第二章 圓錐曲線與方程1利用橢圓的定義解題橢圓定義反映了橢圓的本質(zhì)特征，揭示了曲線存在的幾何性質(zhì)有些問(wèn)題，如果恰當(dāng)運(yùn)用定義來(lái)解決，可以起到事半功倍的效果，下面通過(guò)幾個(gè)例子進(jìn)行說(shuō)明1求最值例1線段|AB|4，|PA|PB|6，M是AB的中點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)在同一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，PM的長(zhǎng)度的最小值是()A2B.C.D5解析由于|PA|PB|6>4|AB|，故由橢圓定義知P點(diǎn)的軌跡是以M為原點(diǎn)，A，B為焦點(diǎn)的橢圓，且a3，c2，b.于是PM的長(zhǎng)度的最小值是b.答案C2求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)例2橢圓1上到兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之積最大的點(diǎn)的坐標(biāo)是_解析設(shè)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)為P，由橢圓的定義可知|PF1|PF2|2a10，所以|PF1|·|PF2|2225，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|PF2|時(shí)取等號(hào)由解得|PF1|PF2|5a，此時(shí)點(diǎn)P恰好是橢圓短軸的兩端點(diǎn)，即所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(±3,0)答案(±3,0)點(diǎn)評(píng)由橢圓的定義可得“|PF1|PF2|10”，即兩個(gè)正數(shù)|PF1|，|PF2|的和為定值，結(jié)合基本不等式可求|PF1|，|PF2|積的最大值，結(jié)合圖形可得所求點(diǎn)P的坐標(biāo)3求焦點(diǎn)三角形面積例3如圖所示，已知橢圓的方程為1，若點(diǎn)P在第二象限，且PF1F2120°，求PF1F2的面積解由已知，得a2，b，所以c1，|F1F2|2c2.在PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|·|F1F2|·cos120°，即|PF2|2|PF1|242|PF1|，由橢圓定義，得|PF1|PF2|4，即|PF2|4|PF1|.將代入，得|PF1|.所以|PF1|·|F1F2|·sin120°××2×，即PF1F2的面積是.點(diǎn)評(píng)在PF1F2中，由橢圓的定義及余弦定理可得關(guān)于|PF1|，|PF2|的方程組，消去|PF2|可求|PF1|.從以上問(wèn)題，我們不難發(fā)現(xiàn)，凡涉及橢圓上的點(diǎn)及橢圓焦點(diǎn)的問(wèn)題，我們應(yīng)首先考慮利用橢圓的定義求解2如何求橢圓的離心率1由橢圓的定義求離心率例1以橢圓的焦距為直徑并過(guò)兩焦點(diǎn)的圓，交橢圓于4個(gè)不同的點(diǎn)，順次連接這四個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)恰好組成一個(gè)正六邊形，那么這個(gè)橢圓的離心率為_解析如圖所示，設(shè)橢圓的方程為1(a>b>0)，半焦距為c，由題意知F1AF290°，AF2F160°.|AF2|c，|AF1|2c·sin60°c.|AF1|AF2|2a(1)c.e1.答案1點(diǎn)評(píng)本題利用了圓及正六邊形的幾何性質(zhì)，并結(jié)合橢圓的定義，化難為易，使問(wèn)題簡(jiǎn)單解決2解方程(組)求離心率例2橢圓1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F1(c,0)，A(a，0)，B(0，b)是兩個(gè)頂點(diǎn)，如果F1到直線AB的距離為，則橢圓的離心率e_.解析如圖所示，直線AB的方程為1，即bxayab0.點(diǎn)F1(c,0)到直線AB的距離為，|ac|，即7a214ac7c2a2b2.又b2a2c2，整理得5a214ac8c20.兩邊同除以a2并由e知，8e214e50，解得e或e(舍去)答案3利用數(shù)形結(jié)合求離心率例3在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓1(a>b>0)，圓O的半徑為a，過(guò)點(diǎn)P作圓O的兩條切線，且這兩條切線互相垂直，則離心率e_.解析如圖所示，切線PA，PB互相垂直，|PA|PB|.又OAPA，OBPB，|OA|OB|，則四邊形OAPB是正方形，故|OP|OA|，即a，e.答案4綜合類例4設(shè)M為橢圓1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，如果MF1F275°，MF2F115°，求橢圓的離心率解由正弦定理得，e.點(diǎn)評(píng)此題可推廣為若MF1F2，MF2F1，則橢圓的離心率e.3活用雙曲線定義妙解題在解雙曲線中的有關(guān)求動(dòng)點(diǎn)軌跡、離心率、最值等問(wèn)題時(shí)，若能靈活應(yīng)用雙曲線的定義，能把大題化為小題，起到事半功倍的作用下面舉例說(shuō)明1求動(dòng)點(diǎn)軌跡例1一動(dòng)圓C與兩定圓C1：x2(y5)21和圓C2：x2(y5)216都外切，求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程解設(shè)動(dòng)圓圓心為C(x，y)，半徑為r，因?yàn)閯?dòng)圓C與兩定圓相外切，所以即|CC2|CC1|3<|C1C2|10，所以點(diǎn)C的軌跡是以C1(0,5)，C2(0，5)為焦點(diǎn)的雙曲線的上支，且a，c5，所以b2.故動(dòng)圓圓心C的軌跡方程為1(y)點(diǎn)評(píng)依據(jù)動(dòng)圓與兩定圓外切建立關(guān)系式，易得到|CC2|CC1|3<|C1C2|，從而判斷出C的軌跡是雙曲線的一支，最后求出a，b即可寫出軌跡方程，這里一定要注意所求的軌跡是雙曲線的一支還是兩支2求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)例2過(guò)雙曲線1左焦點(diǎn)F1的直線與左支交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB長(zhǎng)為6，則ABF2(F2為右焦點(diǎn))的周長(zhǎng)是_解析由雙曲線的定義知|AF2|AF1|8，|BF2|BF1|8，兩式相加得|AF2|BF2|(|AF1|BF1|)|AF2|BF2|AB|16，從而有|AF2|BF2|16622，所以ABF2的周長(zhǎng)為|AF2|BF2|AB|22628.答案28點(diǎn)評(píng)與焦點(diǎn)有關(guān)的三角形周長(zhǎng)問(wèn)題，常借助雙曲線的定義解決，注意解決問(wèn)題時(shí)的拼湊技巧3最值問(wèn)題例3已知F是雙曲線y21的右焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M(4,2)，求|PM|PF|的最小值解設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F，則F(2,0)，由雙曲線的定義知：|PF|PF|2a2，所以|PF|PF|2，所以|PM|PF|PM|PF|2，要使|PM|PF|取得最小值，只需|PM|PF|取得最小值，由圖可知，當(dāng)P，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|PF|最小，此時(shí)|MF|2，故|PM|PF|的最小值為22.點(diǎn)評(píng)本題利用雙曲線的定義對(duì)F的位置進(jìn)行轉(zhuǎn)換，然后再根據(jù)共線易求得最小值另外同學(xué)們不妨思考一下：(1)若將M坐標(biāo)改為M(1,1)，其他條件不變，如何求解呢？(2)若P是雙曲線左支上一動(dòng)點(diǎn)，如何求解呢？4求離心率范圍例4已知雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|4|PF2|，試求該雙曲線離心率的取值范圍解因?yàn)閨PF1|4|PF2|，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，所以設(shè)|PF2|m，則|PF1|4m，由雙曲線的定義，則|PF1|PF2|4mm2a，所以ma.又|PF1|PF2|F1F2|，即4mm2c，所以mc，即ac，所以e.又e>1，所以雙曲線離心率的取值范圍為1<e.點(diǎn)評(píng)本題利用雙曲線的定義及三角形的兩邊之和與第三邊之間的關(guān)系建立了關(guān)于雙曲線基本量a，c的不等關(guān)系，使問(wèn)題得以巧妙地轉(zhuǎn)化、獲解.4拋物線的焦點(diǎn)弦例1如圖所示，AB是拋物線y22px(p>0)過(guò)焦點(diǎn)F的一條弦設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，AB的中點(diǎn)M(x0，y0)，過(guò)A，M，B分別向拋物線的準(zhǔn)線l作垂線，垂足分別為A1，M1，B1，則有以下重要結(jié)論：(1)以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切；(2)|AB|2(焦點(diǎn)弦長(zhǎng)與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系)；(3)|AB|x1x2p；(4)A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積為定值，即x1x2，y1y2p2；(5)A1FB1F；(6)A，O，B1三點(diǎn)共線；(7).以下以第(7)條結(jié)論為例證明：證明當(dāng)直線AB的斜率不存在，即與x軸垂直時(shí)，|FA|FB|p，.當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為yk，并代入y22px，22px，即k2x2p(2k2)x0.由A(xA，yA)，B(xB，yB)，則xAxB，xAxB.|FA|xA，|FB|xB，|FA|FB|xAxBp，|FA|·|FB|xAxB(xAxB)(xAxBp)|FA|FB|FA|·|FB|·，即.點(diǎn)評(píng)該結(jié)論是拋物線過(guò)焦點(diǎn)的弦所具有的一個(gè)重要性質(zhì)，解題時(shí)，不可忽視ABx軸的情況例2設(shè)F為拋物線y24x的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上三點(diǎn)，若0，則|_.解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0)由0知(x11)(x21)(x31)0，即x1x2x33，|x1x2x3p6.答案65求曲線方程的常用方法曲線方程的求法是解析幾何的重要內(nèi)容和高考的?？键c(diǎn)求曲線方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)曲線的不同背景，不同的結(jié)構(gòu)特征，選用不同的思路和方法，才能簡(jiǎn)捷明快地解決問(wèn)題下面對(duì)其求法進(jìn)行探究1定義法求曲線方程時(shí)，如果動(dòng)點(diǎn)軌跡滿足已知曲線的定義，則可根據(jù)題設(shè)條件和圖形的特點(diǎn)，恰當(dāng)運(yùn)用平面幾何的知識(shí)去尋求其數(shù)量關(guān)系，再由曲線定義直接寫出方程，這種方法叫做定義法例1如圖，點(diǎn)A為圓形紙片內(nèi)不同于圓心C的定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在圓周上，將紙片折起，使點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，設(shè)折痕m交線段CM于點(diǎn)N.現(xiàn)將圓形紙片放在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)圓C：(x1)2y24a2 (a>1)，A(1,0)，記點(diǎn)N的軌跡為曲線E.(1)證明曲線E是橢圓，并寫出當(dāng)a2時(shí)該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)C和橢圓E的上頂點(diǎn)B，點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，若橢圓E的離心率e，求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的取值范圍解(1)依題意，直線m為線段AM的垂直平分線，|NA|NM|.|NC|NA|NC|NM|CM|2a>2，N的軌跡是以C，A為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，焦距為2的橢圓當(dāng)a2時(shí)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a4，焦距為2c2，b2a2c23.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)由(1)知：a2b21.又C(1,0)，B(0，b)，直線l的方程為1，即bxyb0.設(shè)Q(x，y)，點(diǎn)Q與點(diǎn)A(1,0)關(guān)于直線l對(duì)稱，消去x得y.離心率e，e2，即，a24.b214，即b，y2，當(dāng)且僅當(dāng)b1時(shí)取等號(hào)又當(dāng)b時(shí)，y；當(dāng)b時(shí)，y.y2.點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的取值范圍是，22直接法若題設(shè)條件有明顯的等量關(guān)系，或者可運(yùn)用平面幾何的知識(shí)推導(dǎo)出等量關(guān)系，則可通過(guò)“建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、檢驗(yàn)”五個(gè)步驟直接求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種“五步法”可稱為直接法例2已知直線l1：2x3y20，l2：3x2y30.有一動(dòng)圓M(圓心和半徑都在變動(dòng))與l1，l2都相交，并且l1，l2被截在圓內(nèi)的兩條線段的長(zhǎng)度分別是定值26,24.求圓心M的軌跡方程解如圖，設(shè)M(x，y)，圓半徑為r，M到l1，l2的距離分別是d1，d2，則d132r2，d122r2，dd25，即2225，化簡(jiǎn)得圓心M的軌跡方程是(x1)2y265.點(diǎn)評(píng)若動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律是一些幾何量的等量關(guān)系，則常用直接法求解，即將這些關(guān)系直接轉(zhuǎn)化成含有動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x，y的方程即可3待定系數(shù)法若已知曲線(軌跡)的形狀，求曲線(軌跡)的方程時(shí)，可由待定系數(shù)法求解例3已知橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是一個(gè)焦點(diǎn)，A是一個(gè)頂點(diǎn)，若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是6，且cosOFA，求橢圓的方程解橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，cosOFA，所以點(diǎn)A不是長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)，是短軸的頂點(diǎn)，所以|OF|c，|AF|a3，所以c2，b232225，故橢圓的方程為1或1.4相關(guān)點(diǎn)法(或代入法)如果點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡或所在的曲線已知，又點(diǎn)P與點(diǎn)Q的坐標(biāo)之間可以建立某種關(guān)系，借助于點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡便可得到點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡例4如圖所示，從雙曲線x2y21上一點(diǎn)Q引直線l：xy2的垂線，垂足為N，求線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程分析設(shè)P(x，y)，因?yàn)镻是QN的中點(diǎn)，為此需用P點(diǎn)的坐標(biāo)表示Q點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入雙曲線方程即可解設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，雙曲線上點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x0，y0)，點(diǎn)P是線段QN的中點(diǎn)，N點(diǎn)的坐標(biāo)為(2xx0,2yy0)又點(diǎn)N在直線xy2上，2xx02yy02，即x0y02x2y2.又QNl，kQN1，即x0y0xy.由，得x0(3xy2)，y0(x3y2)又點(diǎn)Q在雙曲線上，(3xy2)2(x3y2)21.化簡(jiǎn)，得22.線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程為22.點(diǎn)評(píng)本題中動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q相關(guān)，而Q點(diǎn)的軌跡確定，所以解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是找出P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，用相關(guān)點(diǎn)法求解5參數(shù)法有時(shí)求動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件不易得出，也無(wú)明顯的相關(guān)點(diǎn)，但卻較易發(fā)現(xiàn)(或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn))這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)常常受到另一個(gè)變量(角度、斜率、比值、截距或時(shí)間等)的制約，即動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)中的x，y分別隨另一個(gè)變量的變化而變化，我們可以設(shè)這個(gè)變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫做參數(shù)法例5已知點(diǎn)P在直線x2上移動(dòng)，直線l通過(guò)原點(diǎn)且與OP垂直，通過(guò)點(diǎn)A(1,0)及點(diǎn)P的直線m和直線l交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程解如圖，設(shè)OP的斜率為k，則P(2,2k)當(dāng)k0時(shí)，直線l的方程：yx；直線m的方程：y2k(x1)聯(lián)立消去k得2x2y22x0 (x1)當(dāng)k0時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)(0,0)也滿足上式，故點(diǎn)Q的軌跡方程為2x2y22x0(x1).6解析幾何中的定值與最值問(wèn)題1定點(diǎn)、定值問(wèn)題對(duì)于解析幾何中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題，要善于運(yùn)用辯證的觀點(diǎn)去思考分析，在動(dòng)點(diǎn)的“變”中尋求定值的“不變”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊圖形等)先確定出定值，揭開神秘的面紗，這樣可將盲目的探索問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有方向有目標(biāo)的一般性證明題，從而找到解決問(wèn)題的突破口例1已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，與a(3，1)共線設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且 (，R)，求證：22為定值證明M是橢圓上任意一點(diǎn)，若M與A重合，則，此時(shí)1，0，221，現(xiàn)在需要證明22為定值1.設(shè)橢圓方程為1(a>b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為N(x0，y0)，得0，即，又kAB1，y0x0.直線ON的方向向量為，a，.a23b2，橢圓方程為x23y23b2，又直線方程為yxc.聯(lián)立得4x26cx3c23b20.x1x2c，x1x2c2.又設(shè)M(x，y)，則由，得代入橢圓方程整理得2(x3y)2(x3y)2(x1x23y1y2)3b2.又x3y3b2，x3y3b2，x1x23y1y24x1x23c(x1x2)3c2c2c23c20，221，故22為定值例2已知橢圓1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(0,1)，其長(zhǎng)軸、焦距和短軸的長(zhǎng)的平方依次成等差數(shù)列直線l與x軸正半軸和y軸分別交于Q，P，與橢圓分別交于點(diǎn)M，N，各點(diǎn)均不重合且滿足1，2.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若123，試證明：直線l過(guò)定點(diǎn)并求此定點(diǎn)解(1)設(shè)橢圓的焦距為2c，由題意知b1，且(2a)2(2b)22(2c)2，又a2b2c2，a23.橢圓的方程為y21.(2)由題意設(shè)P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，設(shè)l方程為xt(ym)，由1知(x1，y1m)1(x0x1，y1)，y1my11，由題意y10，11.同理由2知21.123，y1y2m(y1y2)0，聯(lián)立得(t23)y22mt2yt2m230，由題意知4m2t44(t23)(t2m23)>0，且有y1y2，y1y2，代入得t2m232m2t20，(mt)21，由題意mt<0，mt1，滿足，得l方程為xty1，過(guò)定點(diǎn)(1,0)，即Q為定點(diǎn)2最值問(wèn)題解決圓錐曲線中的最值問(wèn)題，一般有兩種方法：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)解非常巧妙；二是代數(shù)法，將圓錐曲線中的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題(即根據(jù)條件列出所求的目標(biāo)函數(shù))，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角有界法、函數(shù)單調(diào)法及基本不等式法等，求解最大或最小值例3已知F是雙曲線1的左焦點(diǎn)，A(1,4)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|PA|的最小值為_解析設(shè)右焦點(diǎn)為F，由題意可知F坐標(biāo)為(4,0)，根據(jù)雙曲線的定義，|PF|PF|4，|PF|PA|4|PF|PA|，要使|PF|PA|最小，只需|PF|PA|最小即可，|PF|PA|最小需P，F(xiàn)，A三點(diǎn)共線，最小值即4|FA|4459.答案9點(diǎn)評(píng)“化曲為直”求與距離有關(guān)的最值是平面幾何中一種巧妙的方法，特別是涉及圓錐曲線上動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)和焦點(diǎn)距離之和的最值問(wèn)題常用此法例4已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.過(guò)點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，設(shè)l1與軌跡C相交于點(diǎn)A，B，l2與軌跡C相交于點(diǎn)D，E，求·的最小值解設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由題意有|x|1.化簡(jiǎn)得y22x2|x|.當(dāng)x0時(shí)，y24x；當(dāng)x<0時(shí)，y0.所以，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y24x(x0)和y0 (x<0)如圖，由題意知，直線l1的斜率存在且不為0，設(shè)為k，則l1的方程為yk(x1)由得k2x2(2k24)xk20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是x1x22，x1x21，(2k24)24k40.因?yàn)閘1l2，所以l2的斜率為.設(shè)D(x3，y3)，E(x4，y4)，則同理可得x3x424k2，x3x41.故·()·()····|·|·|(x11)(x21)(x31)(x41)x1x2(x1x2)1x3x4(x3x4)1111(24k2)18484×216.當(dāng)且僅當(dāng)k2，即k±1時(shí)，·取得最小值16.7圓錐曲線中存在探索型問(wèn)題存在探索型問(wèn)題作為探索性問(wèn)題之一，具備了內(nèi)容涉及面廣、重點(diǎn)題型豐富等命題要求，方便考查分析、比較、猜測(cè)、歸納等綜合能力，因而受到命題人的喜愛(ài)圓錐曲線存在探索型問(wèn)題是指在給定題設(shè)條件下是否存在某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象(數(shù)值、性質(zhì)、圖形)使某個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的數(shù)學(xué)問(wèn)題本節(jié)僅就圓錐曲線中的存在探索型問(wèn)題展開，幫助復(fù)習(xí)1常數(shù)存在型問(wèn)題例1直線yax1與雙曲線3x2y21相交于A，B兩點(diǎn)，是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使A，B關(guān)于直線y2x對(duì)稱？請(qǐng)說(shuō)明理由分析先假設(shè)實(shí)數(shù)a存在，然后根據(jù)推理或計(jì)算求出滿足題意的結(jié)果，或得到與假設(shè)相矛盾的結(jié)果，從而否定假設(shè)，得出某數(shù)學(xué)對(duì)象不存在的結(jié)論解設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使A，B關(guān)于直線l：y2x對(duì)稱，并設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB中點(diǎn)坐標(biāo)為.依題設(shè)有2·，即y1y22(x1x2)，又A，B在直線yax1上，y1ax11，y2ax21，y1y2a(x1x2)2，由，得2(x1x2)a(x1x2)2，即(2a)(x1x2)2，聯(lián)立得(3a2)x22ax20，x1x2，把代入，得(2a)·2，解得a，經(jīng)檢驗(yàn)知滿足4a28(3a2)0，kAB，而kl2，kAB·kl×231.故不存在滿足題意的實(shí)數(shù)a.2點(diǎn)存在型問(wèn)題例2在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心在第二象限，半徑為2的圓與直線yx相切于原點(diǎn)O，橢圓1與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10.(1)求圓C的方程；(2)試探究圓C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使Q到橢圓右焦點(diǎn)F的距離等于線段OF的長(zhǎng)若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由分析假設(shè)滿足條件的點(diǎn)Q存在，根據(jù)其滿足的幾何性質(zhì)，求出Q的坐標(biāo)，則點(diǎn)Q存在，若求不出Q的坐標(biāo)，則點(diǎn)Q就不存在解(1)由題意知圓心在yx上，設(shè)圓心的坐標(biāo)是(p，p)(p>0)，則圓的方程可設(shè)為(xp)2(yp)28，由于O(0,0)在圓上，p2p28，解得p2，圓C的方程為(x2)2(y2)28.(2)橢圓1與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10，由橢圓的定義知2a10，a5，橢圓右焦點(diǎn)為F(4,0)假設(shè)存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q(m，n)使|QF|OF|，則有且m2n20，解得故圓C上存在滿足條件的點(diǎn)Q.3直線存在型問(wèn)題例3試問(wèn)是否能找到一條斜率為k(k0)的直線l與橢圓y21交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，且使M，N到點(diǎn)A(0，1)的距離相等，若存在，試求出k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由分析假設(shè)滿足條件的直線l存在，由平面解析幾何的相關(guān)知識(shí)求解解設(shè)直線l：ykxm為滿足條件的直線，再設(shè)P為MN的中點(diǎn)，欲滿足條件，只需APMN即可由得(13k2)x26mkx3m230.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則xP，yPkxPm，kAP.APMN，(k0)，故m.由36m2k24(13k2)(3m23)9(13k2)(1k2)>0，得1<k<1，且k0.故當(dāng)k(1,0)(0,1)時(shí)，存在滿足條件的直線l.8圓錐曲線中的易錯(cuò)點(diǎn)剖析1求軌跡方程時(shí)，動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)法不當(dāng)而致誤例1長(zhǎng)為a的線段AB，兩端點(diǎn)分別在兩坐標(biāo)軸上移動(dòng)，求線段AB中點(diǎn)P的軌跡方程錯(cuò)解如圖所示，設(shè)A(0，y)，B(x,0)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得P點(diǎn)坐標(biāo)為，連接OP，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)有|OP|AB|a.故222，即所求的軌跡方程為x2y2a2.錯(cuò)因分析求軌跡方程，即求軌跡上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程，并檢驗(yàn)以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否都是軌跡上的點(diǎn)，因此，應(yīng)設(shè)軌跡上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y).上述解法是因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)的不對(duì)，即運(yùn)用方法不當(dāng)而導(dǎo)致錯(cuò)誤.正解設(shè)中點(diǎn)P(x，y)，A(0，m)，B(n,0)，則m2n2a2，x，y，于是所求軌跡方程為x2y2a2.2忽視定義中的條件而致誤例2平面內(nèi)一點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1(0，4)，F(xiàn)2(0,4)的距離之和為8，則點(diǎn)M的軌跡為()A橢圓B圓C直線D線段錯(cuò)解根據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)M的軌跡為橢圓，故選A.錯(cuò)因分析在橢圓的定義中，點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和必須大于兩定點(diǎn)的距離，即|MF1|MF2|>|F1F2|，亦即2a>2c.而本題中|MF1|MF2|F1F2|，所以點(diǎn)M的軌跡不是橢圓，而是線段F1F2.正解因?yàn)辄c(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為|F1F2|，所以點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2.答案D3忽視標(biāo)準(zhǔn)方程的特征而致誤例3設(shè)拋物線ymx2 (m0)的準(zhǔn)線與直線y1的距離為3，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程錯(cuò)解拋物線ymx2 (m0)的準(zhǔn)線方程為y.又與直線y1的距離為3的直線為y2或y4.故2或4.m8或m16.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y8x2或y16x2.錯(cuò)因分析錯(cuò)解忽視了拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的系數(shù)，應(yīng)位于一次項(xiàng)前這個(gè)特征，故本題應(yīng)先化為x2y的形式，再求解.正解由于ymx2 (m0)可化為x2y，其準(zhǔn)線方程為y.由題意知2或4，解得m或m.則所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28y或x216y.4涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)，忽視判別式>0這一隱含條件而致誤例4正方形ABCD的A，B兩點(diǎn)在拋物線yx2上，另兩點(diǎn)C，D在直線yx4上，求正方形的邊長(zhǎng)錯(cuò)解AB與直線yx4平行，設(shè)AB的直線方程為yxb，A(x1，x)，B(x2，x)，則由消去y，得x2xb0，|AB|2(1k2)(x1x2)24x1x22(14b)AB與直線yx4間的距離為d，2(14b)，即b28b120，解得b2或b6，|AB|3或|AB|5.錯(cuò)因分析在考慮直線AB與拋物線相交時(shí)，必須有方程x2xb0的判別式>0，以此來(lái)限制b的取舍.正解AB與直線yx4平行，設(shè)AB的直線方程為yxb，A(x1，x)，B(x2，x)，則由消去y，得x2xb0，|AB|2(1k2)(x1x2)24x1x22(14b)AB與直線yx4間的距離為d，2(14b)，即b28b120，解得b2或b6，14b>0，b>.b2或b6都滿足>0，b2或b6.|AB|3或|AB|5.5求解拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，忽略對(duì)焦點(diǎn)位置討論致誤例5拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，點(diǎn)A(m，3)在拋物線上，且|AF|5，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程錯(cuò)解一因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)F在x軸上，且點(diǎn)A(m，3)在拋物線上，所以拋物線方程可設(shè)為y22px(p>0)設(shè)點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為d，則d|AF|m，所以解得或所以拋物線方程為y22x或y218x.錯(cuò)解二因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)F在x軸上，且點(diǎn)A(m，3)在拋物線上，所以當(dāng)m>0時(shí)，點(diǎn)A在第四象限，拋物線方程可設(shè)為y22px(p>0)設(shè)點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為d，則d|AF|m，所以解得或所以拋物線方程為y22x或y218x.當(dāng)m<0時(shí)，點(diǎn)A在第三象限，拋物線方程可設(shè)為y22px(p>0)，設(shè)點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為d，則d|AF|m，所以解得或(舍去)所以拋物線方程為y22(5)x.綜上所述，拋物線方程為y22(5)x或y22x或y218x.正解因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)F在x軸上，且點(diǎn)A(m，3)在拋物線上，所以當(dāng)m>0時(shí)，點(diǎn)A在第四象限，拋物線方程可設(shè)為y22px(p>0)，設(shè)點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為d，則d|AF|m，所以解得或所以拋物線方程為y22x或y218x.當(dāng)m<0時(shí)，點(diǎn)A在第三象限，拋物線的方程可設(shè)為y22px(p>0)，設(shè)A到準(zhǔn)線的距離為d，則d|AF|m，所以解得或所以拋物線方程為y22x或y218x.綜上所述，拋物線方程為y22x或y218x或y22x或y218x.9圓錐曲線中的數(shù)學(xué)思想方法1方程思想方程思想就是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過(guò)解方程或解方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使問(wèn)題獲得解決本章中，方程思想的應(yīng)用最為廣泛例1已知直線yx2和橢圓1(a>b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，且a2b，若|AB|2，求橢圓的方程解由消去y并整理得x24x82b20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x24，x1x282b2，164(82b2)0.|AB|2，·2，即·2，解得b24，故a24b216.所求橢圓的方程為1.2函數(shù)思想很多與圓錐曲線有關(guān)的問(wèn)題中的各個(gè)數(shù)量在運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，都是相互聯(lián)系、相互制約的，它們之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系這類問(wèn)題若用函數(shù)思想來(lái)分析、尋找解題思路，會(huì)有很好的效果一些最值問(wèn)題常用函數(shù)思想，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求弦的中點(diǎn)和弦長(zhǎng)問(wèn)題，是經(jīng)常使用的方法例2若點(diǎn)(x，y)在1(b>0)上運(yùn)動(dòng)，求x22y的最大值解1(b>0)，x240，即byb，x22y42y2y424.當(dāng)b，即0<b4時(shí)，若y，則x22y取得最大值，其最大值為4；當(dāng)>b，即b>4時(shí)，若yb，則x22y取得最大值，其最大值為2b.綜上所述，x22y的最大值為3轉(zhuǎn)化和化歸思想在解決圓錐曲線的綜合問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常利用轉(zhuǎn)化和化歸思想轉(zhuǎn)化題中的已知條件和所求，真正化歸為直線和圓錐曲線的基本問(wèn)題這里的轉(zhuǎn)化和化歸非常關(guān)鍵，沒(méi)有轉(zhuǎn)化和化歸，就很難找到解決問(wèn)題的途徑和方法例3如圖所示，已知橢圓1，直線l：x12，P是l上任意一點(diǎn)，射線OP交橢圓于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在線段OP上，且滿足|OQ|·|OP|OR|2，當(dāng)點(diǎn)P在l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程解設(shè)P(12，yP)，R(xR，yR)，Q(x，y)，POx.|OR|2|OQ|·|OP|，2·.由題意知xR>0，x>0，xx·12.又O，Q，R三點(diǎn)共線，kOQkOR，即.由得y.點(diǎn)R(xR，yR)在橢圓1上，1.由得2(x1)23y22(x>0)，點(diǎn)Q的軌跡方程是2(x1)23y22(x>0)4分類討論思想本章中，涉及的字母參數(shù)較多，同時(shí)圓錐曲線的焦點(diǎn)可能在x軸上，也可能在y軸上，所以必須要注意分類討論例4求與雙曲線y21有共同的漸近線且焦距為10的雙曲線的方程分析由題意可設(shè)所求雙曲線的方程為y2(0)，將分為>0，<0兩種情況進(jìn)行討論解由題意可設(shè)所求雙曲線的方程為y2(0)，即1(0)當(dāng)>0時(shí)，c24525，即5，所求雙曲線的方程為1.當(dāng)<0時(shí)，c2(4)()525，即5，所求雙曲線的方程為1.綜上所述，所求雙曲線的方程為1或1.5數(shù)形結(jié)合思想利用數(shù)形結(jié)合思想，可以解決某些最值、軌跡、參數(shù)范圍等問(wèn)題例5在ABC中，BC邊固定，頂點(diǎn)A在移動(dòng)，設(shè)|BC|m，當(dāng)三個(gè)角滿足條件|sinCsinB|sinA|時(shí)，求頂點(diǎn)A的軌跡方程解以BC所在直線為x軸，線段BC的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示則B，C.設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)(x，y)，由題設(shè)，得|sinCsinB|sinA|.根據(jù)正弦定理，得|AB|AC|m.可知點(diǎn)A在以B，C為焦點(diǎn)的雙曲線上2a，a.又c，b2c2a2m2.故所求點(diǎn)A的軌跡方程為1(y0)24