高考熱點(diǎn)追蹤(四)體積、表面積創(chuàng)新試題兩例賞析隨著課改的深入，高考考查考生的創(chuàng)新意識(shí)已逐年增強(qiáng)，有些試題不僅“立意”新穎，而且在“求解途徑、求解方法”上也力求創(chuàng)新以下采用空間幾何體體積、表面積兩例，加以剖析，以感受其“立意”之新、“求解”之新，從而領(lǐng)略其蘊(yùn)含的創(chuàng)新意識(shí)和探究能力 (2019·蘇州模擬)某市為創(chuàng)建國(guó)家級(jí)旅游城市，市政府決定實(shí)施“景觀工程”，對(duì)現(xiàn)有平頂?shù)拿裼枚鄬幼≌M(jìn)行“平改坡”計(jì)劃將平頂房屋改為尖頂，并鋪上彩色瓦片現(xiàn)對(duì)某幢房屋有如下兩種改造方案：方案1：坡頂如圖1所示，為側(cè)頂面是等腰三角形的直三棱柱，尖頂屋脊AA1的長(zhǎng)度與房屋長(zhǎng)度BB1等長(zhǎng)，有兩個(gè)坡面需鋪上瓦片方案2：坡頂如圖2所示，為由圖1消去兩端相同的兩個(gè)三棱錐而得，尖頂屋脊DD1比房屋長(zhǎng)度BB1短，有四個(gè)坡面需鋪上瓦片若房屋長(zhǎng)BB12a，寬BC2b，屋脊高為h，試問(wèn)哪種尖頂鋪設(shè)的瓦片比較?。空f(shuō)明理由【解】作AEBC, 即AE平面B1BCC1，AE為屋脊的高，故AEh由DBDC，得DEBC，故AB設(shè)AD長(zhǎng)為x，則DE，所以，SBCDBC·DE·2b·b，SABDSACDx由于面積均為正數(shù)，所以只需比較(SABDSACD)2與(SBCD)2的大小事實(shí)上：(SABDSACD)2(SBCD)2x2(h2b2)b2(h2x2)x2h2b2h2h2(x2b2)所以分b>x，bx，b<x三種情況討論，得結(jié)果為：(1)若AD之長(zhǎng)小于房屋寬度的一半時(shí)，圖1尖頂鋪設(shè)的瓦片較??；(2)若AD之長(zhǎng)等于房屋寬度的一半時(shí)，兩種尖頂鋪設(shè)的瓦片數(shù)相同；(3)若AD之長(zhǎng)大于房屋寬度的一半時(shí)，圖2尖頂鋪設(shè)的瓦片較省名師點(diǎn)評(píng) 近些年來(lái)在高考中不僅有直接求多面體、旋轉(zhuǎn)體的面積和體積問(wèn)題，也有已知面積或體積求某些元素的量或元素間的位置關(guān)系問(wèn)題即使考查空間線面的位置關(guān)系問(wèn)題，也常以幾何體為依托因而要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)以及它們的求積公式 (2019·南京、鹽城模擬) 如圖，正三棱柱ABC­A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為4，側(cè)棱長(zhǎng)為a，過(guò)BC的截面為DBCE為BC的中點(diǎn)且DEA30°(1)分別就a3和a1計(jì)算截面的面積；(2)記該截面的面積為f(a)，求f(a)的最大值【解】(1)因?yàn)镈EA30°，等邊ABC邊長(zhǎng)為4，所以AE2在RtDAE中，DAAE·tanDEA2當(dāng)a3時(shí)，D點(diǎn)在側(cè)棱AA1上，截面為BCD，在RtDAE中，DE4，所以SBCDBC·DE×4×48當(dāng)a1時(shí)，D點(diǎn)在AA1延長(zhǎng)線上，截面為梯形BCNM，因?yàn)锳D2，AA11，所以MN是DBC的中位線， 所以S梯形BCNMSDBC×86(2)當(dāng)a2時(shí)， 截面與正三棱柱ABC­A1B1C1的棱AA1相交于D點(diǎn)，此時(shí)截面為BCD，其面積為SBCDBC·DE×4×48；當(dāng)0<a<2時(shí)，截面為梯形BCNM，但是始終有DAAE·tanDEA2，由BCDMND，得，所以S梯形BCNM×SBCD×82a(4a)所以f(a)于是當(dāng)a2時(shí)，該函數(shù)的最大值為8名師點(diǎn)評(píng)截面問(wèn)題是立體幾何題中的一類(lèi)比較常見(jiàn)的題型，由于截面的“動(dòng)態(tài)”性，使截得的結(jié)果也具有一定的可變性 涉及多面體的截面問(wèn)題，都要經(jīng)過(guò)先確定截面形狀，再解決問(wèn)題的過(guò)程，本例通過(guò)改變側(cè)棱長(zhǎng)而改變了截面形狀；也可以通過(guò)確定側(cè)棱長(zhǎng)，改變截面與底面所成角而改變截面形狀平行問(wèn)題是高考中熱點(diǎn)問(wèn)題，其中最重要的又是線線平行的判定，因?yàn)樗亲C明線面平行，面面平行的基礎(chǔ)，下面舉例解析線線平行的判定方法一、利用中位線定理得線線平行題目中給出中點(diǎn)條件時(shí)，往往隱含著中位線的信息因素，利用中位線很容易尋求線線平行但不同三角形中的中位線效果也不一樣，因此，尋求三角形的中位線也是解題的關(guān)鍵 (2019·南京模擬)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD­A1B1C1D1中，底面是菱形，AA1AB，點(diǎn)E、M分別為A1B、C1C的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A1，B，M三點(diǎn)的平面A1BMN交C1D1于點(diǎn)N求證：EM平面A1B1C1D1【證明】取A1B1的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，C1F因?yàn)镋為A1B的中點(diǎn)，所以EF綊BB1 又因?yàn)镸為CC1中點(diǎn)，所以EF綊C1M 所以四邊形EFC1M為平行四邊形，所以EMFC1 而EM平面A1B1C1D1，F(xiàn)C1平面A1B1C1D1，所以EM平面A1B1C1D1名師點(diǎn)評(píng)線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想二、利用比例關(guān)系得線線平行對(duì)應(yīng)線段成比例是平面幾何中判斷直線平行的重要依據(jù)，而線面平行的空間問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)化可變通為線線平行 已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是13，平面ABCD外一點(diǎn)P到正方形各頂點(diǎn)的距離都為13，M、N分別是PA、BD上的點(diǎn)且PMMABNND58，如圖所示求證：直線MN平面PBC【證明】連結(jié)AN并延長(zhǎng)交BC于E點(diǎn)，連結(jié)PE，則ENNABNND，所以，所以MNPE，而MN平面PBC，PE平面PBC，所以MN平面PBC名師點(diǎn)評(píng)利用成比例線段是尋求線線平行的一條行之有效的措施三、利用線面平行性質(zhì)得線線平行線面平行的性質(zhì)定理中，包含要素：兩線兩面 兩線兩面的關(guān)系是：一線在一面內(nèi)平行于另一面，一線是兩面的交線 結(jié)論是：兩線平行 (2019·南京模擬)在四棱錐P­ABCD中若平面PAB平面PCDl，問(wèn)：直線l能否與平面ABCD平行？請(qǐng)說(shuō)明理由【解】假定直線l平面ABCD，由于l平面PCD，且平面PCD平面ABCDCD，所以lCD同理可得lAB，所以ABCD所以當(dāng)ABCD時(shí)直線l能與平面ABCD平行，否則不平行名師點(diǎn)評(píng)線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系，體現(xiàn)了重要的數(shù)學(xué)思想方法：轉(zhuǎn)化的思想，化繁為簡(jiǎn)，化未知為已知四、利用面面平行性質(zhì)得線線平行利用面面平行的性質(zhì)定理，即如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行符號(hào)表示：若，a，b，則ab 如圖所示，已知平面平面，A，B，C，D，AC，BD是異面直線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)，求證：EF【證明】如圖，過(guò)點(diǎn)E作直線A1C1BD，設(shè)A1C1與平面，分別交于點(diǎn)A1，C1連結(jié)AA1，A1B，CC1，C1D因?yàn)?，平面A1C1DB平面A1B，平面A1C1DB平面C1D，所以A1BC1D，又BDA1C1，所以四邊形A1C1DB為平行四邊形同理，AA1CC1，又E為AC的中點(diǎn)，所以E為A1C1的中點(diǎn)，又F為BD的中點(diǎn)，所以EFA1B，因?yàn)锳1B平面，EF平面，所以EF名師點(diǎn)評(píng)第三個(gè)輔助平面往往要根據(jù)需要作出，或觀察出，這是面面平行性質(zhì)使用的需要總之線線平行的判定，不但需要平面幾何的知識(shí)作基礎(chǔ)，更需要解決問(wèn)題和處理問(wèn)題的方法，這需要在學(xué)習(xí)中善于思考、善于總結(jié)和積累，由量變到質(zhì)變，當(dāng)積累達(dá)到一定的程度，就會(huì)升華1(2019·徐州、淮安、宿遷、連云港四市模擬)已知圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則該圓錐的體積為_(kāi)解析 由題意得圓錐的底面半徑、高分別為r1，h，故該圓錐的體積為V×12×答案 2(2019·江蘇省高考命題研究專(zhuān)家原創(chuàng)卷(五)九章算術(shù)第五章商功記載：今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺，問(wèn)積幾何？此處圓堡瑽即圓柱體，其意思是：有一個(gè)圓柱體的底面周長(zhǎng)是4丈8尺，高1丈1尺，問(wèn)它的體積是多少？若的值取3，估算該圓堡瑽的體積為_(kāi)立方尺(注：一丈等于十尺)解析 設(shè)該圓柱體底面圓的半徑為r尺，則由題意得2r48，所以r8，又圓柱體的高為11尺，故該圓堡瑽的體積Vr2h2 112立方尺答案 2 1123(2019·蘇北四市高三模擬)已知矩形ABCD的邊AB4，BC3，若沿對(duì)角線AC折疊，使平面DAC平面BAC，則三棱錐D­ABC的體積為_(kāi)解析 在平面DAC內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作DEAC，因?yàn)槠矫鍰AC平面BAC，由面面垂直的性質(zhì)定理可得DE平面BAC又DE，所以三棱錐D­ABC的體積為××4×3×答案 4(2019·南京模擬)設(shè)平面與平面相交于直線m，直線b在平面內(nèi)，直線c在平面內(nèi)，且cm，則“cb”是“”的_條件解析 若，又m，c，cm可得c，因?yàn)閎，所以cb反過(guò)來(lái)cb不能得到(如bm時(shí)，由cm可得cb，但不能判斷，的位置關(guān)系)答案 必要不充分5如圖，正方體ABCD ­A1B1C1D1中，AB2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，若EF平面AB1C，則線段EF的長(zhǎng)度等于_解析 因?yàn)镋F平面AB1C，EF平面ABCD，平面ABCD平面AB1CAC，所以EFAC，又因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)，所以F是CD的中點(diǎn)，即EF是ACD的中位線，所以EFAC×2答案 6(2019·揚(yáng)州模擬)設(shè)l，m是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，有下列三個(gè)命題：若l，m，則lm；若l，m，則lm；若l，m，則lm則其中正確命題的序號(hào)是_解析 根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知正確答案 7(2019·南通高三模擬)已知正三棱柱的各條棱長(zhǎng)均為a，圓柱的底面直徑和高均為b若它們的體積相等，則a3b3的值為_(kāi)解析 由題意可得×a2××a()2×b，即a3b3，則答案 8(2019·江蘇省高考命題研究專(zhuān)家原創(chuàng)卷(三)如圖，若三棱錐A1­BCB1的體積為3，則三棱柱ABC­A1B1C1的體積為_(kāi)解析 設(shè)三棱柱的底面面積為S，高為h，則VA1­ABCSABC·hShVABC­A1B1C1，同理VC­A1B1C1VABC­A1B1C1，所以VA1­BCB1VABC­A1B1C1又VA1­BCB13，所以三棱柱ABC­A1B1C1的體積為9答案 99(2019·南通模擬)如圖是一幾何體的平面展開(kāi)圖，其中ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點(diǎn)在此幾何體中，給出下面四個(gè)結(jié)論：直線BE與CF異面；直線BE與AF異面；直線EF平面PBC；平面BCE平面PAD其中一定正確的有_個(gè)解析 如圖，易得EFAD，ADBC，所以EFBC，即B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共面，則錯(cuò)誤，正確，正確，不一定正確答案 210(2019·江蘇高考專(zhuān)家原創(chuàng)卷)已知正三棱錐P­ABC的體積為，底面邊長(zhǎng)為2，D為側(cè)棱PA的中點(diǎn)，則四面體D­ABC的表面積為_(kāi)解析 設(shè)底面正三角形ABC的中心為O，連結(jié)OA，OP，又底面邊長(zhǎng)為2，可得OA，由VP­ABCSABC·PO，即PO××22，得PO，所以PA2SABC，SDABSDAC，SDBC，所以四面體D­ABC的表面積為2答案 211(2019·江蘇省高考命題研究專(zhuān)家原創(chuàng)卷(二)已知三棱錐P­ABC中，PA，PC2，AC1，平面PAB平面ABC，D是PA的中點(diǎn)，E是PC的中點(diǎn)(1)求證：DE平面ABC；(2)求證：平面BDE平面PAB證明 (1)因?yàn)镈是PA的中點(diǎn)，E是PC的中點(diǎn)，所以DEAC又DE平面ABC，AC平面ABC，所以DE平面ABC(2)因?yàn)镻A，PC2，AC1，所以PA2AC2PC2，所以三角形PAC是直角三角形，ACPA又DEAC，所以DEPA過(guò)P作PHAB于H因?yàn)槠矫鍼AB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，PH平面PAB，所以PHAC又DEAC，所以DEPH又PAPHP，PA，PH平面PAB，所以DE平面PAB又DE平面BDE，所以平面BDE平面PAB12(2019·南京檢測(cè))如圖，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F(xiàn)分別為BB1，AC的中點(diǎn)(1)求證：BF平面A1EC；(2)求證：平面A1EC平面ACC1A1證明 (1)連結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)O，連結(jié)OE，OF，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，四邊形ACC1A1為平行四邊形，所以O(shè)AOC1又因?yàn)镕為AC中點(diǎn)，所以O(shè)FCC1且OFCC1因?yàn)镋為BB1中點(diǎn)，所以BECC1且BECC1所以BEOF且BEOF，所以四邊形BEOF是平行四邊形，所以BFOE又BF平面A1EC，OE平面A1EC，所以BF平面A1EC(2)由(1)知BFOE，因?yàn)锳BCB，F(xiàn)為AC中點(diǎn)，所以BFAC，所以O(shè)EAC又因?yàn)锳A1底面ABC，而B(niǎo)F底面ABC，所以AA1BF由BFOE，得OEAA1，而AA1，AC平面ACC1A1，且AA1ACA，所以O(shè)E平面ACC1A1因?yàn)镺E平面A1EC，所以平面A1EC平面ACC1A113(2019·江蘇高考原創(chuàng)卷)如圖，已知AB平面ACD，DEAB，ACD是正三角形，AD4，DE2AB3，且F是CD的中點(diǎn)(1)求證：AF平面BCE；(2)在線段CE上是否存在點(diǎn)H，使DH平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解 (1)證明：取CE的中點(diǎn)P，連結(jié)FP，BP，因?yàn)镕為CD的中點(diǎn)，所以FPDE，且FPDE又ABDE，且ABDE，所以ABFP，且ABFP，所以四邊形ABPF為平行四邊形，所以AFBP因?yàn)锳F平面BCE，BP平面BCE，所以AF平面BCE(2)在線段CE上存在點(diǎn)H，使DH平面BCE理由如下：在CDE中，過(guò)點(diǎn)D作DHCE，交CE于點(diǎn)H，因?yàn)锳CD為正三角形，所以AFCD因?yàn)锳B平面ACD，DEAB，所以DE平面ACD，又CD、AF平面ACD，所以DEAF，DECD又CDDED，所以AF平面DCE又BPAF，所以BP平面DCE因?yàn)镈H平面CDE，所以DHBP又BPCEP，所以DH平面BCE在RtCDE中，CD4，DE3，DHCE，所以CH，HE，14如圖所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，ABBB1，AC1平面A1BD，D為AC的中點(diǎn)(1)求證：B1C1平面ABB1A1；(2)在CC1上是否存在一點(diǎn)E，使得BA1E45°，若存在，試確定E的位置，并判斷平面A1BD與平面BDE是否垂直？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解 (1)證明：因?yàn)锳BB1B，所以四邊形ABB1A1為正方形，所以A1BAB1，又因?yàn)锳C1平面A1BD，所以AC1A1B，所以A1B平面AB1C1，所以A1BB1C1又在直棱柱ABC­A1B1C1中，BB1B1C1，所以B1C1平面ABB1A1(2)存在證明如下：設(shè)ABBB1a，CEx，因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，且AC1A1D，所以A1BA1C1a，又因?yàn)锽1C1平面ABB1A1，B1C1A1B1，所以B1C1a，BE，A1E，在A1BE中，由余弦定理得BE2A1B2A1E22A1B·A1E·cos 45 °，即a2x22a23a2x22ax2·a·，所以2ax，解得xa，即E是C1C的中點(diǎn)，因?yàn)镈，E分別為AC，C1C的中點(diǎn)，所以DEAC1，因?yàn)锳C1平面A1BD，所以DE平面A1BD，又因?yàn)镈E平面BDE，所以平面A1BD平面BDE- 12 -