2022高考數(shù)學大二輪復習 專題八 選考4系列 專題能力訓練23 不等式選講 理1.設a>0,|x-1|<,|y-2|<,求證:|2x+y-4|<a.2.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+3|,xR.(1)解不等式f(x)5;(2)若不等式t2+3t>f(x)在xR上有解,求實數(shù)t的取值范圍.3.設函數(shù)f(x)=+|x-a|(a>0).(1)證明:f(x)2;(2)若f(3)<5,求a的取值范圍.4.(2018全國,理23)設函數(shù)f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)畫出y=f(x)的圖象;(2)當x0,+)時,f(x)ax+b,求a+b的最小值.5.已知函數(shù)f(x)=,M為不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)證明:當a,bM時,|a+b|<|1+ab|.6.設關于x的不等式|2x-a|+|x+3|2x+4的解集為A.(1)若a=1,求A;(2)若A=R,求a的取值范圍.7.已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|x-a|,aR.(1)當a=3時,解不等式f(x)4;(2)若f(x)=|x-1+a|,求x的取值范圍.二、思維提升訓練8.已知函數(shù)f(x)= g(x)=af(x)-|x-2|,aR.(1)當a=0時,若g(x)|x-1|+b對任意x(0,+)恒成立,求實數(shù)b的取值范圍;(2)當a=1時,求函數(shù)y=g(x)的最小值.9.已知函數(shù)f(x)=|x-3|-|x-a|.(1)當a=2時,解不等式f(x)-;(2)若存在實數(shù)a,使得不等式f(x)a成立,求實數(shù)a的取值范圍.10.設函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-a|.(1)若a=-1,解不等式f(x)3;(2)如果xR,f(x)2,求a的取值范圍.專題能力訓練23不等式選講(選修45)一、能力突破訓練1.證明 因為|x-1|<,|y-2|<,所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|2|x-1|+|y-2|<2=a.2.解 (1)原不等式等價于得-x<-3或-3x1或1<x,因此不等式的解集為(2)f(x)=|x-1|+|x+3|x-1-(x+3)|=4,要使t2+3t>f(x)在xR上有解,只需t2+3t大于f(x)的最小值,t2+3t>f(x)min=4t2+3t-4>0t<-4或t>1.3.(1)證明 由a>0,有f(x)=+|x-a|+a2.故f(x)2.(2)解 f(3)=+|3-a|.當a>3時,f(3)=a+,由f(3)<5,得3<a<當0<a3時,f(3)=6-a+,由f(3)<5,得<a3.綜上,a的取值范圍是4.解 (1)f(x)=y=f(x)的圖象如圖所示.(2)由(1)知,y=f(x)的圖象與y軸交點的縱坐標為2,且各部分所在直線斜率的最大值為3,故當且僅當a3且b2時,f(x)ax+b在0,+)成立,因此a+b的最小值為5.5.(1)解 f(x)=當x-時,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;當-<x<時,f(x)<2;當x時,由f(x)<2得2x<2,解得x<1.所以f(x)<2的解集M=x|-1<x<1.(2)證明 由(1)知,當a,bM時,-1<a<1,-1<b<1,從而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.6.解 (1)當x時,2x-1+x+32x+4,解得x2.當-3<x<時,1-2x+x+32x+4,解得-3<x0.當x-3時,1-2x-x-32x+4,解得x-3.綜上,原不等式的解集A=x|x0或x2.(2)當x-2時,|2x-a|+|x+3|02x+4成立.當x>-2時,|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+32x+4,即|2x-a|x+1,得xa+1或x,所以a+1-2或a+1,得a-2.綜上,a的取值范圍為a-2.7.解 (1)當a=3時,函數(shù)f(x)=|2x-1|+|x-3|=如圖,由于直線y=4和函數(shù)f(x)的圖象交于點(0,4),(2,4),故不等式f(x)4的解集為(0,2).(2)由f(x)=|x-1+a|,可得|2x-1|+|x-a|=|x-1+a|.由于|2x-1|+|x-a|(2x-1)-(x-a)|=|x-1+a|,當且僅當(2x-1)(x-a)0時取等號,故有(2x-1)(x-a)0.當a=時,可得x=,故x的取值范圍為;當a>時,可得xa,故x的取值范圍為;當a<時,可得ax,故x的取值范圍為二、思維提升訓練8.解 (1)當a=0時,g(x)=-|x-2|(x>0),g(x)|x-1|+b-b|x-1|+|x-2|.|x-1|+|x-2|(x-1)-(x-2)|=1,當且僅當1x2時等號成立.故實數(shù)b的取值范圍是-1,+).(2)當a=1時,g(x)=當0<x<1時,g(x)=+x-2>2-2=0;當x1時,g(x)0,當且僅當x=1時等號成立;故當x=1時,函數(shù)y=g(x)取得最小值0.9.解 (1)a=2,f(x)=|x-3|-|x-2|=f(x)-等價于解得x<3或x3,不等式的解集為(2)由不等式性質(zhì)可知f(x)=|x-3|-|x-a|(x-3)-(x-a)|=|a-3|,若存在實數(shù)x,使得不等式f(x)a成立,則|a-3|a,解得a實數(shù)a的取值范圍是10.解 (1)當a=-1時,f(x)=|x-1|+|x+1|,f(x)=作出函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+1|的圖象.由圖象可知,不等式f(x)3的解集為(2)若a=1,則f(x)=2|x-1|,不滿足題設條件;若a<1,則f(x)=f(x)的最小值為1-a;若a>1,則f(x)=f(x)的最小值為a-1.故對于xR,f(x)2的充要條件是|a-1|2,a的取值范圍是(-,-13,+).