2022高考數(shù)學大二輪復習 專題八 選考4系列 專題能力訓練22 坐標系與參數(shù)方程 理1.在平面直角坐標系xOy中,圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).在極坐標系(與平面直角坐標系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸非負半軸為極軸)中,直線l的方程為sin=m(mR).(1)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標方程;(2)設(shè)圓心C到直線l的距離等于2,求m的值.2.在平面直角坐標系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為(s為參數(shù)).設(shè)P為曲線C上的動點,求點P到直線l的距離的最小值.3.(2018全國,理22)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).(1)求C和l的普通方程;(2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2),求l的斜率.4.已知曲線C:=1,直線l:(t為參數(shù)).(1)寫出曲線C的參數(shù)方程,直線l的普通方程;(2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線,交l于點A,求|PA|的最大值與最小值.5.(2018全國,理22)在平面直角坐標系xOy中,O的參數(shù)方程為(為參數(shù)),過點(0,-)且傾斜角為的直線l與O交于A,B兩點.(1)求的取值范圍;(2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程.6.在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù),a>0).在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:=4cos .(1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標方程;(2)直線C3的極坐標方程為=0,其中0滿足tan 0=2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a.7.在極坐標系中,曲線C的極坐標方程為sin2-cos=0,點M.以極點O為原點,以極軸為x軸正半軸建立直角坐標系.斜率為-1的直線l過點M,且與曲線C交于A,B兩點.(1)求出曲線C的直角坐標方程和直線l的參數(shù)方程;(2)求點M到A,B兩點的距離之積.二、思維提升訓練8.在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,C的極坐標方程為=2sin .(1)寫出C的直角坐標方程;(2)P為直線l上一動點,當點P到圓心C的距離最小時,求P的直角坐標.9.已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程是=.(1)寫出直線l的極坐標方程與曲線C的直角坐標方程;(2)若點P是曲線C上的動點,求點P到直線l的距離的最小值,并求出點P的坐標.10.在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為sin=4.(1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程;(2)設(shè)P為曲線C1上的動點,求點P到C2上點的距離的最小值,并求此時點P的坐標.專題能力訓練22坐標系與參數(shù)方程(選修44)一、能力突破訓練1.解 (1)消去參數(shù)t,得到圓C的普通方程為(x-1)2+(y+2)2=9.由sin=m,得sin -cos -m=0.所以直線l的直角坐標方程為x-y+m=0.(2)依題意,圓心C到直線l的距離等于2,即=2,解得m=-3±22.解 直線l的普通方程為x-2y+8=0.因為點P在曲線C上,設(shè)P(2s2,2s),從而點P到直線l的距離d=當s=時,dmin=因此當點P的坐標為(4,4)時,曲線C上點P到直線l的距離取到最小值3.解 (1)曲線C的普通方程為=1.當cos 0時,l的普通方程為y=tan ·x+2-tan ,當cos =0時,l的普通方程為x=1.(2)將l的參數(shù)方程代入C的普通方程,整理得關(guān)于t的方程(1+3cos2)t2+4(2cos +sin )t-8=0,因為曲線C截直線l所得線段的中點(1,2)在C內(nèi),所以有兩個解,設(shè)為t1,t2,則t1+t2=0.又由得t1+t2=-,故2cos +sin =0,于是直線l的斜率k=tan =-2.4.解 (1)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).直線l的普通方程為2x+y-6=0.(2)曲線C上任意一點P(2cos ,3sin )到l的距離為d=|4cos +3sin -6|,則|PA|=|5sin(+)-6|,其中為銳角,且tan =當sin(+)=-1時,|PA|取得最大值,最大值為當sin(+)=1時,|PA|取得最小值,最小值為5.解 (1)O的普通方程為x2+y2=1.當=時,l與O交于兩點.當時,記tan =k,則l的方程為y=kx-,l與O交于兩點當且僅當<1,解得k<-1或k>1,即或綜上,的取值范圍是(2)l的參數(shù)方程為t為參數(shù),<<設(shè)A,B,P對應(yīng)的參數(shù)分別為tA,tB,tP,則tP=,且tA,tB滿足t2-2tsin +1=0.于是tA+tB=2sin ,tP=sin .又點P的坐標(x,y)滿足所以點P的軌跡的參數(shù)方程是6.解 (1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓.將x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標方程為2-2sin +1-a2=0.(2)曲線C1,C2的公共點的極坐標滿足方程組若0,由方程組得16cos2-8sin cos +1-a2=0,由已知tan =2,可得16cos2-8sin cos =0,從而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.a=1時,極點也為C1,C2的公共點,在C3上,所以a=1.7.解 (1)x=cos ,y=sin ,由sin2-cos =0,得2sin2=cos .所以y2=x即為曲線C的直角坐標方程.點M的直角坐標為(0,1),直線l的傾斜角為,故直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),即(t為參數(shù)).(2)把直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入曲線C的方程得=-t,即t2+3t+2=0,=(3)2-4×2=10>0.設(shè)A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則又直線l經(jīng)過點M,故由t的幾何意義得點M到A,B兩點的距離之積|MA|·|MB|=|t1|t2|=|t1·t2|=2.二、思維提升訓練8.解 (1)由=2sin ,得2=2sin ,從而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3.(2)設(shè)P,又C(0,),則|PC|=,故當t=0時,|PC|取得最小值,此時,點P的直角坐標為(3,0).9.解 (1)由得x-y=1,故直線的極坐標方程為cos -sin =1,即=1,即cos=1.=,=,cos2=sin ,(cos )2=sin ,即曲線C的直角坐標方程為y=x2.(2)設(shè)P(x0,y0),y0=,則P到直線l的距離d=當x0=時,dmin=,此時P當點P的坐標為時,P到直線l的距離最小,最小值為10.解 (1)由曲線C1:(為參數(shù)),得(為參數(shù)),兩式兩邊平方相加,得+y2=1,即曲線C1的普通方程為+y2=1.由曲線C2:sin=4,得(sin +cos )=4,即sin +cos =8,所以x+y-8=0,即曲線C2的直角坐標方程為x+y-8=0.(2)由(1)知,橢圓C1與直線C2無公共點,橢圓上的點P(cos ,sin )到直線x+y-8=0的距離d=,所以當sin=1時,d的最小值為3,此時點P的坐標為