2022-2023學年高二數(shù)學上學期期末考試試卷 理(平行班，含解析)一、選擇題（每小題5分，共60分）1.用反證法證明某命題時，對結(jié)論：“自然數(shù)，中至少有一個偶數(shù)”正確的反設為（ ）A.，都是奇數(shù) B.，都是偶數(shù)C.，中至少有兩個偶數(shù) D.，中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)【答案】D【解析】結(jié)論：“自然數(shù)中恰有一個偶數(shù)”的反面為恰有兩個偶數(shù)或恰有三個偶數(shù)或恰沒有偶數(shù),因此選D.2.下列導數(shù)運算正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的求導公式和運算法則，逐一檢驗即可.【詳解】由求導公式知 故A錯誤，故C錯誤，故D錯誤，B選項正確，故選B.【點睛】本題主要考查了常見函數(shù)的求導公式，屬于容易題.3.用數(shù)學歸納法證明等式時，第一步驗證時，左邊應取的項是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)所給式子可知左邊為，可知正確選項.【詳解】當時，左邊應為，即，故選D.【點睛】本題主要考查了數(shù)學歸納法及歸納推理的能力，屬于容易題.4.向如下圖所示的容器中勻速注水時，容器中水面高度隨時間變化的大致圖像是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】因為容器中間凸，所以勻速注水時，開始和結(jié)束時水位高度變化快中間時水位高度變化慢，可知選C.【詳解】結(jié)合容器的形狀，可知一開始注水時，水高度變化較快當水位接近中部時變慢并持續(xù)一段時間，接近上部時，水位高度變快，故選C.【點睛】本題主要考查了對函數(shù)概念的理解及函數(shù)圖象的認識，結(jié)合生活實踐，屬于中檔題.5.若雙曲線的一條漸近線方程為則此雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】試題分析：由條件知，所以，所以選C.考點：雙曲線的幾何性質(zhì).6.若平面與的法向量分別是，則平面與的位置關(guān)系是（ ）A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 無法確定【答案】B【解析】【分析】根據(jù)所給向量可知其數(shù)量積為零，故知兩向量垂直.【詳解】因為，所以，所以兩平面垂直.【點睛】本題主要考查了平面的法向量，向量的數(shù)量積，利用法向量判斷平面的位置關(guān)系，屬于中檔題.7.已知的頂點，在橢圓上，頂點是橢圓的一個焦點，且橢圓的另一個焦點在邊上，則的周長是（ ）A. 8 B. 12 C. D. 16【答案】D【解析】ABC的頂點B，C在橢圓上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另一個焦點在BC上，由橢圓的定義可得：ABC的周長是4a=4×4=16故答案為：C。8.下列選敘述錯誤的是（ ）A. 命題“若，則”的逆否命題是“若，則”B. 若“或”為真命題，則，均為真命題C. “若，則”的否命題為假命題D. “”是“”的充分不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)四種命題的關(guān)系及且或命題的真假逐一判斷各選項即可.【詳解】由逆否命題概念知A選項正確，根據(jù)或命題真假可知p,q至少一個命題為真，故，均為真命題錯誤，C選項中，原命題的否命題為“若 ”，當時，成立，推不出，命題不成立，是假命題，D選項中能推出成立，推不出，所以“”是“”的充分不必要條件，所以選B.【點睛】本題主要考查了四種命題的關(guān)系，含且或命題的真假，及充分必要條件，屬于中檔題.9.如圖，空間四面體的每條邊都等于1，點，分別是，的中點，則等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】試題分析：空間四面體D一ABC的每條邊都等于1，點E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點 考點：平面向量數(shù)量積的運算10.設為拋物線：的焦點，過作傾斜角為30°的直線交于、兩點，則（ ）A. B. 16 C. 32 D. 【答案】C【解析】【分析】寫出直線方程，聯(lián)立拋物線方程消元，可根據(jù)弦長公式求出弦長.【詳解】由題意知，AB所在直線方程為 ，聯(lián)立消元得，設，則，所以，故選C.【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，弦長公式，屬于中檔題.11.一名法官在審理一起珍寶盜竊案時，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下，甲說：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙說：“我沒有作案，是丙偷的”；丙說：“甲、乙兩人中有一人是小偷”；丁說：“乙說的是事實”。經(jīng)過調(diào)查核實，四人中有兩人說的是真話，另外兩人說的是假話，且這四人中只有一人是罪犯，由此可判斷罪犯是（ ）A. 丁 B. 丙 C. 乙 D. 甲【答案】C【解析】甲乙丙丁甲乙丙丁由四個所說，得上面的表，由于是兩對兩錯，如果乙說的是對的，則甲也對丁也對，不符。所以乙說假話，小偷不是丙。同時丙說的也是假話。即甲、丙說的是真話，小偷是乙，選B.12.如圖，在中，、邊上的高分別為、，則以、為焦點，且過、的橢圓與雙曲線的離心率的倒數(shù)和為（ ）A. B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】若是橢圓，則， ， ，而橢圓的離心率 ，若是雙曲線，則，所以，故選A.二、填空題（每小題5分，共20分）13.已知向量，且，那么等于_【答案】-4【解析】【分析】根據(jù)向量平行，可求出,即可求解.【詳解】 ,即 ，解得 ，.【點睛】本題主要考查了向量平行及向量的坐標運算，屬于中檔題.14.平面內(nèi)動點到點的距離和到直線：的距離相等，則動點的軌跡方程為是_【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線定義知，動點軌跡為拋物線，焦點F,準線為，即可寫出拋物線方程.【詳解】由題意知，該點軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，其中，所以方程為.【點睛】本題主要考查了拋物線的定義，拋物線的標準方程，屬于中檔題.15.四個小動物換座位，開始是鼠、猴、兔、貓分別坐在編號為1，2，3，4的4個位子上（如圖），第一次前后排動物互換座位，第二次左右列動物互換座位，這樣交替進行下去，那么第xx次互換座位后，小兔的座位對應的編號為_【答案】2【解析】【分析】根據(jù)題意，交換的規(guī)律是先前后再左右，由圖可以看出，此交換的周期是4,由此規(guī)律即可求解.【詳解】由圖，經(jīng)過4次交換后，每個小動物又回到了原來的位置，故此變換的規(guī)律是周期為4，因為，所以經(jīng)過xx次互換座位后，小兔對應的是編號2的位置.【點睛】本題主要考查了歸納推理，屬于中檔題.解題的關(guān)鍵是根據(jù)前幾個變換方式歸納出周期為4的規(guī)律，歸納推理的特征是由一些特例得出猜想，由猜想對事物作出判斷.16.已知橢圓：，是橢圓的兩個焦點，是該橢圓上的一個動點，則的范圍為_【答案】【解析】【詳解】由題意，得的左、右焦點分別為，設，則，；又因為01，所以-21，即 范圍為-2,1.【點睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)和平面向量的數(shù)量積運算.三、解答題（共6小題，共70分）17.設命題：方程表示中心在原點，焦點在坐標軸上的雙曲線；命題：存在，使得（1）寫出命題的否定；（2）若“且”為真，求實數(shù)的取值范圍?！敬鸢浮浚?）：對任意的，;（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)命題否定特征即可寫出（2）由題意知p真q假，分別得出相應條件求交集即可.【詳解】（1）：對任意的，（2）因為“且”為真所以真，真又真時， 得真時， 得所以，的取值范圍為【點睛】本題主要考查了存在性命題的否定，且命題的真假，屬于中檔題.18.（1）設，用綜合法證明：；（2）用分析法證明：.【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題目可采用作差法求證（2）用分析法，采用平方的方法可證明【詳解】（1） 而 （2）要證，只需證，即證，只需證，即，而顯然成立，故原不等式得證.【點睛】本題主要考查了證明方法中的綜合法及分析法，屬于中檔題.用分析法證明問題時，注意證明的格式，是從結(jié)論出發(fā)尋求結(jié)論成立的條件.19.如圖，面，面，是的中點，（1）求直線與所成角的大小；（2）求直線與平面所成角的余弦值?！敬鸢浮浚?）90°（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量的夾角計算即可（2）利用直線上的向量與平面的法向量的夾角即可得出.【詳解】如圖，以點為坐標原點，以、所在的直線分別為軸、軸，過點與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系，則， ， ， ，（1）， 所以所以直線與所成角的大小為90°；（2），平面的法向量可取所以,【點睛】本題主要考查了空間直角坐標系，向量的坐標運算，向量的夾角公式，屬于中檔題題.求線面角時，取斜線上任意一向量，求其與平面的法向量的夾角的余弦的絕對值，即為線面角的正弦值.20.（1）已知曲線，求曲線在處的切線方程；（2）已知直線與曲線相切，求的值。【答案】（1） （2）1【解析】【分析】（1）利用導數(shù)幾何意義求斜率即可（2）設切點為，根據(jù)兩函數(shù)在該點導數(shù)相等及該點為公共點列方程組即可求解.【詳解】（1）切點為 又 所以所以切線方程為：（2）設切點為，又所以【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義及切線方程的求法，屬于中檔題.21.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為4的菱形，面，是棱上一點，且，為的一個靠近點的三等分點。（1）求證：面（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值。【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）以，所在的直線分別為軸、軸，建立空間直角坐標系建立空間直角坐標系，求平面BDF的法向量，可證明與CE垂直，從而得證（2）求出兩個平面的法向量，求其夾角余弦值即可得出二面角的余弦值.【詳解】以點為坐標原點，以，所在的直線分別為軸、軸，建立空間直角坐標系如圖。則，（1）設面的法向量為，又，所以 取 得所以 即又面 所以面（2）由（1）面的法向量為又面的法向量可取所以【點睛】本題主要考查了利用空間向量證明直線與平面平行，利用空間向量求兩個平面的二面角，屬于中檔題.利用向量法求二面角時，注意法向量的夾角余弦與二面角余弦的關(guān)系，可能相等，也可能互為相反數(shù).22.已知橢圓以，為焦點，且離心率（1）求橢圓的方程；（2）過點斜率為的直線與橢圓有兩個不同交點、，求的范圍；（3）設橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點分別為、，是否存在直線，滿足（2）中的條件且使得向量與垂直？如果存在，寫出的方程；如果不存在，請說明理由?！敬鸢浮?1)；(2)；(3)答案見解析.【解析】【分析】（1）由題意可得c,根據(jù)離心率可求出,即可寫出方程（2）寫出直線方程，聯(lián)立方程組消元，通過判別式大于0求得k的取值范圍（3）利用向量的坐標，可計算與的數(shù)量積為0時，k不滿足,故不存在.【詳解】（1）設橢圓的長半軸長、短半軸長、半焦距長分別為、由題設知：由，得，則橢圓的方程為（2）過點斜率為的直線：即：與橢圓方程聯(lián)立消得“*”由與橢圓有兩個不同交點知其得或的范圍是（3）設、，則、是“*”的二根則，則則由題設知、，若，須得不存在滿足題設條件的.【點睛】本題主要考查了橢圓的方程、離心率，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于難題.設直線方程時，要考慮斜率存不存在兩種情況，最后還要考慮計算出的k是否符合條件.