，b表示兩條直線，表示兩個平面，給出下列四個命題，其中正確的命題是_Pa，Pa；abP，ba；ab，a，Pb，Pb；b，P，PPb.答案：1異面直線易誤解為“分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”，實質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個平面，因此異面直線既不平行，也不相交2直線與平面的位置關(guān)系在判斷時最易忽視“線在面內(nèi)”3不共線的三點確定一個平面，一定不能丟掉“不共線”條件小題糾偏1(2018·江西七校聯(lián)考)已知直線a和平面，l，a，a，且a在，內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是()A相交或平行B相交或異面C平行或異面 D相交、平行或異面解析：選D依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面2若直線ab，且直線a平面，則直線b與平面的位置關(guān)系是()Ab BbCb或b Db與相交或b或b解析：選Db與相交或b或b都可以3(教材習(xí)題改編)下列命題：經(jīng)過三點確定一個平面；梯形可以確定一個平面；兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合其中正確命題的個數(shù)為()A4 B3C2 D1解析：選D中若三點在一條直線上，則不能確定一個平面；梯形可以確定一個平面；兩兩相交的三條直線最多可以確定四個平面；中這三個公共點可以在這兩個平面的交線上故錯誤的是，正確的是.所以正確命題的個數(shù)為1.典例引領(lǐng)如圖所示，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點證明：(1)如圖，連接EF，A1B，CD1.E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，EFA1B.又A1BCD1，EFCD1，E，C，D1，F(xiàn)四點共面(2)EFCD1，EF<CD1，CE與D1F必相交，設(shè)交點為P，則由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直線DA.CE，D1F，DA三線共點由題悟法1點線共面問題證明的2種方法(1)納入平面法：先確定一個平面，再證有關(guān)點、線在此平面內(nèi)；(2)輔助平面法：先證有關(guān)點、線確定平面，再證其余點、線確定平面，最后證明平面，重合2證明多線共點問題的2個步驟(1)先證其中兩條直線交于一點；(2)再證交點在第三條直線上證交點在第三條直線上時，第三條直線應(yīng)為前兩條直線所在平面的交線，可以利用公理3證明如“本例”中第(2)問即時應(yīng)用 如圖，在四邊形ABCD中，已知ABCD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面相交于點E，G，H，F(xiàn)，求證：E，F(xiàn)，G，H四點必定共線證明：因為ABCD，所以AB，CD確定一個平面.又因為ABE，AB，所以E，E，即E為平面與的一個公共點同理可證F，G，H均為平面與的公共點，因為兩個平面有公共點，它們有且只有一條通過公共點的公共直線，所以E，F(xiàn)，G，H四點必定共線典例引領(lǐng)如圖，在正方體ABCD ­A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結(jié)論：直線AM與CC1是相交直線；直線AM與BN是平行直線；直線BN與MB1是異面直線；直線AM與DD1是異面直線其中正確的結(jié)論的序號為_解析：直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，所以錯誤點B，B1，N在平面BB1C1C中，點M在此平面外，所以BN，MB1是異面直線同理AM，DD1也是異面直線答案：由題悟法即時應(yīng)用1上面例題中正方體ABCD­A1B1C1D1的棱所在直線中與直線AB是異面直線的有_條解析：與AB異面的有4條：CC1，DD1，A1D1，B1C1.答案：42在圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形的是_(填上所有正確答案的序號)解析：圖中，直線GHMN；圖中，G，H，N三點共面，但M平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖中，連接MG，GMHN，因此GH與MN共面；圖中，G，M，N共面，但H平面GMN，因此GH與MN異面所以在圖中，GH與MN異面答案：典例引領(lǐng)(2017·全國卷)已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，ABC120°，AB2，BCCC11，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A.B.C. D.解析：選C如圖所示，將直三棱柱ABC­A1B1C1補成直四棱柱ABCD­A1B1C1D1，連接AD1，B1D1，則AD1BC1，所以B1AD1或其補角為異面直線AB1與BC1所成的角因為ABC120°，AB2，BCCC11，所以AB1，AD1.在B1D1C1中，B1C1D160°，B1C11，D1C12，所以B1D1，所以cosB1AD1.由題悟法1用平移法求異面直線所成的角的3步驟(1)一作：即據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：即證明作出的角是異面直線所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角2有關(guān)平移的3種技巧求異面直線所成的角的方法為平移法，平移的方法一般有3種類型：(1)利用圖形中已有的平行線平移；(2)利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；(3)補形平移計算異面直線所成的角通常放在三角形中進行即時應(yīng)用如圖所示，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，(1)求AC與A1D所成角的大??；(2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，求A1C1與EF所成角的大小解：(1)連接B1C，AB1，由ABCD­A1B1C1D1是正方體，易知A1DB1C，從而B1C與AC所成的角就是AC與A1D所成的角AB1ACB1C，B1CA60°.即A1D與AC所成的角為60°.(2)連接BD，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，ACBD，ACA1C1，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，EFBD，EFAC.EFA1C1.即A1C1與EF所成的角為90°.一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1“點P在直線m上，m在平面內(nèi)”可表示為()APm，mBPm，mCPm，m DPm，m解析：選B點在直線上用“”，直線在平面上用“”，故選B.2(2018·平陽期末)已知a，b是異面直線，直線c直線a，那么c與b()A一定是異面直線 B一定是相交直線C不可能是平行直線 D不可能是相交直線解析：選C由平行直線公理可知，若cb，則ab，與a，b是異面直線矛盾所以c與b不可能是平行直線3空間四邊形兩對角線的長分別為6和8，所成的角為45°，連接各邊中點所得四邊形的面積是()A6 B12C12 D24解析：選A如圖，已知空間四邊形ABCD，設(shè)對角線AC6，BD8，易證四邊形EFGH為平行四邊形，EFG或FGH為AC與BD所成的45°角，故S四邊形EFGH3×4·sin 45°6，故選A.4.如圖所示，平行六面體ABCD ­A1B1C1D1中，既與AB共面又與CC1共面的棱有_條；與AB異面的棱有_條解析：依題意，與AB和CC1都相交的棱有BC；與AB相交且與CC1平行有棱AA1，BB1；與AB平行且與CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合條件的有5條與AB異面的棱有CC1，DD1，B1C1，A1D1，共4條答案：545.如圖，在三棱錐A­BCD中，ABACBDCD3，ADBC2，點M，N分別為AD，BC的中點，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是_解析：如圖所示，連接DN，取線段DN的中點K，連接MK，CK.M為AD的中點，MKAN，KMC為異面直線AN，CM所成的角ABACBDCD3，ADBC2，N為BC的中點，由勾股定理易求得ANDNCM2，MK.在RtCKN中，CK .在CKM中，由余弦定理，得cosKMC.答案：二保高考，全練題型做到高考達標(biāo)1已知A，B，C，D是空間四點，命題甲：A，B，C，D四點不共面，命題乙：直線AC和BD不相交，則甲是乙成立的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A若A，B，C，D四點不共面，則直線AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直線AC和BD不相交，若直線AC和BD平行時，A，B，C，D四點共面，所以甲是乙成立的充分不必要條件2(2018·寧波模擬)如圖，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，則下列說法錯誤的是()AMN與CC1垂直 BMN與AC垂直CMN與BD平行 DMN與A1B1平行解析：選D如圖，連接C1D，在C1DB中，MNBD，故C正確；因為CC1平面ABCD，所以CC1BD，所以MN與CC1垂直，故A正確；因為ACBD，MNBD，所以MN與AC垂直，故B正確；因為A1B1與BD異面，MNBD，所以MN與A1B1不可能平行，故D錯誤3下列命題中，真命題的個數(shù)為()如果兩個平面有三個不在一條直線上的公共點，那么這兩個平面重合；兩條直線可以確定一個平面；空間中，相交于同一點的三條直線在同一平面內(nèi)；若M，M，l，則Ml.A1 B2C3 D4解析：選B根據(jù)公理2，可判斷是真命題；兩條異面直線不能確定一個平面，故是假命題；在空間，相交于同一點的三條直線不一定共面(如墻角)，故是假命題；根據(jù)平面的性質(zhì)可知是真命題綜上，真命題的個數(shù)為2.4.如圖，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，M為棱D1C1的中點設(shè)AM與平面BB1D1D的交點為O，則()A三點D1，O，B共線，且OB2OD1B三點D1，O，B不共線，且OB2OD1C三點D1，O，B共線，且OBOD1D三點D1，O，B不共線，且OBOD1解析：選A連接A1M與B1D1交于點H，連接OH.因為MD1H與A1B1H相似，所以.因為OHA1A，所以，所以O(shè)HAA1，所以O(shè)HB1B，且OHBB1，所以由三角形相似可知，D1，O，B三點共線，且OB2OD1.5已知正方體ABCD­A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是A1D1，A1C1的中點，則異面直線AE和CF所成的角的余弦值為()A. BC. D.解析：選C如圖，設(shè)正方體的棱長為a，取線段AB的中點M，連接CM，MF，EF.則MF綊AE，所以CFM即為所求角或所求角的補角在CFM中，MFCMa，CFa，根據(jù)余弦定理可得cosCFM，所以可得異面直線AE與CF所成的角的余弦值為.故選C.6如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的對數(shù)為_