11 11.11.1變化率問題變化率問題1 11.21.2導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.2.會求函數(shù)在某一點(diǎn)附近的平均變化率.3.會利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)知識點(diǎn)一函數(shù)的平均變化率假設(shè)如圖是一座山的剖面示意圖， 并建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系A(chǔ)是出發(fā)點(diǎn)，H是山頂 爬山路線用函數(shù)yf(x)表示自變量x表示某旅游者的水平位置，函數(shù)值yf(x)表示此時(shí)旅游者所在的高度設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1，y1)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x2，y2)思考 1若旅游者從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，自變量x和函數(shù)值y的改變量分別是多少？答案自變量x的改變量為x2x1，記作x，函數(shù)值的改變量為y2y1，記作y.思考 2怎樣用數(shù)量刻畫彎曲山路的陡峭程度？答案對山路AB來說，用yxy2y1x2x1可近似地刻畫其陡峭程度梳理函數(shù)yf(x)從x1到x2的平均變化率(1)定義式：yxfx2fx1x2x1.(2)實(shí)質(zhì)：函數(shù)值的增量與自變量的增量之比(3)作用：刻畫函數(shù)值在區(qū)間x1，x2上變化的快慢(4)幾何意義：已知P1(x1，f(x1)，P2(x2，f(x2)是函數(shù)yf(x)的圖象上兩點(diǎn)，則平均變化率yxfx2fx1x2x1表示割線P1P2的斜率知識點(diǎn)二瞬時(shí)速度思考 1物體的路程s與時(shí)間t的關(guān)系是s(t)5t2.試求物體在1,1t這段時(shí)間內(nèi)的平均速度答案s5(1t)2510t5(t)2，vst105t.思考 2當(dāng)t趨近于 0 時(shí)，思考 1 中的平均速度趨近于多少？怎樣理解這一速度？2答案當(dāng)t趨近于 0 時(shí)，st趨近于 10，這時(shí)的平均速度即為當(dāng)t1 時(shí)的瞬時(shí)速度梳理瞬時(shí)速度(1)物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度(2)一般地，設(shè)物體的運(yùn)動規(guī)律是ss(t)，則物體在t0到t0t這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為stst0tst0t.如果t無限趨近于 0 時(shí)，st無限趨近于某個(gè)常數(shù)v，我們就說當(dāng)t趨近于 0 時(shí)，st的極限是v，這時(shí)v就是物體在時(shí)刻tt0時(shí)的瞬時(shí)速度，即瞬時(shí)速度vlimt0stlimt0st0tst0t.知識點(diǎn)三函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時(shí)變化率limx0yxlimx0fx0 xfx0 x，我們稱它為函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)， 記作f(x0)或0|x xy， 即f(x0)limx0yxlimx0fx0 xfx0 x.1在平均變化率中，函數(shù)值的增量為正值()2瞬時(shí)變化率是刻畫某函數(shù)值在區(qū)間x1，x2上變化快慢的物理量()3函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)值與x的正、負(fù)無關(guān)()3類型一函數(shù)的平均變化率命題角度 1求函數(shù)的平均變化率例 1求函數(shù)yf(x)x2在x1,2,3 附近的平均變化率，取x都為13，哪一點(diǎn)附近的平均變化率最大？考點(diǎn)變化問題與變化率題點(diǎn)變化率大小的比較解在x1 附近的平均變化率為k1f1xf1x1x21x2x；在x2 附近的平均變化率為k2f2xf2x2x222x4x；在x3 附近的平均變化率為k3f3xf3x3x232x6x.當(dāng)x13時(shí)，k121373，k2413133，k3613193.由于k1k2k3，所以在x3 附近的平均變化率最大反思與感悟求平均變化率的主要步驟(1)先計(jì)算函數(shù)值的改變量yf(x2)f(x1)(2)再計(jì)算自變量的改變量xx2x1.(3)得平均變化率yxfx2fx1x2x1.跟蹤訓(xùn)練 1(1)已知函數(shù)yf(x)x22x5 的圖象上的一點(diǎn)A(1， 6)及鄰近一點(diǎn)B(1x，6y)，則yx_.(2)如圖所示是函數(shù)yf(x)的圖象， 則函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上的平均變化率為_；4函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上的平均變化率為_考點(diǎn)平均變化率題點(diǎn)函數(shù)的平均變化率答案(1)x(2)1234解析(1)yxf1xf1x1x221x56xx.(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上的平均變化率為f1f11121212.由函數(shù)f(x)的圖象知，f(x)x32，1x1，x1，1v乙Bv甲v乙Cv甲v乙D大小關(guān)系不確定考點(diǎn)平均變化率題點(diǎn)平均變化率的應(yīng)用答案B解析設(shè)直線AC，BC的斜率分別為kAC，kBC，由平均變化率的幾何意義知，s1(t)在0，t0上的平均變化率v甲kAC，s2(t)在0，t0上的平均變化率v乙kBC.因?yàn)閗ACkBC，所以v甲v乙類型二求瞬時(shí)速度例 3某物體的運(yùn)動路程s(單位： m)與時(shí)間t(單位： s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)t2t1 表示，求物體在t1 s 時(shí)的瞬時(shí)速度考點(diǎn)求瞬時(shí)速度題點(diǎn)用極限思想求瞬時(shí)速度解sts1ts1t1t21t11211t3t，limt0stlimt0(3t)3.物體在t1 處的瞬時(shí)變化率為 3.即物體在t1 s 時(shí)的瞬時(shí)速度為 3 m/s.引申探究1若例 3 中的條件不變，試求物體的初速度解求物體的初速度，即求物體在t0 時(shí)的瞬時(shí)速度6sts0ts0t0t20t11t1t，limt0(1t)1.物體在t0 時(shí)的瞬時(shí)變化率為 1，即物體的初速度為 1 m/s.2若例 3 中的條件不變，試問物體在哪一時(shí)刻的瞬時(shí)速度為 9 m/s.解設(shè)物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為 9 m/s.又stst0tst0t(2t01)t.limt0stlimt0(2t01t)2t01.則 2t019，t04.則物體在 4 s 時(shí)的瞬時(shí)速度為 9 m/s.反思與感悟(1)不能將物體的瞬時(shí)速度轉(zhuǎn)化為函數(shù)的瞬時(shí)變化率是導(dǎo)致無從下手解答本類題的常見錯(cuò)誤(2)求運(yùn)動物體瞬時(shí)速度的三個(gè)步驟求時(shí)間改變量t和位移改變量ss(t0t)s(t0)；求平均速度vst；求瞬時(shí)速度， 當(dāng)t無限趨近于0時(shí)，st無限趨近于的常數(shù)v即為瞬時(shí)速度， 即vlimt0st.跟蹤訓(xùn)練 3一質(zhì)點(diǎn)M按運(yùn)動方程s(t)at21 做直線運(yùn)動(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，若質(zhì)點(diǎn)M在t2 s 時(shí)的瞬時(shí)速度為 8 m/s，求常數(shù)a的值考點(diǎn)求瞬時(shí)速度題點(diǎn)瞬時(shí)速度在實(shí)際問題中的應(yīng)用解質(zhì)點(diǎn)M在t2 時(shí)的瞬時(shí)速度即為函數(shù)在t2 處的瞬時(shí)變化率質(zhì)點(diǎn)M在t2 附近的平均變化率為sts2ts2ta2t24at4aat，limt0st4a8，即a2.類型三導(dǎo)數(shù)定義的應(yīng)用7例 4(1)若函數(shù)f(x)可導(dǎo)，則limx0f1xf12x等于()A2f(1)B.12f(1)C12f(1)Df12考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念的簡單應(yīng)用答案C解析limx0f1xf12x12limx0f1xf1x12f(1)(2)求函數(shù)yx1x在x1 處的導(dǎo)數(shù)考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念的簡單應(yīng)用解因?yàn)閥(1x)11x111xx1x，所以yxxx1xx111x.limx0yxlimx0111x2，所以f(1)2，即函數(shù)yx1x在x1 處的導(dǎo)數(shù)為 2.反思與感悟(1)用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的步驟求函數(shù)的增量yf(x0 x)f(x0)；求平均變化率yxfx0 xfx0 x；求極限limx0yx.(2)瞬時(shí)變化率的變形形式8limx0fx0 xfx0 xlimx0fx0 xfx0 xlimx0fx0nxfx0nxlimx0fx0 xfx0 x2xf(x0)9跟蹤訓(xùn)練 4已知f(x)3x2，f(x0)6，求x0.考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)定義的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)定義在函數(shù)中的應(yīng)用解f(x0)limx0fx0 xfx0 xlimx03x0 x23x20 xlimx0(6x03x)6x0，又f(x0)6，6x06，即x01.1設(shè)函數(shù)yf(x)x21，當(dāng)自變量x由 1 變?yōu)?1.1 時(shí)，函數(shù)的平均變化率為()A2.1B1.1C2D0考點(diǎn)平均變化率題點(diǎn)函數(shù)的平均變化率答案A解析yxf1.1f11.110.210.12.1.2物體運(yùn)動方程為s(t)3t2(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，若vlimt0s3ts3t18 m/s，則下列說法中正確的是()A18 m/s 是物體從開始到 3 s 這段時(shí)間內(nèi)的平均速度B18 m/s 是物體從 3 s 到(3t)s 這段時(shí)間內(nèi)的速度C18 m/s 是物體在 3 s 這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度D18 m/s 是物體從 3 s 到(3t)s 這段時(shí)間內(nèi)的平均速度考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)概念的理解答案C3設(shè)函數(shù)f(x)ax3，若f(1)3，則a等于()A2B2C3D3考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)定義的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)定義在函數(shù)中的應(yīng)用答案D解析因?yàn)閒(1)limx0f1xf1x10limx0a1x3a3xa.因?yàn)閒(1)3，所以a3.4如圖，函數(shù)yf(x)在x1，x2，x2，x3，x3，x4這幾個(gè)區(qū)間上，平均變化率最大的一個(gè)區(qū)間是_考點(diǎn)平均變化率題點(diǎn)平均變化率的應(yīng)用答案x3，x4解析由平均變化率的定義可知，函數(shù)yf(x)在區(qū)間x1，x2，x2，x3，x3，x4上平均變化率分別為fx2fx1x2x1，fx3fx2x3x2，fx4fx3x4x3，結(jié)合圖象可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)yf(x)的平均變化率最大的一個(gè)區(qū)間是x3，x45一物體的運(yùn)動方程為s(t)7t213t8，則t0_時(shí)該物體的瞬時(shí)速度為 1.考點(diǎn)求瞬時(shí)速度題點(diǎn)瞬時(shí)速度在實(shí)際問題中的應(yīng)用答案1解析limt0st0tst0tlimt07t0t213t0t87t2013t08tlimt0(14t0137t)14t0131，得t01.理解平均變化率要注意以下幾點(diǎn)：(1)平均變化率fx2fx1x2x1表示點(diǎn)(x1，f(x1)與點(diǎn)(x2，f(x2)連線的斜率，是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”(2)為求點(diǎn)x0附近的平均變化率，上述表達(dá)式常寫為fx0 xfx0 x的形式(3)函數(shù)的平均變化率可以表現(xiàn)出函數(shù)的變化趨勢自變量的改變量x取值越小，越能準(zhǔn)確體現(xiàn)函數(shù)的變化情況利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)：11(1)取極限前，要注意化簡yx，保證使x0 時(shí)分母不為 0.(2)函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)只與x0有關(guān)，與x無關(guān)(3)導(dǎo)數(shù)可以描述事物的瞬時(shí)變化率，應(yīng)用非常廣泛一、選擇題1已知函數(shù)y21x，當(dāng)x由 1 變到 2 時(shí)，函數(shù)的增量y等于()A.12B12C1D1考點(diǎn)函數(shù)自變量、因變量的增量題點(diǎn)函數(shù)因變量的增量答案B解析y212 (21)12.2函數(shù)f(x)5x3 在區(qū)間a，b上的平均變化率為()A3B4C5D6考點(diǎn)平均變化率題點(diǎn)函數(shù)的平均變化率答案C解析平均變化率為fbfaba5baba5.3 一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的方程為s53t2， 若該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段1,1t內(nèi)相應(yīng)的平均速度為3t6，則該質(zhì)點(diǎn)在t1 時(shí)的瞬時(shí)速度是()A3B3C6D6考點(diǎn)求瞬時(shí)速度題點(diǎn)用極限思想求瞬時(shí)速度答案D解析由平均速度和瞬時(shí)速度的關(guān)系可知，質(zhì)點(diǎn)在t1 時(shí)的瞬時(shí)速度為slimt0(3t6)6.4已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)在函數(shù)yf(x)的圖象上，若函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率為 3，則下面敘述正確的是()12A曲線yf(x)的割線AB的傾斜角為6B曲線yf(x)的割線AB的傾斜角為3C曲線yf(x)的割線AB的斜率為 3D曲線yf(x)的割線AB的斜率為33考點(diǎn)平均變化率題點(diǎn)平均變化率的應(yīng)用答案B解析函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率就是割線AB的斜率，所以kAB 3，割線AB的傾斜角為3，故選 B.5若可導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象過原點(diǎn)，且滿足limx0fxx1，則f(0)等于()A2B2C1D1考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念的簡單應(yīng)用答案C解析f(x)圖象過原點(diǎn)，f(0)0，f(0)limx0f0 xf0 xlimx0fxx1，故選 C.6已知函數(shù)f(x)3x21，0 x3，23x32，x3，則函數(shù)f(x)在x1 處的導(dǎo)數(shù)為()A2B3C4D6考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)定義的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)定義在函數(shù)中的應(yīng)用答案D解析f(1)4，f(1)limx0f1xf1xlimx031x214xlimx0(63x)6.137已知函數(shù)f(x)2x，且f(m)12，則m的值等于()A2B2C2D4考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)定義的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)定義在函數(shù)中的應(yīng)用答案A解析f(x)limx0fxxfxx2x2，于是有2m212，m24，解得m2.二、填空題8.汽車行駛的路程s和時(shí)間t之間的函數(shù)圖象如圖所示，在時(shí)間段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分別為v1，v2，v3，則三者的大小關(guān)系為_考點(diǎn)平均變化率題點(diǎn)平均變化率的應(yīng)用答案v1v2v3解析v1kOA，v2kAB，v3kBC，由圖象知，kOAkAB0)上的平均變化率不大于1，求x的取值范圍考點(diǎn)平均變化率題點(diǎn)平均變化率的應(yīng)用解函數(shù)f(x)在2,2x上的平均變化率為yxf2xf2x152x22x42x3x，由3x1，得x2.又x0，x的取值范圍是(0，)13已知f(x)x2，g(x)x3，求適合f(x0)2g(x0)的x0的值考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)定義的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)定義在函數(shù)中的應(yīng)用解由導(dǎo)數(shù)的定義知，f(x0)limx0 x0 x2x20 x2x0，g(x0)limx0 x0 x3x30 x3x20.因?yàn)閒(x0)2g(x0)，所以 2x023x20，即 3x202x020.解得x01 73或x01 73.四、探究與拓展14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y 3x，y0，xt(t0)圍成的OAB的面積為S(t)，則S(t)在t2 時(shí)的瞬時(shí)變化率是_考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)定義的應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)定義在實(shí)際問題中的應(yīng)用答案2 3解析xt時(shí)，y 3t，B(t， 3t)，則AB 3t，S(t)12OAAB12t 3t32t2，S(2)limt0S2tS2t16limt0322t22 3t2 3.15若一物體運(yùn)動方程如下：(位移單位：m，時(shí)間單位：s)sf(t)293t32，0t3，3t22，t3.求：(1)物體在t3,5內(nèi)的平均速度；(2)物體的初速度v0；(3)物體在t1 時(shí)的瞬時(shí)速度考點(diǎn)求瞬時(shí)速度題點(diǎn)用極限思想求瞬時(shí)速度解(1)因?yàn)槲矬w在t3,5內(nèi)的時(shí)間變化量為t532，位移變化量為s3522(3322)3(5232)48，所以物體在t3,5內(nèi)的平均速度為st48224 m/s.(2)求物體的初速度v0，即求物體在t0 時(shí)的瞬時(shí)速度因?yàn)槲矬w在t0 附近位移的平均變化率為stf0tf0t2930t32293032t3t18，所以物體在t0 處位移的瞬時(shí)變化率為limt0stlimt0(3t18)18，即物體的初速度v018 m/s.(3)物體在t1 時(shí)的瞬時(shí)速度即為物體在t1 處位移的瞬時(shí)變化率，因?yàn)槲矬w在t1 附近位移的平均變化率為stf1tf1t2931t32293132t3t12，所以物體在t1 處位移的瞬時(shí)變化率為17limt0stlimt0(3t12)12，即物體在t1 時(shí)的瞬時(shí)速度為12 m/s.