第2講三角變換、解三角形 2019考向?qū)Ш娇键c掃描三年考情考向預(yù)測2019201820171三角變換與求值第13題第16題第5題江蘇高考對于三角恒等變換的命題以公式的基本運用、計算為主，其中與角所在范圍、三角函數(shù)的性質(zhì)、三角形等知識結(jié)合為命題的熱點；解三角形與三角函數(shù)、向量交匯的綜合題或?qū)嶋H應(yīng)用題是命題方向2解三角形第15題第18題第13題1必記的概念與定理(1)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式sin(±)sin cos ±cos sin cos(±)cos cos sin sin tan(±) (2)倍角公式sin 22sin cos ； cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 22記住幾個常用的公式與結(jié)論(1)sin2cos21的變形：1sin2cos2；sin21cos2； cos21sin2；sin ±；cos ±(2)升(降)冪公式：sin2；cos2；sin cos sin 2(3)輔助角公式：asin bcos sin()(由a，b具體的值確定)(4)正切公式的變形：tan tan tan()(1tan ·tan ) (5)正弦定理的各種形式：形式一：2R；形式二：sin A；sin B；sin C；(角到邊的轉(zhuǎn)換)形式三：a2R·sin A，b2R·sin B，c2R·sin C；(邊到角的轉(zhuǎn)換)形式四：Sabsin Cbcsin Aacsin B(求三角形的面積)(6)余弦定理的各種形式：形式一：a2b2c22bc·cos A，b2a2c22ac·cos B，c2a2b22ab·cos C；形式二：cos A，cos B，cos C(角到邊的轉(zhuǎn)換)3需要關(guān)注的易錯易混點(1)三角變換中經(jīng)常要化復(fù)角為單角，化未知角為已知角因此看準(zhǔn)角與角的關(guān)系十分重要哪些角消失了，哪些角變化了，結(jié)論中是哪個角，條件中有沒有這些角，在審題中必須認真觀察和分析常見的變角方式有：()；2()()；2()；可視為的倍角；±可視為(±2)的半角等等當(dāng)然變換形式不唯一，應(yīng)因題而異(2)解題前要善于分析題目中所給式子的結(jié)構(gòu)，掌握結(jié)構(gòu)的特點，通過降冪、升冪、常數(shù)代換等手段，為使用公式創(chuàng)造條件，這是三角變換的重要策略(3)解三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助解題”三角變換與求值典型例題 (1)(2019·高考江蘇卷)已知，則sin的值是_(2)(2018·高考江蘇卷)已知，為銳角，tan ，cos()求cos 2的值；求tan()的值【解】(1)，解得tan 2或tan ，當(dāng)tan 2時，sin 2，cos 2，此時sin 2cos 2，同理當(dāng)tan 時，sin 2，cos 2，此時sin 2cos 2，所以sin(2)(sin 2cos 2)(2)因為tan ，tan ，所以sin cos 因為sin2cos21，所以cos2，因此，cos 22cos2 1因為，為銳角，所以(0，)又因為cos()，所以sin()，因此tan()2因為tan ，所以tan 2，因此，tan()tan2()(1)當(dāng)“已知角”有兩個時，一般把“所求角”表示為兩個“已知角”的和或差的形式(2)當(dāng)“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”對點訓(xùn)練1(2019·徐州模擬)已知sincos ，則sin的值為_解析 由條件得sin cos ，即sin cos 所以sin答案 2在銳角三角形ABC中，若sin A2sin Bsin C，則tan Atan Btan C的最小值是_解析 由sin Asin(BC)2sin Bsin C得sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bsin C，兩邊同時除以cos Bcos C得tan Btan C2tan Btan C，令tan Btan C2tan Btan Cm，因為ABC是銳角三角形，所以2tan Btan C>2，則tan Btan C>1，m>2又在三角形中有tan Atan Btan Ctan(BC)tan Btan C·mm24248，當(dāng)且僅當(dāng)m2，即m4時取得等號，故tan Atan Btan C的最小值為8答案 8解三角形典型例題 (2019·高考江蘇卷)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c(1)若a3c，b，cos B，求c的值；(2)若，求sin的值【解】(1)因為a3c，b，cos B，由余弦定理cos B，得，即c2所以c(2)因為，由正弦定理，得，所以cos B2sin B從而cos2B(2sin B)2，即cos2B4(1cos2B)，故cos2B因為sin B>0，所以cos B2sin B>0，從而cos B因此sincos B解三角形問題的求解一般是從兩個角度來看，即從“角”或從“邊”進行轉(zhuǎn)化突破，實現(xiàn)“邊”或“角”的統(tǒng)一，問題便可突破對點訓(xùn)練3(2019·高考江蘇卷)如圖，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB(AB是圓O的直徑)規(guī)劃在公路l上選兩個點P，Q，并修建兩段直線型道路PB，QA，規(guī)劃要求：線段PB，QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑已知點A，B到直線l的距離分別為AC和BD(C，D為垂足)，測得AB10，AC6，BD12(單位：百米)(1)若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；(2)在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個點選在D處？并說明理由；(3)在規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d(單位：百米)，求當(dāng)d最小時，P，Q兩點間的距離解 (1)過A作AEBD，垂足為E由已知條件得，四邊形ACDE為矩形，DEBEAC6，AECD8因為PBAB，所以cosPBDsinABE所以PB15因此道路PB的長為15百米(2)若P在D處，由(1)可得E在圓上，則線段BE上的點(除B，E)到點O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求若Q在D處，連結(jié)AD，由(1)知AD10，從而cosBAD>0，所以BAD為銳角所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求綜上，P和Q均不能選在D處(3)先討論點P的位置當(dāng)OBP<90°時，線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑，點P不符合規(guī)劃要求；當(dāng)OBP90°時，對線段PB上任意一點F，OFOB，即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑，點P符合規(guī)劃要求設(shè)P1為l上一點，且P1BAB，由(1)知，P1B15，此時P1DP1BsinP1BDP1BcosEBA15×9；當(dāng)OBP>90°時，在PP1B中，PB>P1B15由上可知，d15再討論點Q的位置由(2)知，要使得QA15，點Q只有位于點C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求當(dāng)QA15時，CQ 3此時，線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑綜上，當(dāng)PBAB，點Q位于點C右側(cè)，且CQ3時，d最小，此時P，Q兩點間的距離PQPDCDCQ173因此，d最小時，P，Q兩點間的距離為173(百米)1(2019·南通市高三模擬)已知sin，則sinsin2的值為_解析 sinsinsin，sin2sin2cos2，則sinsin2答案 2(2019·揚州模擬)若ABC的三個內(nèi)角滿足sin Asin Bsin C51113，則ABC的形狀為_解析 由正弦定理2R(R為ABC外接圓半徑)及已知條件sin Asin Bsin C51113，可設(shè)a5x，b11x，c13x(x>0)則cos C<0，所以C為鈍角，所以ABC為鈍角三角形答案 鈍角三角形3(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考(二)若coscos，則sin 2_解析 coscos·，則cos 2sin 2，可得又，解得cos 2，sin 2答案 4(2019·無錫模擬)計算的值為_解析 答案 5在ABC中，若tan Atan Btan Atan B1，則cos C的值是_解析 由tan A·tan Btan Atan B1，可得1，即tan(AB)1，所以AB，則C，cos C答案 6(2019·南京市四校第一學(xué)期聯(lián)考)已知ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2bac，若sin B，cos B，則b的值為_解析 因為2bac，sin B，cos B，sin2Bcos2B1，所以ac15，所以b2a2c22accos B(ac)2484b248，得b4答案 47已知cos ，(，0)，則sincos_解析 因為(，0)，所以sin ，因為sin <cos <0，所以，所以1<sin<，0<cos<，故sincos<0，sincos答案 8(2019·蘇州第一次調(diào)研)已知a，b，c是ABC中角A，B，C的對邊，a4，b(4，6)，sin 2Asin C，則c的取值范圍為_解析 由，得，所以c8cos A，因為16b2c22bccos A，所以16b264cos2A16bcos2A，又b4，所以cos2A，所以c264cos2A64×164b因為b(4，6)，所以32<c2<40，所以4<c<2答案 (4，2)9在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a2，c2，1，則C_解析 由1和正弦定理得cos Asin Bsin Acos B2sin Ccos A，即sin C2sin Ccos A，因為在三角形中sin C0，所以cos A，則A60°由正弦定理得，則sin C，又c<a，則C<60°，故C45°答案 45°10(2019·揚州市第一學(xué)期期末檢測)設(shè)a，b是非零實數(shù)，且滿足tan，則_解析 因為tan，所以，所以acossinbcoscosasincosbsinsin，所以a(sincoscos·sin)b(coscossinsin)，即asin()bcos()，asinbcos，所以tan答案 11在ABC中，已知AB2，AC3，A60°(1)求BC的長；(2)求sin 2C的值解 (1)由余弦定理知，BC2AB2AC22AB·AC·cos A492×2×3×7，所以BC(2)由正弦定理知，所以sin C·sin A因為ABBC，所以C為銳角，則cos C 因此sin 2C2sin C·cos C2××12(2019·南通市高三模擬)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，(abc)(abc)ab(1)求角C的大??；(2)若c2acos B，b2，求ABC的面積解 (1)在ABC中，由(abc)(abc)ab，得，即cos C因為0<C<，所以C(2)法一：因為c2acos B，由正弦定理，得sin C2sin Acos B，因為ABC，所以sin Csin(AB)，所以sin(AB)2sin Acos B，即sin Acos Bcos Asin B0，即sin(AB)0，又<AB<，所以AB0，即AB，所以ab2所以ABC的面積為SABCabsin C×2×2×sin法二：由c2acos B及余弦定理，得c2a×，化簡得ab，所以ABC的面積為SABCabsin C×2×2×sin13(2019·南京市高三年級第三次模擬考試)已知a，b，c分別是ABC三個角A，B，C所對的邊，且滿足acos Bbcos A(1)求證：AC；(2)若b2，·1，求sin B的值解 (1)由正弦定理，得sin Acos Bsin Bcos A，即(sin Acos Bsin Bcos A)cos Csin(AB)cos Csin Ccos A因為ABC，所以sin(AB)sin C，所以sin Ccos Csin Ccos A因為C是ABC的內(nèi)角，所以sin C0，所以cos Ccos A又A，C是ABC的內(nèi)角，所以AC(2)由(1)知，AC，所以ac，所以cos B因為·1，所以a2cos Ba221，所以a23所以cos B又B(0，)，所以sin B14(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考(四)已知在ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且(1)證明：cos Acos Bcos C；(2)若b2c2a2bc，求tan C的值解 (1)證明：因為，所以由正弦定理可知，即因為在ABC中，sin(AB)sin C0，所以cos Acos Bcos C(2)因為b2c2a2bc，根據(jù)余弦定理可知cos A，因為A為三角形的內(nèi)角，所以sin A，tan A2由cos Acos Bcos C和ABC得，cos Acos Bcos Ccos(AB)cos Acos Bsin Asin B，所以2cos Acos Bsin Asin B，所以tan Atan B2，由tan A2得，tan B，所以tan Ctan(AB)- 12 -