第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入章末復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及復(fù)數(shù)相等的充要條件.2.理解復(fù)數(shù)的幾何意義.3.掌握復(fù)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的概念：形如abi(a，bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部若b0，則abi為實(shí)數(shù)，若b0，則abi為虛數(shù)，若a0且b0，則abi為純虛數(shù)(2)復(fù)數(shù)相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(3)共軛復(fù)數(shù)：abi與cdi共軛ac，bd0(a，b，c，dR)(4)復(fù)平面：建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)；各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示非純虛數(shù)(5)復(fù)數(shù)的模：向量的模r叫做復(fù)數(shù)zabi的模，記作|z|或|abi|，即|z|abi| (r0，rR)2復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)zabi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)(a，bR)(2)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)平面向量.3復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則設(shè)z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，則加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；減法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1·z2(abi)·(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：i(cdi0)(2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)1復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小(×)2原點(diǎn)是實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn)()3方程x2x10沒有解(×)類型一復(fù)數(shù)的概念例1已知復(fù)數(shù)za2a6i，分別求出滿足下列條件的實(shí)數(shù)a的值：(1)z是實(shí)數(shù)；(2)z是虛數(shù)；(3)z是0.考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù)解由a2a60，解得a2或a3.由a22a150，解得a5或a3.由a240，解得a±2.(1)由a22a150且a240，得a5或a3，當(dāng)a5或a3時，z為實(shí)數(shù)(2)由a22a150且a240，得a5且a3且a±2，當(dāng)a5且a3且a±2時，z是虛數(shù)(3)由a2a60且a22a150，得a3，當(dāng)a3時，z0.引申探究例1中條件不變，若z為純虛數(shù)，是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，若存在，求出a，若不存在，請說明理由解由a2a60且a22a150，且a240，得a無解，不存在實(shí)數(shù)a，使z為純虛數(shù)反思與感悟(1)正確確定復(fù)數(shù)的實(shí)、虛部是準(zhǔn)確理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(如實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、相等復(fù)數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模)的前提(2)兩復(fù)數(shù)相等的充要條件是復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題的依據(jù)跟蹤訓(xùn)練1復(fù)數(shù)zlog3(x23x3)ilog2(x3)，當(dāng)x為何實(shí)數(shù)時：(1)zR；(2)z為虛數(shù)考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù)解(1)因?yàn)橐粋€復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件是虛部為0，所以解得x4，所以當(dāng)x4時，zR.(2)因?yàn)橐粋€復(fù)數(shù)是虛數(shù)的充要條件是虛部不為0，所以解得x>且x4.所以當(dāng)x>且x4時，z為虛數(shù)類型二復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算例2(1)計算：2 018；(2)已知z1i，求的?？键c(diǎn)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的綜合運(yùn)用題點(diǎn)復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算解(1)原式1 009i(i)1 00900.(2)1i，的模為.反思與感悟(1)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算是復(fù)數(shù)運(yùn)算中的難點(diǎn)，如果遇到(abi)÷(cdi)的形式，首先應(yīng)該寫成分式的形式，然后再分母實(shí)數(shù)化(2)虛數(shù)單位i的周期性i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1(nN*)；inin1in2in30(nN*)跟蹤訓(xùn)練2(1)已知2i，則復(fù)數(shù)z等于()A13i B13iC3i D3i考點(diǎn)共軛復(fù)數(shù)的定義與應(yīng)用題點(diǎn)利用定義求共軛復(fù)數(shù)答案B解析2i，(1i)(2i)23i113i，z13i.(2)已知z是復(fù)數(shù)，z3i為實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)求復(fù)數(shù)z；求的?？键c(diǎn)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的綜合應(yīng)用題點(diǎn)與混合運(yùn)算有關(guān)的未知數(shù)求解解設(shè)zabi(a，bR)，由z3ia(b3)i為實(shí)數(shù)，可得b3.又為純虛數(shù)，a1，即z13i.2i，|2i|.類型三數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用例3已知復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A，B對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是z1sin2i，z2cos2icos 2，其中(0，)，設(shè)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z.(1)求復(fù)數(shù)z；(2)若復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)P在直線yx上，求的值考點(diǎn)分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用題點(diǎn)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用解(1)由題意得zz2z1cos2sin2(cos 21)i1(2sin2)i.(2)由(1)知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2sin2)由點(diǎn)P在直線yx上，得2sin2，sin2，又(0，)，sin >0，因此sin ，或.反思與感悟根據(jù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量及向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的，要求某個向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)，只要找出所求向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)，或者用向量相等直接給出結(jié)論跟蹤訓(xùn)練3在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)z1i(i是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z2對應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考點(diǎn)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則題點(diǎn)運(yùn)算結(jié)果與點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系答案A解析z2(1i)22i(1i)2i1i，復(fù)數(shù)z2對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1)，故在第一象限1設(shè)(1i)x1yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，則|xyi|等于()A1 B.C. D2考點(diǎn)復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用題點(diǎn)利用定義求復(fù)數(shù)的模答案B解析由已知得xxi1yi，根據(jù)兩復(fù)數(shù)相等的條件可得xy1，所以|xyi|1i|.2若z12i，則等于()A1 B1Ci Di考點(diǎn)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的綜合應(yīng)用題點(diǎn)復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算答案C解析i.3復(fù)數(shù)z(aR)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，則a等于()A2 B1C1 D2考點(diǎn)乘除法的運(yùn)算法則題點(diǎn)利用乘除法求復(fù)數(shù)中的未知數(shù)答案D解析z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為且在虛軸上，所以2a0，即a2.4設(shè)i是虛數(shù)單位，是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，若 z·i22z，則z等于()A1i B1iC1i D1i考點(diǎn)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的綜合應(yīng)用題點(diǎn)與混合運(yùn)算有關(guān)的未知數(shù)求解答案A解析設(shè)zabi(a，bR)，則abi，所以z·i22z，即2(a2b2)i2a2bi，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得22a，a2b22b，解得a1，b1，故z1i.5若復(fù)數(shù)z滿足|z|，則z_.考點(diǎn)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的綜合應(yīng)用題點(diǎn)與混合運(yùn)算有關(guān)的未知數(shù)求解答案34i解析設(shè)zabi(a，bR)，abi，|z|，|z|24i，則abi24i，解得z34i.1復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算按照運(yùn)算法則和運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算，其中除法運(yùn)算的關(guān)鍵是將分母實(shí)數(shù)化2復(fù)數(shù)的幾何意義是數(shù)形結(jié)合思想在復(fù)數(shù)中的一大體現(xiàn)3利用兩個復(fù)數(shù)相等可以解決求參數(shù)值(或取值范圍)和復(fù)數(shù)方程等問題.一、選擇題1i是虛數(shù)單位，若集合S1,0,1，則()AiS Bi2SCi3S D.S考點(diǎn)虛數(shù)單位i及其性質(zhì)題點(diǎn)虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)答案B2已知i是虛數(shù)單位，m，nR，且mi1ni，則等于()A1 B1Ci Di考點(diǎn)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則題點(diǎn)乘除法的運(yùn)算法則答案D解析由mi1ni(m，nR)，得m1且n1.則i.3若a為正實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，2，則a等于()A. B2C. D1考點(diǎn)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則題點(diǎn)利用乘除法求復(fù)數(shù)中的未知數(shù)答案A解析(ai)(i)1ai，|1ai|2，解得a或a(舍)4已知z112i，z2m(m1)i，i為虛數(shù)單位，且兩復(fù)數(shù)的乘積z1z2的實(shí)部和虛部為相等的正數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為()A B.C D.考點(diǎn)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則題點(diǎn)利用乘除法求復(fù)數(shù)中的未知數(shù)答案D解析因?yàn)閦1z2(12i)m(m1)im2(m1)2m(m1)i(2m)(3m1)i，所以2m3m1，即m.經(jīng)檢驗(yàn)，m能使2m3m1>0，所以m滿足題意5已知復(fù)數(shù)z(bR)的實(shí)部為1，i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)b在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考點(diǎn)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則題點(diǎn)運(yùn)算結(jié)果與點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系答案C解析zi，又復(fù)數(shù)z(bR)的實(shí)部為1，則1，即b6.z15i，則15i.復(fù)數(shù)b15i675i，在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(7，5)，位于第三象限故選C.6設(shè)z(2t25t3)(t22t2)i，tR，i為虛數(shù)單位，則以下結(jié)論正確的是()Az對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限Bz一定不為純虛數(shù)C.對應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸的下方Dz一定為實(shí)數(shù)考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義題點(diǎn)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系答案C解析t22t2(t1)21>0，z對應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸的上方又z與對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，C正確7復(fù)數(shù)z滿足(z3)(2i)5(i為虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)為()A2i B2iC5i D5i考點(diǎn)共軛復(fù)數(shù)的定義與應(yīng)用題點(diǎn)利用定義求共軛復(fù)數(shù)答案D解析由(z3)(2i)5，得z32i，z5i，5i.二、填空題8若復(fù)數(shù)zai(aR)與它的共軛復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量互相垂直，則a_.考點(diǎn)共軛復(fù)數(shù)的定義與應(yīng)用題點(diǎn)與共軛復(fù)數(shù)有關(guān)的綜合應(yīng)用答案±1解析ai，因?yàn)閺?fù)數(shù)z與它的共軛復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量互相垂直，所以a21，所以a±1.9i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足(1i)z2，則z的實(shí)部為_考點(diǎn)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則題點(diǎn)利用乘除法求復(fù)數(shù)中的未知數(shù)答案1解析因?yàn)?1i)z2，所以z1i，所以其實(shí)部為1.10在復(fù)平面內(nèi)，若zm2(1i)m(4i)6i(i為虛數(shù)單位)所對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義題點(diǎn)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系答案(3,4)解析zm24m(m2m6)i所對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，解得3<m<4.11如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1，若i(i為虛數(shù)單位)，則z2_.考點(diǎn)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則題點(diǎn)運(yùn)算結(jié)果與點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系答案2i解析由題圖可知，z112i，由i，得z2z1i(12i)i2i.三、解答題12已知復(fù)數(shù)z1(1bi)(2i)，z23(1a)i (a，bR，i為虛數(shù)單位)(1)若z1z2，求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)若b1，a0，求.考點(diǎn)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的綜合應(yīng)用題點(diǎn)復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算解(1)復(fù)數(shù)z1(1bi)(2i)2b(2b1)i，z23(1a)i，由z1z2，可得解得所以a2，b1.(2)若b1，a0，則z113i，z23i.2.13已知復(fù)數(shù)z1滿足z1(1i)2(i為虛數(shù)單位)，若復(fù)數(shù)z2滿足z1z2是純虛數(shù)，z1·z2是實(shí)數(shù)，求復(fù)數(shù)z2.考點(diǎn)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的綜合運(yùn)用題點(diǎn)與混合運(yùn)算有關(guān)的未知數(shù)求解解z1(1i)2，z11i.設(shè)z2abi(a，bR)，z1z21a(b1)i是純虛數(shù)，a1，b1.z1·z2(1i)(1bi)(1b)(b1)i，又z1·z2是實(shí)數(shù)，則b10，b1，z21i.四、探究與拓展14若a是復(fù)數(shù)z1(1i)(3i)的虛部，b是復(fù)數(shù)z2的實(shí)部，則ab_.考點(diǎn)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則題點(diǎn)利用乘除法求復(fù)數(shù)中的未知數(shù)答案解析z1(1i)(3i)42i，由a是復(fù)數(shù)z1(1i)(3i)的虛部，得a2.z2i，由b是復(fù)數(shù)z2的實(shí)部，得b.則ab2×.15求虛數(shù)z，使zR，且|z3|3.考點(diǎn)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的綜合應(yīng)用題點(diǎn)與混合運(yùn)算有關(guān)的未知數(shù)求解解設(shè)zabi(a，bR且b0)，則zabii.由zR，得b0，又b0，故a2b29.又由|z3|3，得3.由，得即zi或zi.12